Ohmsches Gesetz und Drude-Modell

Teil 7 der Elektrodynamik-Serie, Kapitel II: Stationäre Ströme. In Teil 6 haben wir gesehen, dass Elektronen im Schneckentempo driften. Jetzt fragen wir: Warum driften sie überhaupt mit konstanter Geschwindigkeit -- statt im Feld immer schneller zu werden?

Denn genau das wäre die naive Erwartung: Ein Feld \(\vec E\) übt auf jedes Elektron die konstante Kraft \(-e\vec E\) aus, und konstante Kraft heißt seit Newton Beschleunigung -- der Strom müsste unbegrenzt anwachsen. Tut er aber nicht. Stattdessen misst man seit 1826 hartnäckig:

Spannung \(U\) und Strom \(I\) proportional, mit dem Widerstand \(R\) (Einheit Ohm, \(\Omega\) = V/A) als Proportionalitätskonstante. Irgendetwas muss die Elektronen also permanent bremsen, so dass sich Kraft und Bremsung zu einer konstanten Endgeschwindigkeit ausbalancieren.

Georg Simon Ohm (1789--1854), schlecht bezahlter Kölner Gymnasiallehrer, fand sein Gesetz 1826 mit selbstgebauter Messtechnik -- und wurde dafür in Deutschland erst verrissen und zwanzig Jahre später mit einer Münchner Professur rehabilitiert. Die Einheit des Widerstands ehrt ihn. Mehr zu Ohm →

Die lokale Form: j = σE

\(U = RI\) ist eine Bauteil-Aussage. Die Physik dahinter ist lokal -- am besten formuliert mit den Feldgrößen aus Teil 4 und Teil 6:

Die Stromdichte \(\vec j\) folgt dem Feld \(\vec E\), und die Materialkonstante \(\sigma\) heißt elektrische Leitfähigkeit (Einheit S/m); ihr Kehrwert \(\rho = 1/\sigma\) ist der spezifische Widerstand. Für einen homogenen Draht der Länge \(l\) und Querschnittsfläche \(A\) folgt daraus die Bauteilformel zurück:

Lang und dünn → hochohmig, kurz und dick → niederohmig. Zahlenbeispiel Kupfer (\(\rho = 1{,}7 \cdot 10^{-8}\ \Omega\text{m}\)): Ein Meter der 1,5-mm²-Ader aus Teil 6 hat gerade einmal 11 mΩ -- klingt harmlos, aber bei 10 A fallen daran schon 0,11 V und damit gut 1 W Wärme ab. Wer Shunts, Motorzuleitungen oder Masse-Rückleiter dimensioniert, rechnet genau damit.

Das Drude-Modell: Flipperkugeln im Gitter

Die mikroskopische Begründung lieferte Paul Drude im Jahr 1900 -- nur drei Jahre nach Entdeckung des Elektrons. Sein Bild: Die Leitungselektronen bilden ein Gas freier Teilchen, das durchs Metall schwirrt und immer wieder stößt -- im Mittel einmal pro Stoßzeit \(\tau\). Jeder Stoß würfelt die Richtung neu, das Elektron „vergisst" seine Vorgeschichte.

Der Drude-Flipper: Zwischen den Stößen (orange) fliegt das Elektron frei, jeder Stoß würfelt die Richtung komplett neu -- auch rückwärts. Ohne Feld (links) führt das nirgendwohin. Mit Feld (rechts) bekommt jeder Flug denselben kleinen Extra-Schub, egal wohin er startet: Einzelne Flüge laufen weiter gegen die Drift, aber der Mittelwert wandert -- und genau dieser Mittelwert ist v_d = eτE/m.

Zwischen zwei Stößen beschleunigt das Feld das Elektron (Masse \(m\), Ladung \(-e\)) mit \(a = eE/m\). Bis zum nächsten Stoß sammelt es also im Mittel die Zusatzgeschwindigkeit

auf -- dann wird sie wieder ausgewürfelt. Genau das ist die gesuchte Balance: Feld beschleunigt, Stöße löschen -- übrig bleibt eine konstante mittlere Drift, proportional zum Feld. Einsetzen in \(j = n e v_d\) aus Teil 6:

Das Ohmsche Gesetz, hergeleitet. Die Leitfähigkeit zerfällt in zwei anschauliche Faktoren -- wie viele Träger (\(n\)) und wie leicht beweglich (\(e\tau/m\)). Der zweite Faktor bekommt einen eigenen Namen, die Beweglichkeit:

\(\sigma = ne\mu\) ist die vielleicht wichtigste Formel an der Grenze zwischen Elektrodynamik und Halbleiterphysik: Sie trennt sauber, ob ein Material gut leitet, weil es viele Träger hat oder schnelle.

Zahlen für Kupfer -- und eine Pointe

Aus der gemessenen Leitfähigkeit \(\sigma = 6 \cdot 10^7\) S/m und \(n = 8{,}5 \cdot 10^{28}\ \text{m}^{-3}\) lässt sich rückwärts rechnen:

Die Pointe steckt in der zweiten Zeile: Silizium-Elektronen sind rund 30-mal beweglicher als Kupfer-Elektronen. Kupfer gewinnt trotzdem haushoch bei \(\sigma\) -- weil \(n\) um viele Größenordnungen höher ist. Metalle leiten durch Masse, Halbleiter durch Klasse. (Und weil man \(n\) im Halbleiter per Dotierung und Gate-Spannung einstellen kann, Metall-\(n\) aber festliegt, gibt es Transistoren aus Silizium und nicht aus Kupfer.)

Was Drude falsch macht -- und warum es trotzdem stimmt

Drudes Herleitung ist klassische Gastheorie, und im Detail ist fast alles daran falsch:

• Woran gestoßen wird: Drude dachte an Stöße mit den Gitteratomen. Tatsächlich läuft ein Elektron durch ein perfektes Gitter quantenmechanisch völlig ungestört hindurch (Blochwellen -- siehe Bandstruktur). Gestreut wird nur an Störungen der Perfektion: an Gitterschwingungen (Phononen), Fremdatomen und Defekten. Deshalb die 150 Atomabstände freie Weglänge -- klassisch unerklärlich.
• Wie schnell die Elektronen sind: Nicht thermisch langsam, sondern mit der Fermi-Geschwindigkeit unterwegs (\(\sim 1{,}6 \cdot 10^6\) m/s in Kupfer, Pauli-Prinzip sei Dank) -- die Drift von 0,5 mm/s aus Teil 6 ist ein winziger Bias auf einem gewaltigen Zufallsgewimmel: ein Teil in 10⁹.
• Welche Masse gilt: Im Kristall ersetzt die effektive Masse die freie Elektronenmasse.

Und trotzdem: Sommerfeld ersetzte 1933 die klassische Statistik durch Fermi-Dirac -- und die Formeln \(\sigma = ne^2\tau/m\) und \(\mu = e\tau/m\) überlebten fast unverändert, nur die Bedeutung von \(\tau\) und \(m\) verschob sich. Das Drude-Modell ist das Paradebeispiel eines Modells, das aus den falschen Gründen richtig ist -- und genau in dieser reparierten Form rechnet heute jeder mit ihm, vom Datenblatt bis zum Device-Simulator.

Joulesche Wärme: wohin die Arbeit geht

Die Stöße sind auch die Antwort auf die Frage, wo die elektrische Arbeit landet: Das Feld pumpt Energie in die Driftbewegung, jeder Stoß gibt sie ans Gitter weiter -- der Leiter wird warm. Pro Volumen:

Das ist die versprochene Begründung aus Teil 6, warum die zulässige Stromdichte thermisch begrenzt ist -- die Heizleistung pro Volumen wächst quadratisch mit \(j\). Aufintegriert über den Draht wird daraus die Bauteilform:

\(I^2R\) ist der Kupferverlust jeder Motorwicklung, jeder Drossel, jedes Shunts -- und der Grund, warum Energieübertragung mit hoher Spannung und kleinem Strom fährt (den Transformator dazu liefert Teil 13).

Temperatur: warum R wandert

\(\sigma = ne\mu\) macht auch den Temperaturgang durchsichtig -- je nachdem, ob \(T\) an \(n\) oder an \(\mu\) dreht:

• Metalle: \(n\) liegt fest, aber mehr Temperatur heißt mehr Phononen, also häufigere Stöße, kleineres \(\tau\) → R steigt, bei Kupfer um satte +0,4 %/K. Praktisch nutzbar: Eine Motorwicklung ist ihr eigenes Thermometer (R-Messung vorher/nachher), und die Glühwendel hat heiß gut das Zehnfache ihres Kaltwiderstands -- daher der Einschaltstromstoß.
• Halbleiter: Hier dominiert \(n\), das mit der Temperatur exponentiell wächst (Ladungsträgerdichten) → R fällt. Das ist der NTC-Thermistor -- und der Mechanismus hinter thermischem Weglaufen von Leistungshalbleitern.
• Supraleiter: Unterhalb einer Sprungtemperatur exakt \(R = 0\) -- kein „sehr klein", sondern null. Das Drude-Bild kapituliert hier vollständig; die Erklärung (Cooper-Paare) lieferten Bardeen, Cooper und Schrieffer erst 1957.

Wann Ohm bricht

„Ohmsches Gesetz" ist kein Naturgesetz, sondern eine Materialeigenschaft mit Geltungsbereich -- linear bleibt es nur, solange \(n\), \(\tau\) und \(m\) vom Feld unabhängig sind. Die wichtigsten Ausbrüche:

• Diode: Am pn-Übergang steuert die Spannung die Trägerdichte selbst -- der Strom wird exponentiell in \(U\). Nicht „Widerstand mit Knick", sondern eine andere Physik.
• Sättigungsgeschwindigkeit: Bei hohen Feldern (im Si ab ~10⁴ V/cm) heizen sich die Träger auf, die Stöße werden drastisch häufiger, und \(v_d\) klemmt bei \(v_\text{sat} \approx 10^7\) cm/s fest -- mehr Feld bringt keinen schnelleren Drift mehr. Im Kurzkanal-MOSFET ist das der Alltag, nicht die Ausnahme.
• Durchbruch: Noch mehr Feld, und die Träger schlagen per Stoßionisation neue Elektron-Loch-Paare frei -- Lawine, Funke, Blitz. \(n\) explodiert, aus dem Isolator wird schlagartig ein Leiter.

Für die Leistungselektronik heißt das: Der eingeschaltete MOSFET-Kanal verhält sich brav ohmsch -- das ist der \(R_\text{DS(on)}\) im Datenblatt, dessen \(I^2R\) die H-Brücke heizt. Aber er ist von Nichtlinearitäten eingerahmt: exponentiell unterhalb der Schwelle, sättigend bei hohem Strom, lawinenartig jenseits der Sperrspannung.

Ausblick

Damit steht die Elektrizität stationärer Ströme. Was wir bisher komplett ignoriert haben: Ein stromdurchflossener Draht tut noch etwas ganz anderes -- er lenkt Kompassnadeln ab. Mit der Kraft auf bewegte Ladungen betreten wir die Magnetostatik, und die Elektrodynamik wird zum ersten Mal wirklich dynamisch.

Weiter mit Teil 8: Die Lorentzkraft →

Weiterführendes

• Teil 6: Stromdichte und Kontinuität -- \(j = nqv_d\) und die Ladungserhaltung
• Beweglichkeit -- \(\mu\) im Halbleiter: Streumechanismen im Detail
• Drift und Diffusion -- der zweite Stromantrieb, den Metalle nicht kennen
• Paul Drude und Georg Simon Ohm -- die Köpfe dahinter
• Elektrodynamik-Serie -- Übersicht und Fahrplan