Beweglichkeit und Hochfeld-Transport

In der Drift und Diffusion-Übersicht haben wir die Driftgeschwindigkeit als \(v_d = \mu E\) eingeführt — proportional zum elektrischen Feld. Das gilt aber nur bei niedrigen Feldern. In modernen Transistoren mit Kanallängen unter 100 nm treten Feldstärken von \(10^4\)--\(10^5\) V/cm auf, und dort bricht die lineare Beziehung zusammen.

Niedrigfeld-Beweglichkeit

Bei schwachen Feldern ist die Driftgeschwindigkeit proportional zum Feld:

Die Beweglichkeit \(\mu\) beschreibt, wie leicht sich Ladungsträger durch den Kristall bewegen lassen. Sie ist keine feste Materialkonstante, sondern hängt von Streumechanismen, Temperatur und Dotierung ab.

Streumechanismen

Zwei Mechanismen begrenzen die Beweglichkeit:

Gitterstreuung (Phononen): Die thermischen Schwingungen des Kristallgitters streuen die Ladungsträger. Je wärmer, desto stärker die Streuung:

Störstellenstreuung (ionisierte Dotieratome): Die Coulomb-Felder der ionisierten Dotieratome lenken Ladungsträger ab. Je höher die Dotierung, desto mehr Streuung. Bei tiefen Temperaturen dominiert dieser Mechanismus, weil die Gitterstreuung schwächer wird:

wobei \(N_I = N_D^+ + N_A^-\) die Gesamtkonzentration ionisierter Störstellen ist. Die gegenläufige Temperaturabhängigkeit (\(T^{3/2}\) statt \(T^{-3/2}\)) kommt daher, dass schnellere Träger weniger stark abgelenkt werden — bei höherer Temperatur sind die Träger im Mittel schneller.

Esther Conwell (1922--2014) leitete 1950 gemeinsam mit Victor Weisskopf die erste quantitative Theorie dieser Streuung her — die Conwell-Weisskopf-Formel. Sie beschreibt den Streuquerschnitt eines Ladungsträgers am Coulomb-Potential eines ionisierten Dotieratoms. Mehr zu Conwell →

Die Matthiessen-Regel kombiniert beide Mechanismen:

Der schwächere Mechanismus (kleineres \(\mu\)) dominiert. Bei Raumtemperatur und moderater Dotierung (\(< 10^{16}\) cm\(^{-3}\)) gewinnt die Gitterstreuung. Bei starker Dotierung (\(> 10^{18}\) cm\(^{-3}\)) übernimmt die Störstellenstreuung.

Dotierungsabhängigkeit¹

Zwischen \(10^{14}\) und \(10^{16}\) ändert sich die Beweglichkeit kaum — die Gitterstreuung dominiert und hängt nicht von der Dotierung ab. Ab \(10^{17}\) sinkt \(\mu\) deutlich.

Temperaturabhängigkeit

Bei niedrigen Temperaturen steigt \(\mu\) zunächst (weniger Phononenstreuung), erreicht ein Maximum, und fällt dann wieder (Störstellenstreuung dominiert bei noch tieferen Temperaturen). Das Maximum liegt für schwach dotiertes Si bei ca. 50--100 K.

Bei Raumtemperatur und darüber bestimmt die Gitterstreuung: \(\mu \propto T^{-3/2}\) — pro 100 K Temperaturerhöhung sinkt die Beweglichkeit um ca. 40%.

Warum sind Löcher langsamer?

Elektronen haben in Si eine Beweglichkeit von ~1400 cm²/Vs, Löcher nur ~450 cm²/Vs — Faktor 3. Zwei Gründe:

1. Die Leitfähigkeits-effektive Masse der Löcher ist größer (\(m^*_{h,cond} \approx 0.39\,m_0\)) als die der Elektronen (\(m^*_{e,cond} \approx 0.26\,m_0\)).
2. Die Valenzbandstruktur ist komplizierter (leichte und schwere Löcher, Warping) → effektivere Streuung.

Hochfeld-Transport: Velocity Saturation

Die \(v(E)\)-Kurve fasst das Hochfeld-Verhalten zusammen: Bei niedrigem Feld steigt die Driftgeschwindigkeit linear (\(v_d = \mu E\)), bei hohem Feld sättigt sie bei \(v_{sat}\). GaAs (rot) fällt aus der Reihe -- dazu unten mehr.

Warum sättigt die Geschwindigkeit?

Bei niedrigen Feldern nimmt ein Ladungsträger zwischen zwei Streuereignissen nur wenig Energie auf — er bleibt "kalt" (thermische Energie dominiert). Bei hohen Feldern wird zwischen den Stößen so viel Energie aus dem Feld aufgenommen, dass die Träger deutlich heißer werden als das Gitter — heiße Ladungsträger (Hot Carriers).

Heiße Träger emittieren verstärkt optische Phononen — hochenergetische Gitterschwingungen, die effizient Energie abführen. Ab einer bestimmten Feldstärke wird jede zusätzliche Energie sofort als Phonon abgegeben. Die Driftgeschwindigkeit sättigt:

Das entspricht \(v_d = \mu E\) bei \(E \approx v_{sat}/\mu \approx 7000\) V/cm für Elektronen in Si. Darüber steigt \(v_d\) kaum noch.

Caughey-Thomas-Modell

D.M. Caughey und R.E. Thomas veröffentlichten 1967 eine empirische Formel, die den Übergang von linearer Drift zu Sättigung in einer einzigen Gleichung beschreibt (Carrier Mobilities in Silicon Empirically Related to Doping and Field, Proc. IEEE, 1967). Sie wird in praktisch jedem TCAD-Simulator verwendet — TCAD (Technology Computer-Aided Design) ist Software zur physikalischen Simulation von Halbleiterbauelementen, z.B. Synopsys Sentaurus oder Silvaco Atlas:

mit \(\beta \approx 2\) für Elektronen in Si und \(\beta \approx 1\) für Löcher. Für \(E \ll v_{sat}/\mu\) ergibt sich \(v_d \approx \mu E\) (linear), für \(E \gg v_{sat}/\mu\) ergibt sich \(v_d \approx v_{sat}\) (Sättigung).

Konsequenzen für Transistoren

In einem MOSFET mit 100 nm Kanallänge und 1 V Drain-Spannung beträgt das Feld im Kanal \(\sim 10^5\) V/cm — weit über der Sättigungsfeldstärke. Die Transistorströme werden dann nicht mehr von \(\mu\) bestimmt, sondern von \(v_{sat}\):

statt dem klassischen \(I_D \propto \mu \cdot C_{ox} \cdot (V_{GS}-V_{th})^2 / 2L\). Das hat eine fundamentale Konsequenz: Die Beweglichkeit verliert an Bedeutung in modernen Transistoren. Was zählt, ist \(v_{sat}\) — und das ist für Elektronen und Löcher in Si fast gleich (\(\sim 10^7\) cm/s). Deshalb schrumpft der Geschwindigkeitsvorteil von NMOS über PMOS mit jeder Technologiegeneration.

GaAs: Der Gunn-Effekt

In GaAs passiert etwas Besonderes: Die \(v(E)\)-Kurve hat einen Überschwinger. Bei mittleren Feldern (\(\sim 3000\) V/cm) ist die Driftgeschwindigkeit höher als \(v_{sat}\) und fällt dann wieder ab. Der Grund:

Das Leitungsband in GaAs hat ein tiefes Minimum am \(\Gamma\)-Punkt (kleine effektive Masse → hohe Beweglichkeit) und ein höher liegendes Seitental (L-Punkt, große Masse → niedrige Beweglichkeit). Bei niedrigen Feldern sitzen die Elektronen im \(\Gamma\)-Tal und sind schnell. Ab ~3000 V/cm haben sie genug Energie, um ins L-Tal gestreut zu werden — dort werden sie langsamer. Die Driftgeschwindigkeit sinkt mit steigendem Feld: negative differentielle Beweglichkeit.

John Battiscombe Gunn (1928--2008) entdeckte den Effekt 1963 experimentell bei IBM — er beobachtete Mikrowellenoszillationen in GaAs-Proben, die sich niemand erklären konnte. Die theoretische Erklärung (Talumbesetzung) lieferten Ridley, Watkins und Hilsum kurz zuvor unabhängig voneinander, aber Gunns experimenteller Nachweis machte das Phänomen erst real und technisch nutzbar. Mehr zu Gunn →

Dieser Effekt ist die Grundlage von Gunn-Dioden — Halbleiteroszillatoren für Mikrowellen. Eine Gunn-Diode ist kein pn-Übergang, sondern einfach ein Stück n-GaAs mit ohmschen Kontakten: Das negative \(d v/d E\) führt zu selbsterregten Oszillationen (Gunn-Domänen).

Materialvergleich²

GaAs hat die höchste Niedrigfeld-Beweglichkeit, aber ein niedrigeres \(v_{sat}\) als Si. Bei kurzen Kanälen (Sättigungsbetrieb) schmilzt der Vorteil. SiC und GaN kombinieren hohe \(v_{sat}\) mit hohen Durchbruchfeldstärken — ideal für Leistungselektronik.

Weiterführendes

• Drift und Diffusion -- Grundlagen, Einstein-Relation
• Effektive Masse -- bestimmt die Niedrigfeld-Beweglichkeit
• Dotierung -- Störstellenstreuung
• Bandstruktur -- E(k)-Diagramm, GaAs Γ- und L-Täler
• Persönlichkeiten -- Esther Conwell (Conwell-Weisskopf-Formel)