Drift und Diffusion

In Halbleitern bewegen sich Ladungsträger (Elektronen und Löcher) durch zwei grundlegende Mechanismen: Drift und Diffusion. Zusammen bestimmen sie das elektrische Verhalten jedes Halbleiterbauteils -- vom einfachen Widerstand bis zum Transistor.

Hinweis: Alle Zahlenwerte auf dieser Seite beziehen sich auf Silizium (Si) bei Raumtemperatur (300 K), sofern nicht anders angegeben. Silizium ist mit Abstand das meistverwendete Halbleitermaterial -- andere Materialien wie GaAs oder SiC haben teilweise deutlich andere Kennwerte (z.B. ist die Elektronenbeweglichkeit in GaAs etwa 6x höher als in Si).

Drift -- Bewegung im elektrischen Feld

Wenn ein elektrisches Feld an einen Halbleiter angelegt wird, bewegen sich die Ladungsträger gerichtet -- das ist die Drift. Aber um zu verstehen, was dabei wirklich passiert, müssen wir zuerst einen Blick auf die thermische Bewegung werfen.

Thermische Bewegung: Das Grundrauschen

Auch ohne äußeres Feld sind Ladungsträger in einem Halbleiter ständig in Bewegung. Bei Raumtemperatur rasen Elektronen mit einer thermischen Geschwindigkeit von etwa \(10^7\) cm/s durch das Kristallgitter. In den Formeln taucht \(m^*\) auf -- die effektive Masse. Sie ersetzt die normale Elektronenmasse, weil sich Elektronen im Kristall wegen der Wechselwirkung mit dem Gitter anders verhalten als im Vakuum. (Warum man das in einem einzigen Parameter zusammenfassen kann und wo die Grenzen dieser Näherung liegen, ist Thema der Seiten zu effektiver Masse und Bandstruktur.)

Je nachdem, welchen Mittelwert man über die Maxwell-Boltzmann-Verteilung bildet, gibt es drei charakteristische Geschwindigkeiten:

Geschwindigkeit Formel Si-Elektronen (300 K) Bedeutung
Wahrscheinlichste \(v_{mp}\) \(\sqrt{\frac{2 k_B T}{m^*}}\) ca. \(1.2 \times 10^7\) cm/s Häufigste Geschwindigkeit -- dort hat die Maxwell-Boltzmann-Verteilung ihr Maximum
Mittlere \(\bar{v}\) \(\sqrt{\frac{8 k_B T}{\pi m^*}}\) ca. \(1.3 \times 10^7\) cm/s Arithmetischer Mittelwert aller Geschwindigkeiten
RMS \(v_{rms}\) \(\sqrt{\frac{3 k_B T}{m^*}}\) ca. \(1.5 \times 10^7\) cm/s Quadratisches Mittel, \(\frac{1}{2} m^* v_{rms}^2 = \frac{3}{2} k_B T\)

Drift und Diffusion im Vergleich

In der Halbleiterphysik wird \(v_{th}\) meist als RMS-Geschwindigkeit \(\sqrt{3 k_B T / m^*}\) verwendet, weil sie direkt mit der mittleren kinetischen Energie \(\frac{3}{2} k_B T\) zusammenhängt. Das ist enorm schnell -- aber die Bewegung ist völlig zufällig. Die Elektronen stoßen alle paar Nanometer an Gitteratome oder Störstellen, ändern ihre Richtung, beschleunigen wieder, stoßen erneut. Im Mittel kommt dabei kein Nettostrom heraus: Für jedes Elektron, das nach rechts fliegt, fliegt ein anderes nach links.

Die mittlere freie Flugzeit \(\tau\) zwischen zwei Stößen liegt typischerweise bei \(10^{-13}\) s (also 0.1 ps). In dieser Zeit legt ein Elektron die mittlere freie Weglänge \(\lambda = v_{th} \cdot \tau \approx 10\) nm zurück.

Beide Größen sind temperaturabhängig: \(v_{th}\) wächst mit \(\sqrt{T}\), und \(\tau\) sinkt bei höheren Temperaturen, weil die Gitterschwingungen (Phononen) stärker werden und häufiger streuen. Auch die Geschwindigkeiten der einzelnen Elektronen sind nicht alle gleich, sondern folgen einer Boltzmann-Verteilung -- \(v_{th}\) ist nur der Mittelwert einer breiten statistischen Verteilung.

Überlagerung: E-Feld gibt die Richtung vor

Wenn jetzt ein elektrisches Feld \(\vec{E}\) angelegt wird, kommt zwischen den Stößen eine kleine gerichtete Beschleunigung dazu. Das Elektron wird im Feld beschleunigt, stößt ans Gitter, verliert dabei seine gerichtete Geschwindigkeit und startet in zufälliger Richtung neu -- dann beschleunigt das Feld es wieder, bis zum nächsten Stoß. Ohne Stöße würde das Elektron einfach immer schneller werden (wie im Vakuum). Durch die Stöße erreicht es aber in jedem Zyklus nur eine kleine Geschwindigkeit in Feldrichtung, bevor es wieder "zurückgesetzt" wird. Die Driftgeschwindigkeit \(v_d\) ist der Mittelwert dieser kleinen Geschwindigkeitsbeiträge über viele Beschleunigungs-Stoß-Zyklen.

Das Ergebnis: Der Zickzack-Pfad bekommt eine leichte Vorzugsrichtung. \(v_d\) ergibt sich aus der Beschleunigung zwischen den Stößen:

\[v_d = \frac{q \tau}{m^*} \cdot E = \mu \cdot E\]

Der Proportionalitätsfaktor \(\mu\) heißt Beweglichkeit (englisch mobility). Sie gibt an, wie leicht sich Ladungsträger durch das Material bewegen lassen -- je höher \(\mu\), desto schneller driften sie bei gleichem Feld.

Der entscheidende Punkt: \(v_d\) ist winzig im Vergleich zur thermischen Geschwindigkeit. Bei einem typischen Feld von 100 V/cm ist \(v_d = \mu_n E \approx 1{,}4 \times 10^5\) cm/s (mit \(\mu_n = 1400\) cm²/Vs) -- das ist nur etwa ein Hundertstel von \(v_{th}\). Die Drift ist ein subtiler Netto-Effekt auf einer chaotischen Zufallsbewegung.

Streumechanismen und Beweglichkeit

Die Beweglichkeit \(\mu\) ist keine feste Materialkonstante, sondern hängt davon ab, wie oft und wie stark die Ladungsträger gestreut werden. Zwei Mechanismen dominieren:

Gitterstreuung (Phononen) -- Die Atome im Kristallgitter schwingen thermisch. Je wärmer es wird, desto stärker schwingen sie und desto häufiger werden Ladungsträger gestreut. Deshalb sinkt die Beweglichkeit mit steigender Temperatur: \(\mu_\text{Gitter} \propto T^{-3/2}\).

Störstellenstreuung -- Dotieratome sind ionisiert und erzeugen lokale elektrische Felder, an denen Ladungsträger abgelenkt werden. Je höher die Dotierung, desto mehr Störstellen, desto geringer die Beweglichkeit. Bei niedrigen Temperaturen dominiert dieser Mechanismus, weil die Gitterstreuung schwächer wird.

Esther Conwell (1922--2014) leitete 1950 gemeinsam mit Victor Weisskopf die quantitative Theorie der Störstellenstreuung her -- die Conwell-Weisskopf-Formel beschreibt, wie ionisierte Dotieratome die Beweglichkeit von Ladungsträgern begrenzen. Conwell war eine der wenigen Frauen in der Halbleiterphysik der Nachkriegszeit und arbeitete über sechs Jahrzehnte an Ladungstransport in Halbleitern, organischen Materialien und DNA. Mehr zu Conwell →

Die effektive Beweglichkeit ergibt sich aus der Matthiessen-Regel:

\[\frac{1}{\mu} = \frac{1}{\mu_\text{Gitter}} + \frac{1}{\mu_\text{Störstellen}}\]

Typische Werte für Silizium bei Raumtemperatur und moderater Dotierung:

Ladungsträger Beweglichkeit \(\mu\)
Elektronen ca. 1400 cm²/(V·s)
Löcher ca. 450 cm²/(V·s)

Elektronen sind also etwa dreimal so beweglich wie Löcher -- das liegt an der unterschiedlichen effektiven Masse \(m^*\) in der Bandstruktur von Silizium.

Driftstromdichte

Die Stromdichte durch Drift ergibt sich aus der Ladungsträgerkonzentration \(n\) (bzw. \(p\)), der Elementarladung \(q\) und der Driftgeschwindigkeit:

\[J_{n,\text{drift}} = q \cdot n \cdot \mu_n \cdot E\]
\[J_{p,\text{drift}} = q \cdot p \cdot \mu_p \cdot E\]

Das ist im Grunde das ohmsche Gesetz in mikroskopischer Form. Die Leitfähigkeit \(\sigma\) eines Halbleiters ist:

\[\sigma = q \cdot (n \cdot \mu_n + p \cdot \mu_p)\]

Georg Simon Ohm (1789--1854) veröffentlichte den Zusammenhang \(U = R \cdot I\) 1827 -- und wurde dafür zunächst verspottet. Die Anerkennung kam erst über den Umweg der Royal Society in London. Mehr zu Ohm →

Diffusion -- Bewegung durch Konzentrationsunterschiede

Auch ohne elektrisches Feld bewegen sich Ladungsträger -- nämlich dann, wenn ihre Konzentration nicht überall gleich ist. Ladungsträger wandern von Orten hoher Konzentration zu Orten niedriger Konzentration. Dieses Prinzip kennst du vielleicht vom Tintentropfen im Wasserglas.

Die Diffusionsstromdichte folgt dem Fickschen Gesetz:

\[J_{n,\text{diff}} = q \cdot D_n \cdot \frac{dn}{dx}\]
\[J_{p,\text{diff}} = -q \cdot D_p \cdot \frac{dp}{dx}\]

\(D_n\) und \(D_p\) sind die Diffusionskoeffizienten. Das Minuszeichen bei den Löchern kommt daher, dass positive Ladungsträger in Richtung abnehmender Konzentration einen Strom in negativer Richtung erzeugen.

Adolf Fick (1829--1901) formulierte sein Diffusionsgesetz 1855 als Physiologe -- in Analogie zu Fouriers Wärmeleitungsgleichung. Was als Arbeit über Stofftransport in Geweben begann, erwies sich als universelles physikalisches Gesetz. Mehr zu Fick →

Einstein-Relation

Beweglichkeit und Diffusionskoeffizient sind nicht unabhängig voneinander. Die Einstein-Relation verknüpft beide:

\[\frac{D}{\mu} = \frac{k_B T}{q} = V_T\]

\(V_T\) ist die Temperaturspannung -- bei Raumtemperatur (300 K) etwa 26 mV. Diese Beziehung ist fundamental: Sie sagt uns, dass Drift und Diffusion zwei Seiten derselben Medaille sind -- beide entstehen durch die thermische Bewegung der Ladungsträger im Kristallgitter.

Albert Einstein (1879--1955) leitete diese Beziehung 1905 in seiner Arbeit zur Brownschen Bewegung her. Die zufällige Bewegung suspendierter Teilchen hängt direkt mit der thermischen Energie zusammen -- derselbe Zusammenhang, der hier Drift und Diffusion verbindet. Mehr zu Einstein →

Die Drift-Diffusions-Gleichung

Der Gesamtstrom in einem Halbleiter ist die Summe aus Drift- und Diffusionsanteil. Für Elektronen und Löcher:

\[J_n = q \cdot n \cdot \mu_n \cdot E + q \cdot D_n \cdot \frac{dn}{dx}\]
\[J_p = q \cdot p \cdot \mu_p \cdot E - q \cdot D_p \cdot \frac{dp}{dx}\]

Diese beiden Gleichungen (zusammen mit der Poisson-Gleichung und den Kontinuitätsgleichungen) bilden das Grundgerüst der Halbleiterphysik. Mit ihnen lässt sich das Verhalten von Dioden, Transistoren und Solarzellen beschreiben.

Ausblick: Der pn-Übergang

Richtig spannend wird es, wenn Drift und Diffusion gegeneinander arbeiten. Genau das passiert am pn-Übergang -- der Grenzfläche zwischen p- und n-dotiertem Halbleiter:

Das Ergebnis ist die Raumladungszone -- eine Region ohne freie Ladungsträger, die wie eine Barriere wirkt. Dieses Gleichgewicht zwischen Drift und Diffusion ist das Herzstück jeder Diode und jedes Transistors.

Weiter mit dem pn-Übergang →

Weiterführendes

Erstellt: 05.03.2026