Die Halbleitergrundgleichungen
Das gesamte elektrische Verhalten von Halbleiterbauelementen — von der einfachen Diode bis zum modernen Transistor — lässt sich auf drei Gleichungen zurückführen. Zusammen bilden sie ein geschlossenes System — wer diese drei Gleichungen (mit den richtigen Randbedingungen) löst, kann das Verhalten jedes Halbleiterbauelements berechnen. Das ist genau das, was TCAD-Simulatoren (Sentaurus, Silvaco) tun.
Die drei Gleichungen
1. Poisson-Gleichung
Verknüpft das elektrostatische Potential \(\phi\) (und damit das elektrische Feld \(\vec{E} = -\nabla\phi\)) mit der Raumladungsdichte \(\rho\). Die Ladung setzt sich zusammen aus:
- \(p\): freie Löcher (positiv)
- \(n\): freie Elektronen (negativ)
- \(N_D^+\): ionisierte Donatoren (positiv, ortsfest)
- \(N_A^-\): ionisierte Akzeptoren (negativ, ortsfest)
Wo wir das schon verwendet haben: Berechnung der RLZ-Breite und des Feldverlaufs im pn-Übergang (dort mit der Schottky-Näherung \(n = p = 0\) in der RLZ, was die Gleichung vereinfacht).
Siméon Denis Poisson (1781--1840) formulierte die Gleichung, die Ladungsverteilung und Potential verknüpft — das zentrale Werkzeug der Elektrostatik. Mehr zu Poisson →
2. Kontinuitätsgleichungen
Für Elektronen:
Für Löcher:
Die Ladungsträgerkonzentration ändert sich durch drei Mechanismen:
- Stromfluss (\(\nabla \cdot \vec{J}\)): Wenn mehr Strom rein- als rausfließt, steigt die Konzentration
- Generation \(G\): Erzeugung neuer Elektron-Loch-Paare (thermisch, optisch, Stoßionisation)
- Rekombination \(R\): Vernichtung von Paaren (SRH, strahlend, Auger)
Im stationären Fall (\(\partial/\partial t = 0\)) vereinfacht sich das System erheblich — die meisten analytischen Lösungen (Diodengleichung, Transistor-Kennlinien) setzen Stationarität voraus.
3. Strom-Gleichungen (Drift-Diffusion)
Elektronenstrom:
Löcherstrom:
Jeder Strom hat zwei Anteile:
- Drift (\(q n \mu \vec{E}\)): Getrieben durch das elektrische Feld. Beschrieben in Drift und Diffusion.
- Diffusion (\(q D \nabla n\)): Getrieben durch Konzentrationsgradienten. Ficksches Gesetz.
\(\mu\) und \(D\) sind über die Einstein-Relation \(D/\mu = k_B T/q\) verknüpft. Die Beweglichkeit \(\mu\) kann feldabhängig sein (Velocity Saturation).
Das Gesamtsystem
Die drei Gleichungen bilden ein gekoppeltes, nichtlineares System: Die Poisson-Gleichung braucht \(n\) und \(p\) als Input, die Kontinuitätsgleichungen brauchen \(\vec{E}\) (also \(\phi\)) und die Ströme, die Strom-Gleichungen brauchen \(n\), \(p\) und \(\vec{E}\). Alles hängt von allem ab.
Analytische Lösungen
Analytisch lösbar nur mit starken Vereinfachungen:
- Schottky-Näherung (\(n = p = 0\) in der RLZ): → RLZ-Breite
- Quasineutralität (\(n \approx N_D\), kein Feld außerhalb der RLZ): → Shockley-Diodengleichung
- Schwache Injektion (Minoritätsträger \(\ll\) Majoritätsträger): → alle Standard-Bauelementeformeln
- 1D, stationär: Die meisten Lehrbuch-Herleitungen
Numerische Lösung (TCAD)
Ohne Vereinfachungen: Diskretisierung auf einem Gitter (Scharfetter-Gummel-Schema), iterative Lösung bis Konvergenz. Das ist was Synopsys Sentaurus, Silvaco Atlas oder die Open-Source-Tools Devsim und GDSFACTORY tun. Ein moderner 3D-FinFET kann Millionen Gitterpunkte haben.
Randbedingungen
Die Gleichungen brauchen Randbedingungen an den Kontakten und an freien Oberflächen:
- Ohmsche Kontakte: \(\phi\) = angelegte Spannung, \(n\) und \(p\) im Gleichgewicht mit der Dotierung
- Schottky-Kontakte: Barrierenhöhe bestimmt \(n\) oder \(p\) am Kontakt
- Freie Oberflächen: \(\vec{J} \cdot \hat{n} = 0\) (kein Strom raus), optional Oberflächenrekombination
- Symmetrieachsen: \(\partial\phi/\partial n = 0\) (Neumann)
Zusammenfassung
| Gleichung | Verknüpft | Physik |
|---|---|---|
| Poisson | \(\phi \leftrightarrow \rho(n, p, N_D, N_A)\) | Elektrostatik |
| Kontinuität | \(\partial n/\partial t \leftrightarrow \vec{J}, G, R\) | Ladungserhaltung |
| Drift-Diffusion | \(\vec{J} \leftrightarrow n, p, \vec{E}\) | Transport |
Drei Gleichungen, fünf Unbekannte (\(\phi, n, p, \vec{J}_n, \vec{J}_p\)) — mit Materialparametern (\(\mu, D, \tau, N_D, N_A\)) und Randbedingungen ein geschlossenes System.
Alles was in dieser Knowledgebase steht — von der Dotierung bis zum pn-Übergang — sind Spezialfälle dieser drei Gleichungen.
Weiterführendes
- Drift und Diffusion — Gleichung 3 im Detail
- Rekombination und Generation — die Quell- und Senkenterme \(G\) und \(R\)
- pn-Übergang (quantitativ) — Poisson + Drift-Diffusion angewandt
- Herleitung: RLZ-Breite — Poisson-Gleichung gelöst
- Herleitung: Shockley-Gleichung — Kontinuität + Diffusion gelöst
- Beweglichkeit — was \(\mu\) und \(D\) bestimmt