Herleitung: Shockley-Diodengleichung

Ergebnis (verwendet im pn-Übergang (quantitativ)):

Annahmen

Die Herleitung basiert auf dem Shockley-Modell (ideale Diode):

1. Abrupter Übergang (Stufenprofil), Schottky-Näherung
2. Keine Generation oder Rekombination in der RLZ — Strom fließt verlustfrei durch die RLZ
3. Schwache Injektion — die injizierten Minoritätsträger sind viel weniger als die Majoritätsträger
4. Quasineutralität außerhalb der RLZ — kein Feld in den neutralen Zonen
5. Stationärer Zustand — keine Zeitabhängigkeit

Schritt 1: Randbedingung an der RLZ-Kante

Im Gleichgewicht (\(V = 0\)) gilt das Massenwirkungsgesetz: Die Minoritätselektronen auf der p-Seite haben die Konzentration:

Bei angelegter Vorwärtsspannung \(V\) sinkt die Barriere um \(V\). Die Minoritätskonzentration am Rand der RLZ (\(x = x_p\)) steigt exponentiell:

Das ist die zentrale Randbedingung — sie folgt direkt aus dem Boltzmann-Faktor: Die Wahrscheinlichkeit die (reduzierte) Barriere zu überwinden skaliert mit \(e^{qV/k_B T}\).

Die Überschusskonzentration am RLZ-Rand ist:

Analog für Löcher auf der n-Seite:

Schritt 2: Diffusion der Minoritätsträger

Außerhalb der RLZ gibt es kein elektrisches Feld (Quasineutralität). Die Minoritätsträger bewegen sich nur durch Diffusion. Mit Rekombination (Lebensdauer \(\tau_n\)) ergibt sich die stationäre Diffusionsgleichung:

Die Lösung ist ein exponentieller Abfall:

wobei \(L_n = \sqrt{D_n \tau_n}\) die Diffusionslänge ist. Die Minoritätsträger klingen innerhalb einer Diffusionslänge ab — sie rekombinieren.

Schritt 3: Diffusionsstrom

Der Elektronendiffusionsstrom am RLZ-Rand (dort ist der gesamte Strom konzentriert, weil \(\Delta n\) dort am größten ist):

Einsetzen der Randbedingung (wir rechnen ab hier mit dem Betrag; die Richtung steckt in der Stromrichtungs-Konvention):

Analog für den Löcherdiffusionsstrom auf der n-Seite:

Schritt 4: Gesamtstrom

Der Gesamtstrom ist die Summe beider Diffusionsströme (sie fließen an verschiedenen Stellen, aber der Gesamtstrom ist überall gleich — Kirchhoff):

Mit \(I = J \cdot A\) (Querschnittsfläche):

Was steckt in \(I_0\)?

• \(n_i^2\): Stark temperaturabhängig (\(n_i\) verdoppelt sich bei Si etwa alle 9 K, Faustregel: pro 10 K). Deshalb steigt \(I_0\) exponentiell mit \(T\).
• \(1/N_A\) und \(1/N_D\): Höhere Dotierung → weniger Minoritätsträger → kleinerer Sperrstrom.
• \(D/L = \sqrt{D/\tau}\): Kurze Lebensdauer → kleine Diffusionslänge → weniger Träger schaffen es bis zur RLZ → kleinerer Strom. Aber auch: kleine \(D\) → langsamere Diffusion → weniger Strom.
• Asymmetrie: Bei einem \(p^+n\)-Übergang (\(N_A \gg N_D\)) dominiert der \(D_p/(L_p N_D)\)-Term — der Strom wird von Löchern in der schwach dotierten n-Seite getragen.

Was fehlt im Shockley-Modell?

1. RLZ-Rekombination: Das Modell nimmt an, dass in der RLZ keine Rekombination stattfindet. In der Praxis erzeugt SRH-Rekombination dort einen zusätzlichen Strom → Idealitätsfaktor \(n > 1\).
2. Hochinjektion: Bei starker Vorwärtsspannung bricht die Annahme "schwache Injektion" zusammen.
3. Serienwiderstand: Bei hohen Strömen fällt ein Teil der Spannung über dem Bahnwiderstand ab.
4. Generation in Sperrrichtung: Der reale Sperrstrom ist größer als \(I_0\), weil in der RLZ Paare generiert werden.

Weiterführendes

• Diodenkennlinie messen -- die Diodengleichung in der Praxis gemessen
• pn-Übergang (qualitativ) -- was Minoritätsinjektion anschaulich bedeutet
• pn-Übergang (quantitativ) -- wo die Formel verwendet wird
• Herleitung: \(V_{bi}\) -- die eingebaute Spannung
• Drift und Diffusion -- Diffusionskoeffizient \(D\)
• Rekombination -- Lebensdauer \(\tau\), Diffusionslänge \(L\)