Herleitung: Eingebaute Spannung \(V_{bi}\)

Ergebnis (verwendet im pn-Übergang (quantitativ)):

\[V_{bi} = \frac{k_B T}{q} \ln \frac{N_D \, N_A}{n_i^2}\]

Ausgangspunkt

Im thermischen Gleichgewicht ist das Fermi-Niveau \(E_F\) überall gleich -- das ist die Definition von Gleichgewicht. Es gibt kein Gefälle in \(E_F\), also keinen Nettostrom.

Gleichzeitig wissen wir aus der Ladungsträgerdichten-Theorie, dass die Elektronen- und Löcherdichten über das Fermi-Niveau bestimmt werden:

\[n = n_i \, \exp\!\left(\frac{E_F - E_i}{k_B T}\right)\]

\[p = n_i \, \exp\!\left(\frac{E_i - E_F}{k_B T}\right)\]

wobei \(E_i\) das intrinsische Fermi-Niveau ist (ungefähr Bandmitte). Diese Formeln gelten lokal an jedem Punkt -- auch wenn \(E_i\) ortsabhängig ist (weil die Bänder verbogen sind).

Schritt 1: Fermi-Niveau auf beiden Seiten

Weit weg vom Übergang, auf der n-Seite, sind fast alle Donatoren ionisiert:

\[n_n \approx N_D\]

Einsetzen in die \(n\)-Formel:

\[N_D = n_i \, \exp\!\left(\frac{E_F - E_{i,n}}{k_B T}\right)\]

\[\Rightarrow \quad E_F - E_{i,n} = k_B T \ln \frac{N_D}{n_i}\]

Analog auf der p-Seite (\(p_p \approx N_A\)):

\[N_A = n_i \, \exp\!\left(\frac{E_{i,p} - E_F}{k_B T}\right)\]

\[\Rightarrow \quad E_{i,p} - E_F = k_B T \ln \frac{N_A}{n_i}\]

Schritt 2: Potentialdifferenz

Die eingebaute Spannung \(V_{bi}\) ist die Potentialdifferenz zwischen n-Seite und p-Seite. Das elektrostatische Potential ist mit dem intrinsischen Niveau verknüpft:

\[\phi(x) = -\frac{E_i(x)}{q} + \text{const.}\]

Also:

\[q V_{bi} = q(\phi_n - \phi_p) = E_{i,p} - E_{i,n}\]

(Das Vorzeichen: \(E_i\) ist auf der n-Seite niedriger als auf der p-Seite, weil die Bänder auf der n-Seite nach unten gebogen sind. Wegen \(\phi = -E_i/q\) dreht sich die Reihenfolge um, und \(V_{bi}\) ist positiv.)

Schritt 3: Zusammensetzen

Aus Schritt 1:

\[E_{i,n} = E_F - k_B T \ln \frac{N_D}{n_i}\]

\[E_{i,p} = E_F + k_B T \ln \frac{N_A}{n_i}\]

Differenz:

\[q V_{bi} = E_{i,p} - E_{i,n} = k_B T \ln \frac{N_A}{n_i} + k_B T \ln \frac{N_D}{n_i}\]

Logarithmen zusammenfassen:

\[q V_{bi} = k_B T \ln \frac{N_D \, N_A}{n_i^2}\]

\[\boxed{V_{bi} = \frac{k_B T}{q} \ln \frac{N_D \, N_A}{n_i^2}}\]

Was steckt drin?

\(k_B T / q\): Die thermische Spannung, bei 300 K ≈ 26 mV. Setzt die Skala.
\(N_D \, N_A / n_i^2\): Das Verhältnis der Dotierung zum intrinsischen Niveau. Je stärker dotiert relativ zu \(n_i\), desto größer \(V_{bi}\).
Logarithmus: \(V_{bi}\) wächst nur logarithmisch mit der Dotierung -- eine Verzehnfachung von \(N_D\) oder \(N_A\) erhöht \(V_{bi}\) um nur \(\approx 60\) mV (bei 300 K).
\(n_i^2\) im Nenner: Materialabhängig. GaAs hat kleineres \(n_i\) als Si → größeres \(V_{bi}\) bei gleicher Dotierung.

Alternative Herleitung: Drift = Diffusion

Man kann \(V_{bi}\) auch über die Gleichgewichtsbedingung herleiten, dass der Driftstrom den Diffusionsstrom exakt kompensiert. Für Elektronen:

\[J_n = q n \mu_n E + q D_n \frac{dn}{dx} = 0\]

Mit der Einstein-Relation \(D_n / \mu_n = k_B T / q\) und \(E = -d\phi/dx\):

\[-q n \mu_n \frac{d\phi}{dx} + q \frac{k_B T}{q} \mu_n \frac{dn}{dx} = 0\]

\[\frac{d\phi}{dx} = \frac{k_B T}{q} \frac{1}{n} \frac{dn}{dx}\]

Integration von der p-Seite (\(n_p = n_i^2 / N_A\)) zur n-Seite (\(n_n = N_D\)):

\[V_{bi} = \phi_n - \phi_p = \frac{k_B T}{q} \ln \frac{n_n}{n_p} = \frac{k_B T}{q} \ln \frac{N_D}{n_i^2 / N_A} = \frac{k_B T}{q} \ln \frac{N_D \, N_A}{n_i^2}\]

Gleiches Ergebnis, anderer Weg. Die Drift-Diffusion-Herleitung zeigt explizit warum \(V_{bi}\) existiert: Es ist genau die Spannung, bei der Drift und Diffusion sich aufheben.

Weiterführendes

pn-Übergang (qualitativ) -- was \(V_{bi}\) anschaulich bedeutet
pn-Übergang (quantitativ) -- wo die Formel verwendet wird
Ladungsträgerdichten -- \(n\), \(p\) über Fermi-Niveau
Drift und Diffusion -- Einstein-Relation

Herleitung: Eingebaute Spannung \(V_{bi}\)

Erstellt: 13.04.2026 · Zuletzt geändert: 10.06.2026