Ladungsträgerdichten

Wie viele freie Elektronen und Löcher hat ein Halbleiter? Diese Frage steht hinter fast allem in der Halbleiterphysik -- ob ein Material leitet, wie gut eine Diode sperrt, wie schnell ein Transistor schaltet. Die Antwort hängt von drei Dingen ab: der Bandstruktur, der Dotierung und der Temperatur.

Eigenleitung (intrinsischer Halbleiter)

In einem undotierten Halbleiter werden Elektronen rein thermisch aus dem Valenzband ins Leitungsband angeregt. Jedes angeregte Elektron hinterlässt ein Loch. Daher gilt:

wobei \(n\) die Elektronendichte, \(p\) die Löcherdichte und \(n_i\) die intrinsische Ladungsträgerkonzentration ist. \(n_i\) hängt von der Bandlücke und der Temperatur ab:

Der exponentielle Faktor kommt aus der Boltzmann-Verteilung -- die Wahrscheinlichkeit, dass ein Elektron die Bandlücke \(E_g\) überwindet, fällt exponentiell mit \(E_g / k_B T\).

Zahlenwerte für Silizium bei 300 K¹

Das heißt: Bei Raumtemperatur ist in Silizium nur etwa jedes \(10^{12}\)-te Atom thermisch ionisiert. Reines Silizium ist ein schlechter Leiter.

Effektive Zustandsdichten

Die Größen \(N_C\) und \(N_V\) sind die effektiven Zustandsdichten am Leitungsband- bzw. Valenzbandrand. Sie fassen die komplizierte Bandstruktur in eine einzige Zahl zusammen: "Wie viele Zustände sitzen effektiv am Bandrand?"

Woher kommt diese Formel?

Die Idee ist: Statt die komplizierte Bandstruktur mit tausenden \(E(k)\)-Zuständen zu berechnen, tut man so, als säßen alle relevanten Zustände genau an der Bandkante, aber mit einer "effektiven Anzahl" \(N_C\) (bzw. \(N_V\)). Dann wird die Berechnung der Elektronendichte trivial:

\(N_C\) fasst also die gesamte Zustandsdichte des Leitungsbands in eine einzige Zahl zusammen. Die \(T^{3/2}\)-Abhängigkeit kommt daher, dass die Zustandsdichte mit \(\sqrt{E}\) wächst und die thermische Verteilung mit \(e^{-E/k_B T}\) abfällt -- das Integral über beides ergibt den \(T^{3/2}\)-Faktor.

Warum \(m_\text{DOS}^*\) und nicht einfach \(m^*\)?

In der Formel steht die Zustandsdichte-effektive Masse \(m_\text{DOS}^*\) -- nicht die "normale" effektive Masse und auch nicht die Leitfähigkeits-effektive Masse \(m_\text{cond}^*\). Der Unterschied ist wichtig:

• \(m_\text{cond}^*\) bestimmt, wie schnell sich Ladungsträger in einem elektrischen Feld bewegen (Beweglichkeit, Drift). Relevant für Stromtransport.
• \(m_\text{DOS}^*\) bestimmt, wie viele Zustände es in einem Energieintervall gibt. Relevant für die Zahl der Ladungsträger.

Die beiden sind verschieden, weil die Bandstruktur in der Regel anisotrop ist: Die effektive Masse hängt von der Richtung ab. In Silizium sind die sechs Leitungsbandtäler zigarrenförmig (längs schwer, quer leicht). Für die Zustandsdichte braucht man das geometrische Mittel über alle Richtungen und alle äquivalenten Täler:

wobei \(M\) die Zahl der äquivalenten Täler ist (6 bei Si-Elektronen) und \(m_l^*\), \(m_t^*\) die longitudinale und transversale Masse. Für Si ergibt das \(m_{e,\text{DOS}}^* \approx 1.08 \, m_0\) -- deutlich mehr als die Leitfähigkeitsmasse (\(m_{e,\text{cond}}^* \approx 0.26 \, m_0\)), weil die 6 Täler die Zustandsdichte versechsfachen.

Details: Effektive Masse.

Was \(N_C\) und \(N_V\) nicht sind

\(N_C\) und \(N_V\) sind nicht die tatsächliche Zahl besetzter Zustände -- sie sind die Zahl der verfügbaren Zustände, gewichtet mit der thermischen Energie. Die tatsächliche Besetzung ergibt sich erst zusammen mit der Fermi-Dirac-Verteilung. In Silizium bei 300 K ist \(N_C \approx 2{,}8 \times 10^{19}\) cm\(^{-3}\), aber davon sind im undotierten Fall nur \(n_i \approx 1{,}5 \times 10^{10}\) cm\(^{-3}\) tatsächlich besetzt -- neun Größenordnungen weniger.

Dotierte Halbleiter

Durch Dotierung lässt sich die Ladungsträgerkonzentration um viele Größenordnungen über \(n_i\) anheben. Die Berechnung basiert auf zwei Grundgleichungen.

Massenwirkungsgesetz

Im thermischen Gleichgewicht gilt immer:

Erhöht man \(n\) durch Donatoren, sinkt \(p\) -- und umgekehrt. Das Produkt bleibt bei gegebener Temperatur konstant. Das ist das zentrale Werkzeug: eine Konzentration bestimmen, die andere folgt automatisch.

Warum bleibt das Produkt konstant? Weil Rekombination und Generation sich im Gleichgewicht exakt die Waage halten. Wird das Gleichgewicht gestört (z.B. durch Licht oder Injektion), treibt Netto-Rekombination das System zurück zu \(n \cdot p = n_i^2\).

Ladungsneutralität

Der Halbleiter ist insgesamt elektrisch neutral:

wobei \(N_D^+\) die ionisierten Donatoren und \(N_A^-\) die ionisierten Akzeptoren sind. Bei Raumtemperatur (Störstellenerschöpfung) sind fast alle Dotieratome ionisiert: \(N_D^+ \approx N_D\), \(N_A^- \approx N_A\).

n-Typ (\(N_D \gg N_A\), \(N_D \gg n_i\))

Wenn die Donatorkonzentration alle anderen Größen dominiert, vereinfacht sich alles:

Beispiel: Si mit \(N_D = 10^{16}\) cm\(^{-3}\) bei 300 K:

• \(n = 10^{16}\) cm\(^{-3}\) (eine Million mal mehr als \(n_i\))
• \(p = (1{,}5 \times 10^{10})^2 / 10^{16} = 2{,}25 \times 10^{4}\) cm\(^{-3}\) (sechs Größenordnungen unter \(n_i\)!)

Die Dotierung drückt die Minoritätsladungsträger massiv nach unten.

p-Typ (\(N_A \gg N_D\), \(N_A \gg n_i\))

Analog:

Kompensierter Halbleiter (\(N_D\) und \(N_A\) beide signifikant)

Wenn beide Dotierungen vorhanden sind, heben sie sich teilweise auf:

Entartete Halbleiter: Wenn \(n \cdot p = n_i^2\) nicht mehr gilt

Alles oben basiert auf der Boltzmann-Näherung: Die Fermi-Dirac-Verteilung wird durch eine einfache Exponentialfunktion ersetzt. Das funktioniert solange das Fermi-Niveau \(E_F\) mindestens einige \(k_B T\) von den Bandkanten entfernt ist -- der Normalfall bei moderater Dotierung.

Bei sehr hoher Dotierung (\(N_D \gtrsim 10^{18}\) cm\(^{-3}\) in Si) rückt \(E_F\) so nah an die Leitungsbandkante \(E_C\), dass die Boltzmann-Näherung zusammenbricht. Ab \(E_F \geq E_C\) liegt das Fermi-Niveau im Leitungsband -- der Halbleiter ist entartet. Er verhält sich in mancher Hinsicht wie ein Metall: Die Elektronen am Bandrand sind nicht mehr thermisch verdünnt, sondern dicht gepackt wie ein Fermi-Gas.

Was sich ändert

In einem entarteten Halbleiter gilt \(n \cdot p \neq n_i^2\). Das Massenwirkungsgesetz in seiner einfachen Form ist ungültig, weil:

• Die Besetzungswahrscheinlichkeit an der Bandkante nicht mehr exponentiell abfällt (Boltzmann), sondern der vollen Fermi-Dirac-Statistik folgt
• Die Zustandsdichte sich durch die hohe Dotierung selbst verändert (Bandlückenverengung, s.u.)

Die Elektronendichte muss dann als Integral berechnet werden:

Dieses Integral hat keine geschlossene Lösung -- es führt auf die Fermi-Dirac-Integrale \(F_{1/2}(\eta)\) mit \(\eta = (E_F - E_C) / k_B T\). Für \(\eta \ll -1\) (nicht-entartet) geht \(F_{1/2}\) in die Exponentialfunktion über und man bekommt die bekannten Formeln zurück.

Bandlückenverengung (Bandgap Narrowing)

Bei sehr hoher Dotierung passiert noch etwas: Die vielen Dotieratome sind nicht mehr isolierte Störstellen, sondern ihre Wellenfunktionen überlappen. Das Donator-Niveau "verschmiert" zu einem Band, das mit dem Leitungsband verschmilzt. Gleichzeitig erzeugen die ionisierten Dotieratome ein Coulomb-Potential, das die Bandkanten verschiebt.

Das Ergebnis: Die effektive Bandlücke wird kleiner. Für Si bei \(N_D = 10^{19}\) cm\(^{-3}\) schrumpft \(E_g\) um ca. 50--100 meV. Das klingt wenig, hat aber wegen der exponentiellen Abhängigkeit von \(n_i^2 \propto e^{-E_g/k_B T}\) erhebliche Auswirkungen -- das effektive \(n_{i,eff}^2\) steigt um Größenordnungen.

In der Praxis wird oft ein effektives \(n_{i,eff}\) definiert, das die Bandlückenverengung mit einschließt:

Wo das relevant wird

Für die meisten Betrachtungen in dieser Knowledgebase (moderate Dotierung, \(N_D < 10^{17}\) cm\(^{-3}\)) ist die Boltzmann-Näherung völlig ausreichend. Aber wer Bauelemente simuliert oder \(J_0\) einer Solarzelle berechnet, kommt um die Entartung nicht herum.

Fermi-Niveau und Ladungsträgerdichten

Die Elektronendichte \(n\) und Löcherdichte \(p\) lassen sich auch über die Lage des Fermi-Niveaus \(E_F\) ausdrücken:

Diese Formeln gelten in der Boltzmann-Näherung -- also solange \(E_F\) mindestens einige \(k_B T\) von den Bandkanten entfernt ist (nicht-entartet). Für stark dotierte Halbleiter (\(N_D > N_C\)) bricht die Näherung zusammen, und man braucht die volle Fermi-Dirac-Statistik.

Alternativ mit dem intrinsischen Fermi-Niveau \(E_i\) (ungefähr Bandmitte):

Die Dotierung verschiebt \(E_F\): - n-Typ: \(E_F\) rückt Richtung \(E_C\) → \(n\) steigt exponentiell - p-Typ: \(E_F\) rückt Richtung \(E_V\) → \(p\) steigt exponentiell - Intrinsisch: \(E_F \approx E_i\)

Temperaturabhängigkeit

Die Ladungsträgerkonzentration eines dotierten Halbleiters durchläuft drei Bereiche:

1. Freeze-out (tiefe Temperatur)

Bei \(T \lesssim 100\) K (für Si) reicht die thermische Energie nicht aus, um alle Dotieratome zu ionisieren. \(n < N_D\), die Ladungsträger "frieren ein". Der Ionisierungsgrad folgt aus der Fermi-Statistik für die Störstellen.

2. Störstellenerschöpfung (Sättigungsbereich)

Der Normalfall bei Raumtemperatur: Alle Dotieratome sind ionisiert, aber \(n_i\) ist noch vernachlässigbar klein gegenüber \(N_D\). Die Ladungsträgerkonzentration ist praktisch konstant:

Das ist der Betriebsbereich der meisten Halbleiterbauelemente. Die schwache Temperaturabhängigkeit in diesem Bereich kommt nur aus der Beweglichkeit, nicht aus der Ladungsträgerzahl.

3. Eigenleitung (hohe Temperatur)

Bei hohen Temperaturen wächst \(n_i\) exponentiell an und überholt irgendwann die Dotierung. Ab \(n_i \gtrsim N_D\) verhält sich der Halbleiter wie undotiertes Material. Für Si mit \(N_D = 10^{15}\) cm\(^{-3}\) passiert das oberhalb von ca. 300°C.

Zusammenfassung der wichtigsten Formeln

Weiterführendes

• Dotierung -- woher die Ladungsträger kommen
• Fermi-Dirac-Verteilung -- die Statistik der Besetzung
• Zustandsdichte -- wie viele Zustände es gibt
• Effektive Masse -- bestimmt \(N_C\) und \(N_V\)
• Boltzmann-Verteilung -- der exponentielle Faktor
• Rekombination -- was passiert wenn Elektronen und Löcher sich treffen
• Drift und Diffusion -- wie sich die Ladungsträger bewegen