Dotierung

Reines Silizium leitet bei Raumtemperatur kaum -- es enthält bei 300 K nur etwa \(n_i \approx 10^{10}\) freie Elektronen pro cm\(^{3}\), verglichen mit \(5 \times 10^{22}\) Siliziumatomen pro cm\(^3\). Um daraus Transistoren, Dioden oder Solarzellen zu bauen, muss man die Zahl freier Ladungsträger gezielt erhöhen. Das geschieht durch Dotierung: das Einbringen von Fremdatomen in den Kristall.

Grundprinzip

Silizium hat vier Valenzelektronen und bildet im Diamantgitter vier kovalente Bindungen zu seinen Nachbarn. Was passiert, wenn man ein Siliziumatom durch ein Atom mit mehr oder weniger Valenzelektronen ersetzt?

n-Dotierung: Donatoren

Ein Atom aus der Gruppe V (Phosphor, Arsen, Antimon) hat fünf Valenzelektronen. Vier davon gehen in die kovalenten Bindungen -- das fünfte ist übrig. Im Banddiagramm erzeugt es einen zusätzlichen Zustand knapp unterhalb der Leitungsbandkante (nur \(\sim 45\) meV für P in Si¹). Weil dieser Abstand so klein ist, reicht schon wenig thermische Energie, um das Elektron ins Leitungsband zu heben -- bei Raumtemperatur (\(k_B T \approx 26\) meV) sind fast alle Donatoren ionisiert.

Das Ergebnis: Ein zusätzliches Elektron im Leitungsband, ohne dass ein Loch im Valenzband entsteht. Elektronen sind die Majoritätsladungsträger -- daher n-Typ (negativ).

p-Dotierung: Akzeptoren

Ein Atom aus der Gruppe III -- in der Praxis fast immer Bor, für spezielle Anwendungen wie Channel-Implants auch Indium -- hat nur drei Valenzelektronen. Es fehlt eines für die vierte Bindung. Im Banddiagramm erzeugt das einen zusätzlichen Zustand knapp oberhalb der Valenzbandkante (nur \(\sim 45\) meV für B in Si). Ein Elektron aus dem Valenzband kann leicht in diesen Zustand springen -- und hinterlässt dort ein Loch, einen positiven Ladungsträger.

Auch hier reicht bei Raumtemperatur die thermische Energie aus, um fast alle Akzeptoren zu ionisieren. Löcher sind die Majoritätsladungsträger -- p-Typ (positiv).

Majoritäts- und Minoritätsladungsträger

In jedem dotierten Halbleiter gibt es beide Ladungsträgertypen — Elektronen und Löcher. Aber einer dominiert:

• Majoritätsträger: Die durch Dotierung in großer Zahl vorhandenen Ladungsträger. Im n-Typ Elektronen, im p-Typ Löcher.
• Minoritätsträger: Die jeweils andere Sorte — im n-Typ die (wenigen) Löcher, im p-Typ die (wenigen) Elektronen. Ihre Konzentration folgt aus dem Massenwirkungsgesetz: \(p = n_i^2 / N_D\) (n-Typ) bzw. \(n = n_i^2 / N_A\) (p-Typ).

Die Minoritätsträger sind zahlenmäßig verschwindend gering (bei \(N_D = 10^{16}\) cm\(^{-3}\) nur \(\sim 10^4\) Löcher pro cm\(^3\)), aber sie spielen eine entscheidende Rolle: Der Strom durch einen pn-Übergang wird fast ausschließlich von Minoritätsträgern getragen.

Selbst starke Dotierung ist verdünnt

Selbst bei "starker" Dotierung ist nur etwa jedes 10.000ste Atom ein Fremdatom. Das Kristallgitter bleibt im Wesentlichen intakt -- die Fremdatome sind Störstellen, keine neue Phase.

Im Banddiagramm

© electronobotics.de

Dotierung lässt sich sauber im Bändermodell beschreiben. Die Fremdatome erzeugen zusätzliche Energieniveaus in der Bandlücke:

• Donatorniveau \(E_D\): liegt knapp unter der Leitungsbandkante \(E_C\). Der Abstand \(E_C - E_D\) ist die Ionisierungsenergie (z.B. 45 meV für P in Si).
• Akzeptorniveau \(E_A\): liegt knapp über der Valenzbandkante \(E_V\). Der Abstand \(E_A - E_V\) ist analog die Ionisierungsenergie (z.B. 45 meV für B in Si).

Bei Raumtemperatur ist die thermische Energie \(k_B T \approx 26\) meV. Das ist vergleichbar mit den Ionisierungsenergien -- deshalb sind die meisten Störstellen ionisiert.

Fermi-Niveau

Die Dotierung verschiebt das Fermi-Niveau \(E_F\):

• n-Typ: \(E_F\) rückt Richtung Leitungsband. Je höher \(N_D\), desto näher an \(E_C\).
• p-Typ: \(E_F\) rückt Richtung Valenzband. Je höher \(N_A\), desto näher an \(E_V\).
• Intrinsisch (undotiert): \(E_F\) liegt ungefähr in der Mitte der Bandlücke.

Das Fermi-Niveau bestimmt die Ladungsträgerkonzentrationen:

wobei \(E_i\) das intrinsische Fermi-Niveau (Bandmitte) ist. Mehr dazu unter Ladungsträgerdichten.

Massenwirkungsgesetz

Unabhängig von der Dotierung gilt im thermischen Gleichgewicht immer:

Erhöht man \(n\) durch n-Dotierung, sinkt \(p\) -- und umgekehrt. Das Produkt bleibt konstant (bei gegebener Temperatur).

Warum eigentlich? Im Halbleiter laufen ständig zwei Prozesse gegeneinander: Generation (thermische Energie reißt Elektron-Loch-Paare auseinander) und Rekombination (ein Elektron findet ein Loch, beide verschwinden). Die Generationsrate hängt nur von der Temperatur ab -- dem Kristall ist egal, wie dotiert er ist. Die Rekombinationsrate dagegen ist proportional zu \(n \cdot p\): Je mehr Elektronen und je mehr Löcher, desto öfter treffen sich welche. Im Gleichgewicht müssen sich beide Raten aufheben -- also ist \(n \cdot p\) auf einen festen, nur temperaturabhängigen Wert gezwungen: \(n_i^2\).

Der Name stammt aus der Chemie, und die Analogie trägt weit: In Wasser gilt \([\text{H}^+][\text{OH}^-] = K_W\) -- gibt man Säure dazu (mehr H⁺), geht OH⁻ zurück. Dotieren ist für den Halbleiter, was Säure für Wasser ist. Und die Zahlen sind drastisch: Bei \(N_D = 10^{16}\) cm\(^{-3}\) ist \(n = 10^{16}\), also \(p = n_i^2/n \approx 10^4\) cm\(^{-3}\) -- die Dotierung hebt die eine Trägersorte um sechs Größenordnungen an und drückt die andere um sechs hinunter, zwölf Dekaden Unterschied zwischen Majoritäts- und Minoritätsträgern.

Zwei Einschränkungen gehören dazu: Das Gesetz gilt nur im thermischen Gleichgewicht. Sobald Träger von außen nachgeliefert werden -- Injektion in der flusspolig betriebenen Diode, Licht in der Solarzelle -- ist \(n \cdot p > n_i^2\), und die Rekombination arbeitet daran, das Gleichgewicht wiederherzustellen (genau dieser Überschuss ist der Diodenstrom). Und bei entarteter Dotierung (\(\gtrsim 10^{19}\) cm\(^{-3}\)) verlässt die Boltzmann-Näherung den Gültigkeitsbereich, auf der das einfache \(n_i^2\) beruht. Für alles dazwischen ist das Massenwirkungsgesetz das Arbeitstier der Ladungsträger-Rechnung.

Ionisierung und Freeze-out

Nicht bei jeder Temperatur sind alle Dotieratome ionisiert. Es gibt drei Bereiche:

Störstellenerschöpfung (Sättigungsbereich)

Der Normalfall bei Raumtemperatur: Alle Dotieratome sind ionisiert. Die Elektronenkonzentration ist:

Das ist der Betriebsbereich der meisten Halbleiterbauelemente.

Freeze-out (Tieftemperatur)

Bei tiefen Temperaturen (\(T \lesssim 100\) K für Si) reicht die thermische Energie nicht mehr aus, um die Elektronen von den Donatoren zu lösen. Die Ladungsträger "frieren ein" -- die Leitfähigkeit bricht ein.

Für Donatoren folgt der Ionisierungsgrad aus der Fermi-Statistik: Bei \(T \to 0\) sind alle Elektronen an ihren Donatoren gebunden, \(n \to 0\).

Eigenleitung (Hochtemperatur)

Bei sehr hohen Temperaturen werden so viele Elektron-Loch-Paare thermisch erzeugt, dass \(n_i\) die Dotierkonzentration übersteigt. Der Halbleiter verhält sich wieder wie undotiertes Material. Für Silizium mit \(N_D = 10^{15}\) cm\(^{-3}\) passiert das oberhalb von ca. 500°C.

Kompensation

In der Praxis enthält ein Halbleiter oft sowohl Donatoren (\(N_D\)) als auch Akzeptoren (\(N_A\)). Die Elektronen der Donatoren füllen zuerst die Akzeptorniveaus auf -- sie kompensieren sich gegenseitig:

• Wenn \(N_D > N_A\): n-Typ mit \(n \approx N_D - N_A\)
• Wenn \(N_A > N_D\): p-Typ mit \(p \approx N_A - N_D\)

Kompensation ist kein Designfehler, sondern wird gezielt eingesetzt. Zum Beispiel wird bei der Herstellung eines pn-Übergangs ein p-dotiertes Gebiet durch stärkere n-Dotierung "umgedreht" (Counterdoping).

Wichtig: Die Gesamtzahl ionisierter Störstellen \(N_D + N_A\) bleibt erhalten -- und damit auch die Streuung der Ladungsträger an ihnen. Ein kompensierter Halbleiter hat daher eine niedrigere Beweglichkeit als ein unkompensierter mit derselben Netto-Ladungsträgerkonzentration.

Dotiertechniken

Ionenimplantation

Beschleunigte Ionen (z.B. P\(^+\), B\(^+\)) werden direkt ins Substrat geschossen. Die Eindringtiefe wird über die Beschleunigungsspannung gesteuert (typisch 10--200 keV), die Dosis über den Strahlstrom und die Belichtungszeit.

Vorteile: Präzise Kontrolle von Tiefe und Konzentration, Dotierung durch Masken möglich (laterale Strukturierung). Nachteil: Der Beschuss erzeugt Kristallschäden, die durch anschließendes Tempern (Ausheizen bei 900--1100°C) repariert werden müssen.

Das resultierende Dotierprofil ist annähernd gaußförmig um die mittlere Eindringtiefe.

Diffusion

Dotieratome werden bei hoher Temperatur (900--1200°C) aus einer Gasphase oder aufgedampften Schicht in das Material hineindiffundiert. Die Verteilung folgt den Fickschen Gesetzen -- das Profil ist typischerweise ein komplementärer Gauß (konstante Oberflächenkonzentration) oder ein Gauß (begrenzte Dosis).

Ältere Technik als Implantation, aber immer noch relevant für tiefe Wannen und Hochtemperaturprozesse.

Epitaxie

Beim Kristallwachstum (MBE, CVD) werden Dotieratome direkt mit eingebaut. Das ergibt atomar scharfe Dotierprofile und wird für Heterostrukturen, Quantentöpfe und High-Electron-Mobility-Transistoren (HEMTs) eingesetzt.

Weiterführendes

• Bandstruktur -- wie die Energiebänder entstehen, in die dotiert wird
• Fermi-Dirac-Verteilung -- die Statistik hinter der Ionisierung
• Ladungsträgerdichten -- quantitative Berechnung von \(n\) und \(p\)
• Drift und Diffusion -- wie sich die Ladungsträger bewegen
• pn-Übergang -- was passiert, wenn n- und p-Gebiet aufeinandertreffen