Fermi-Dirac-Verteilung
In einem Halbleiter stellt sich ständig die Frage: Wie viele Elektronen sitzen im Leitungsband? Wie viele Löcher im Valenzband? Die Antwort hängt von zwei Dingen ab -- wie viele Zustände es bei einer bestimmten Energie gibt (das ist die Zustandsdichte), und mit welcher Wahrscheinlichkeit diese Zustände auch tatsächlich besetzt sind. Genau das liefert die Fermi-Dirac-Verteilung.
Die Formel
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Quantenzustand mit Energie \(E\) von einem Elektron besetzt ist, beträgt:
Drei Größen bestimmen alles:
- \(E\) -- die Energie des betrachteten Zustands
- \(E_F\) -- das Fermi-Niveau (dazu gleich mehr)
- \(k_B T\) -- die thermische Energie (bei 300 K: \(k_B T \approx 26\) meV)
Das Ergebnis \(f(E)\) liegt immer zwischen 0 und 1 -- es ist eine Wahrscheinlichkeit. Die Formel sieht auf den ersten Blick wenig intuitiv aus, aber ihre Konsequenzen sind es:
Bei \(T \to 0\) ist die Verteilung eine scharfe Stufe: alles unter \(E_F\) besetzt, alles darüber leer. Mit steigender Temperatur weicht die Stufe auf -- der Übergangsbereich wird breiter, aber \(f(E_F) = 0{,}5\) bleibt immer fest.
Das Fermi-Niveau
Das Fermi-Niveau \(E_F\) ist die zentrale Referenzenergie der Verteilung. Es ist definiert als die Energie, bei der die Besetzungswahrscheinlichkeit exakt 50 % beträgt:
Das heißt nicht, dass bei \(E_F\) tatsächlich ein Zustand existieren muss -- in einem Halbleiter liegt \(E_F\) typischerweise in der Bandlücke, wo es gar keine Zustände gibt. Trotzdem bestimmt die Lage von \(E_F\) relativ zu den Bandkanten, wie viele Elektronen im Leitungsband und wie viele Löcher im Valenzband sitzen:
- n-Typ (Dotierung mit Donatoren, z.B. Arsen in Si): Die Donatoratome erzeugen Energieniveaus \(E_D\) knapp unterhalb der Leitungsbandkante (typisch 45 meV für As in Si). Bei Raumtemperatur ist \(k_B T \approx 26\) meV — das reicht, um die meisten Donatoren zu ionisieren, ihre Elektronen sitzen jetzt im Leitungsband. \(E_F\) muss sich so einstellen, dass die Fermi-Dirac-Statistik diese Besetzung konsistent beschreibt. Das Ergebnis: \(E_F\) liegt zwischen den (größtenteils ionisierten) Donatorniveaus und \(E_C\) — also nahe am Leitungsband.
- p-Typ (Dotierung mit Akzeptoren, z.B. Bor in Si): Analog — Akzeptorniveaus \(E_A\) liegen knapp über \(E_V\). Bei Raumtemperatur nehmen sie Elektronen aus dem Valenzband auf (= erzeugen Löcher). \(E_F\) landet zwischen \(E_V\) und den Akzeptorniveaus.
- Intrinsisch (undotiert): Keine Störstellen, \(E_F\) liegt nahe der Bandmitte. Sowohl \(E_C - E_F\) als auch \(E_F - E_V\) sind groß (je \(\approx E_g/2\)) → die Besetzungswahrscheinlichkeit am Leitungsbandrand ist winzig. Die intrinsische Ladungsträgerkonzentration \(n_i\) ist aber stark temperaturabhängig: Weil der Exponent \(E_g / 2k_B T\) so groß ist (~22 bei Raumtemperatur für Si), verdoppelt sich \(n_i\) in Silizium etwa alle 9 K (Faustregel: pro 10 K). Bei 300 K sind es \(\approx 10^{10}\) cm\(^{-3}\), bei 400 K schon \(\approx 10^{12}\) cm\(^{-3}\) -- zwei Größenordnungen mehr durch nur 100 K Temperaturerhöhung. Das ist der Grund, warum Halbleiterbauelemente bei hohen Temperaturen versagen: Irgendwann überwiegt \(n_i\) die Dotierung.
Die Kausalität läuft also: Dotierung erzeugt Störstellenniveaus → thermische Ionisierung bei Raumtemperatur → \(E_F\) verschiebt sich, um die Besetzungsstatistik konsistent zu halten → Ladungsträgerkonzentration folgt aus \(f(E)\) an den Bandkanten.
Enrico Fermi (1901--1954) und Paul Dirac (1902--1984) entwickelten die Statistik für Teilchen, die dem Pauli-Prinzip gehorchen, unabhängig voneinander 1926. Fermi kam aus der statistischen Mechanik, Dirac aus der Quantentheorie -- beide landeten bei derselben Formel. Fermi war einer der seltenen Physiker, die sowohl theoretisch als auch experimentell zur Weltspitze gehörten; Dirac gilt als einer der brillantesten Theoretiker des 20. Jahrhunderts. Mehr zu Fermi → | Mehr zu Dirac →
Verhalten der Verteilung
Weit unter dem Fermi-Niveau: \(E \ll E_F\)
Wenn \(E\) deutlich kleiner als \(E_F\) ist, wird der Exponent \((E - E_F)/k_B T\) stark negativ. Die Exponentialfunktion geht gegen null:
Der Zustand ist praktisch sicher besetzt. Das macht Sinn: Zustände tief im Valenzband sind bei jeder vernünftigen Temperatur voll.
Weit über dem Fermi-Niveau: \(E \gg E_F\)
Wenn \(E\) deutlich größer als \(E_F\) ist, wird der Exponent stark positiv. Die Exponentialfunktion dominiert den Nenner:
Das ist die Boltzmann-Verteilung -- eine einfache Exponentialfunktion. Dieser Grenzfall ist enorm wichtig, weil er in Halbleitern fast immer gilt: Das Leitungsband liegt typischerweise mehrere \(k_B T\) über \(E_F\), die Besetzungswahrscheinlichkeit ist dort so gering, dass das Pauli-Prinzip keine Rolle spielt. Deshalb kann man in den meisten Halbleiterformeln die Boltzmann-Näherung verwenden, statt das volle Fermi-Dirac-Integral zu lösen.
Am Fermi-Niveau: \(E = E_F\)
Genau bei \(E_F\) ist \(f = 0.5\) -- der einzige Punkt, an dem die Verteilung temperaturunabhängig ist.
Zahlenbeispiel
Wie schnell fällt die Besetzung oberhalb von \(E_F\) ab? Die folgende Tabelle zeigt \(f(E)\) für verschiedene Abstände \((E - E_F)\) bei Raumtemperatur:
| \(E - E_F\) | in Einheiten von \(k_B T\) | \(f(E)\) | Interpretation |
|---|---|---|---|
| \(-5 \, k_B T\) (−130 meV) | −5 | 99.3 % | Fast sicher besetzt |
| \(-2 \, k_B T\) (−52 meV) | −2 | 88.1 % | Überwiegend besetzt |
| \(0\) | 0 | 50.0 % | Definition des Fermi-Niveaus |
| \(+2 \, k_B T\) (+52 meV) | +2 | 11.9 % | Überwiegend leer |
| \(+5 \, k_B T\) (+130 meV) | +5 | 0.7 % | Fast sicher leer |
| \(+10 \, k_B T\) (+260 meV) | +10 | 0.005 % | Boltzmann-Näherung exzellent |
Der Übergang von "besetzt" zu "leer" passiert in einem Bereich von etwa \(\pm 5 \, k_B T\) um \(E_F\) -- das sind bei Raumtemperatur nur \(\pm 130\) meV. Alles außerhalb dieses schmalen Fensters ist entweder voll oder leer.
\(T = 0\): Die Stufenfunktion
Am absoluten Nullpunkt wird die Fermi-Dirac-Verteilung zu einer scharfen Stufenfunktion:
Jeder Zustand unter \(E_F\) ist besetzt, jeder darüber ist leer -- keine Ausnahmen, keine thermische Verschmierung. Die Elektronen füllen die niedrigsten verfügbaren Zustände auf, wie Wasser, das einen Behälter von unten füllt. \(E_F\) ist der Wasserstand.
Bei endlicher Temperatur "weicht" die Stufe auf: Einige Elektronen knapp unter \(E_F\) werden thermisch angeregt in Zustände knapp über \(E_F\). Je höher die Temperatur, desto breiter die Verschmierung -- aber immer symmetrisch um \(E_F\).
Löcher: Die Gegenwahrscheinlichkeit
Wenn \(f(E)\) die Wahrscheinlichkeit ist, dass ein Zustand mit einem Elektron besetzt ist, dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass er leer ist:
Das ist die Besetzungswahrscheinlichkeit für Löcher. Im Valenzband, wo \(E < E_F\), ist \(1 - f(E)\) sehr klein -- fast alle Zustände sind besetzt, es gibt wenig Löcher. Aber die wenigen, die existieren, sind die Ladungsträger im p-Typ-Halbleiter.
Bemerkenswert: Die Loch-Verteilung hat exakt dieselbe Form wie die Elektronen-Verteilung, nur gespiegelt an \(E_F\). Das ist einer der Gründe, warum die Loch-Beschreibung so elegant funktioniert.
Warum nicht einfach Boltzmann?
Die Boltzmann-Verteilung ist einfacher und reicht in Halbleitern fast immer aus. Warum braucht man dann überhaupt Fermi-Dirac?
Das Pauli-Prinzip
Der fundamentale Unterschied: Elektronen sind Fermionen -- sie gehorchen dem Pauli-Prinzip, das besagt: Maximal ein Elektron pro Quantenzustand (genauer: je eines pro Spinrichtung). Die Boltzmann-Verteilung ignoriert das. Sie erlaubt im Prinzip beliebig viele Teilchen im selben Zustand -- für klassische Teilchen (Gasmoleküle) kein Problem, für Elektronen physikalisch falsch.
In der Praxis merkt man den Unterschied nur, wenn die Besetzungswahrscheinlichkeit in die Nähe von 1 kommt. Solange \(f(E) \ll 1\) (also \(E - E_F \gg k_B T\)), sind die Zustände so dünn besetzt, dass es keinen Unterschied macht, ob Doppelbesetzung erlaubt wäre oder nicht -- sie kommt praktisch nie vor. Genau das ist die Bedingung für die Boltzmann-Näherung.
Wann Boltzmann versagt
Die Boltzmann-Näherung bricht zusammen, wenn \(E_F\) in ein Band hineinrückt oder ihm sehr nahe kommt:
- Metalle: \(E_F\) liegt mitten im Leitungsband. Die Zustände um \(E_F\) sind zu ~50 % besetzt -- hier ist Fermi-Dirac zwingend nötig. Ohne das Pauli-Prinzip gäbe es keine Fermi-Fläche und kein metallisches Verhalten.
- Entartete Halbleiter: Bei sehr starker Dotierung (\(> 10^{19}\) cm\(^{-3}\) in Si) kann \(E_F\) über \(E_C\) steigen. Dann ist die Boltzmann-Näherung nicht mehr gültig, und die Formeln für \(n\) und \(p\) müssen durch Fermi-Dirac-Integrale ersetzt werden.
- Tiefe Temperaturen: Bei \(T \to 0\) wird die Verschmierung so schmal, dass der Unterschied zwischen der scharfen Fermi-Stufe und dem exponentiellen Boltzmann-Schwanz entscheidend wird.
Für den normalen Betrieb von Halbleiterbauelementen bei Raumtemperatur mit moderater Dotierung reicht Boltzmann aber locker.
Von der Verteilung zur Ladungsträgerdichte
Fermi-Dirac allein sagt: "Zustand bei Energie \(E\) ist mit Wahrscheinlichkeit \(f(E)\) besetzt." Aber wie viele Zustände gibt es bei Energie \(E\)? Das liefert die Zustandsdichte \(D(E)\).
Die Elektronendichte im Leitungsband ergibt sich aus dem Produkt beider:
Analog für Löcher im Valenzband:
Die Zustandsdichte hängt von der effektiven Masse ab (\(D \propto {m^*}^{3/2}\)). Verwendet man die Boltzmann-Näherung, lassen sich die Integrale analytisch lösen und man erhält die kompakten Formeln für die Ladungsträgerdichten:
mit den effektiven Zustandsdichten \(N_C\) und \(N_V\). Daraus folgt direkt das Massenwirkungsgesetz \(n \cdot p = n_i^2\) -- eine der wichtigsten Beziehungen der Halbleiterphysik.
Quasi-Fermi-Niveaus
Im thermischen Gleichgewicht gibt es ein einziges Fermi-Niveau \(E_F\) für das gesamte System. Aber sobald Strom fließt oder Licht absorbiert wird, ist das System nicht mehr im Gleichgewicht. Elektronen und Löcher haben dann unterschiedliche Besetzungen, und man beschreibt sie mit zwei getrennten Quasi-Fermi-Niveaus:
- \(E_{Fn}\) für Elektronen: \(n = N_C \cdot e^{-(E_C - E_{Fn})/k_B T}\)
- \(E_{Fp}\) für Löcher: \(p = N_V \cdot e^{-(E_{Fp} - E_V)/k_B T}\)
Die Aufspaltung \(E_{Fn} - E_{Fp}\) ist ein Maß dafür, wie weit das System vom Gleichgewicht entfernt ist. An einem pn-Übergang unter Vorwärtsspannung ist diese Aufspaltung direkt die angelegte Spannung: \(qV = E_{Fn} - E_{Fp}\).
In Solarzellen ist die Aufspaltung der Quasi-Fermi-Niveaus die maximale Spannung, die die Zelle liefern kann -- sie wird durch die Beleuchtungsstärke und die Rekombinationsrate bestimmt.
Die drei Verteilungen im Vergleich
Elektronen folgen Fermi-Dirac, Photonen und Phononen folgen Bose-Einstein, und klassische Teilchen folgen Boltzmann. Die drei Verteilungen unterscheiden sich darin, wie sie mit Mehrfachbesetzung umgehen:
| Boltzmann | Fermi-Dirac | Bose-Einstein | |
|---|---|---|---|
| Teilchentyp | Klassisch (unterscheidbar) | Fermionen (Elektronen, Protonen) | Bosonen (Photonen, Phononen) |
| Pauli-Prinzip | Ignoriert | Maximal 1 pro Zustand | Beliebig viele pro Zustand |
| \(f(E)\) | \(e^{-(E-\mu)/k_B T}\) | \(\frac{1}{e^{(E-E_F)/k_B T} + 1}\) | \(\frac{1}{e^{(E-\mu)/k_B T} - 1}\) |
| \(f(E)\) kann sein | \(0 \ldots \infty\) | \(0 \ldots 1\) | \(0 \ldots \infty\) |
| Wichtig für | Verdünnte Systeme | Elektronik, Metalle | Strahlung, Wärmeleitung |
Der Unterschied zwischen Fermi-Dirac und Bose-Einstein ist nur ein Vorzeichen im Nenner (\(+1\) vs. \(-1\)) -- aber die physikalischen Konsequenzen sind fundamental verschieden. Beide gehen für \(E - \mu \gg k_B T\) in die Boltzmann-Verteilung über.