Zustandsdichte (Density of States)

Die Fermi-Dirac-Verteilung sagt: "Ein Zustand bei Energie \(E\) ist mit Wahrscheinlichkeit \(f(E)\) besetzt." Aber wie viele Zustände gibt es überhaupt bei Energie \(E\)? Diese Frage beantwortet die Zustandsdichte \(D(E)\).

Ohne die Zustandsdichte ist die Fermi-Dirac-Verteilung nutzlos — sie gibt Besetzungswahrscheinlichkeiten für Zustände an, die vielleicht gar nicht existieren. Erst das Produkt aus beiden liefert, was man wirklich wissen will: wie viele Elektronen bei einer bestimmten Energie tatsächlich sitzen.

Definition

Die Zustandsdichte \(D(E)\) ist definiert als die Anzahl der Quantenzustände pro Energieintervall und Volumen:

Die Einheit ist \(\text{cm}^{-3}\,\text{eV}^{-1}\) (Zustände pro Kubikzentimeter und Elektronenvolt). Ein hoher Wert von \(D(E)\) bedeutet: Bei dieser Energie stehen viele Zustände zur Verfügung. Ein niedriger Wert (oder null, in der Bandlücke) bedeutet: Hier gibt es wenig oder gar nichts zu besetzen.

Herleitung: Vom k-Raum zur Energie

Zustände im k-Raum

Woher weiß man, wie viele Zustände es gibt? Der Ausgangspunkt ist der k-Raum — der Raum der Wellenvektoren \(\vec{k}\), die die Zustände eines Elektrons im Kristall beschreiben (siehe Bandstruktur).

In einem unendlich ausgedehnten Kristall wäre jeder Wellenvektor \(\vec{k}\) erlaubt — ein Kontinuum. In einem realen Kristall mit endlichem Volumen \(V = L_x \cdot L_y \cdot L_z\) erzwingen die periodischen Randbedingungen (Born-von-Kármán), dass die \(\vec{k}\)-Werte diskret sind:

Max Born (1882--1970) und Theodore von Kármán (1881--1963) führten diese Randbedingungen 1912 in einer Arbeit über die Gitterschwingungen von Kristallen ein. Born wurde später für die statistische Interpretation der Quantenmechanik (\(|\Psi|^2\) = Aufenthaltswahrscheinlichkeit) mit dem Nobelpreis ausgezeichnet; von Kármán wurde einer der Väter der modernen Aerodynamik — die Kármán-Linie in 100 km Höhe, die Grenze zum Weltraum, trägt seinen Namen. Mehr zu Born → | Mehr zu von Kármán →

Die erlaubten k-Werte bilden also ein regelmäßiges Gitter im k-Raum. Der Abstand zwischen benachbarten Punkten ist \(2\pi/L_x\) in x-Richtung (und analog für y und z). Jeder Zustand belegt damit ein k-Raum-Volumen von:

Umgekehrt: In einem k-Raum-Volumen \(d^3k\) passen \(V / (2\pi)^3\) Zustände. Da jeder Zustand von zwei Elektronen besetzt werden kann (Spin up und Spin down — Pauli-Prinzip erlaubt zwei pro k-Punkt), ergibt sich die Zustandsdichte im k-Raum zu:

Zustände pro Volumeneinheit im k-Raum. Der entscheidende Punkt: Je größer der Kristall (\(V\)), desto enger liegen die k-Punkte beieinander — für makroskopische Kristalle (\(V \sim 1\,\text{cm}^3\), also \(\sim 10^{22}\) Atome) sind die Abstände so winzig, dass man das diskrete Gitter als Kontinuum behandeln und Summen durch Integrale ersetzen kann.

Von k-Raum zu Energie

Um von \(\vec{k}\) zur Energie zu kommen, braucht man die Dispersionsrelation \(E(\vec{k})\). Für ein freies Elektron (oder ein Elektron nahe der Bandkante in der parabolischen Näherung) gilt:

Das ist eine Kugel im k-Raum: Alle Zustände mit derselben Energie liegen auf einer Kugelschale mit Radius \(k = \sqrt{2m^*(E - E_C)} / \hbar\). Die Anzahl der Zustände zwischen Energie \(E\) und \(E + dE\) entspricht dem Volumen der Kugelschale (\(4\pi k^2 \, dk\)), multipliziert mit der Zustandsdichte im k-Raum.

Das Ergebnis nach Umrechnung von \(dk\) in \(dE\):

Was die Formel sagt

Drei Dinge fallen auf:

1. Wurzelabhängigkeit: \(D(E) \propto \sqrt{E - E_C}\). Direkt an der Bandkante (\(E = E_C\)) ist die Zustandsdichte null — sie steigt dann mit der Wurzel der Energie an. Es gibt also nicht plötzlich unendlich viele Zustände am Bandrand, sondern die Dichte wächst langsam.

2. Rolle der effektiven Masse: \(D(E) \propto {m^*}^{3/2}\). Schwere Ladungsträger bedeuten mehr Zustände. Das ist anschaulich: Eine große effektive Masse heißt eine flache Parabel im E(k)-Diagramm — und eine flache Parabel packt mehr k-Werte in ein gegebenes Energieintervall als eine steile.

3. Nur gültig innerhalb der Bänder: In der Bandlücke (\(E_V < E < E_C\)) ist \(D(E) = 0\) — es gibt dort keine erlaubten Zustände. Das ist die Bandlücke.

Valenzband

Für das Valenzband gilt die analoge Formel, nur gespiegelt — die Zustandsdichte wächst von der Valenzbandkante \(E_V\) nach unten:

Hier geht die Löcher-effektive Masse \(m^*_h\) ein. Da \(m^*_h > m^*_e\) in Silizium (\(0.56\,m_0\) vs. \(1.08\,m_0\) für die DOS-Massen), hat das Valenzband bei gleicher Energie weniger Zustände als das Leitungsband — oder genauer: die Zustandsdichte im Valenzband wächst langsamer.

Das Gesamtbild: Zustandsdichte × Fermi-Dirac

Erst die Kombination von Zustandsdichte und Fermi-Dirac-Verteilung ergibt die Ladungsträgerdichte — die Anzahl der tatsächlich besetzten Zustände:

Das Bild zeigt das Zusammenspiel der drei Größen für einen intrinsischen Halbleiter (Si bei 300 K):

• Links: Die Zustandsdichte \(D(E)\) — im Leitungsband (blau) und Valenzband (rot) wächst sie mit \(\sqrt{E}\) von den Bandkanten weg. In der Bandlücke (gelb) ist \(D(E) = 0\).
• Mitte: Die Fermi-Dirac-Verteilung \(f(E)\) — bei \(E_F\) (Bandmitte im intrinsischen Fall) beträgt sie 50 %. Im Leitungsband ist sie winzig, im Valenzband nahe 1. Die gestrichelte Kurve \(1 - f(E)\) gibt die Loch-Besetzung.
• Rechts: Das Produkt — die tatsächlich besetzten Zustände. Obwohl \(D(E)\) mit der Energie wächst, fällt \(f(E)\) exponentiell ab. Das Ergebnis ist ein schmales Maximum knapp oberhalb von \(E_C\) (Elektronen) bzw. knapp unterhalb von \(E_V\) (Löcher). Die Fläche unter den Kurven ergibt \(n\) und \(p\).

Für Löcher gilt das spiegelsymmetrisch am Valenzband.

Effektive Zustandsdichte

Die Integrale oben sehen kompliziert aus, lassen sich aber mit der Boltzmann-Näherung (\(E - E_F \gg k_B T\), was in Halbleitern fast immer gilt) analytisch lösen. Das Ergebnis hat eine elegante Form:

Die gesamte Information über die Zustandsdichte steckt jetzt in zwei Zahlen: den effektiven Zustandsdichten \(N_C\) und \(N_V\).

Warum \(m^*_\text{DOS}\) und nicht einfach \(m^*\)?

In den Formeln für \(N_C\) und \(N_V\) taucht \(m^*_\text{DOS}\) auf — die Zustandsdichte-effektive Masse (DOS = Density of States). Warum nicht einfach die effektive Masse \(m^*\)? Weil es in realen Halbleitern nicht "die eine" effektive Masse gibt.

Problem 1 — Anisotropie: In Silizium sind die Energieflächen im k-Raum keine Kugeln, sondern Ellipsoide — wie Rugbybälle. Die effektive Masse hängt von der Richtung ab: längs (\(m^*_l = 0.98\,m_0\)) ist sie fünfmal so groß wie quer (\(m^*_t = 0.19\,m_0\)). Für die Zustandsdichte zählt das Volumen des Ellipsoids im k-Raum, nicht eine einzelne Richtung. Aus einem Ellipsoid mit Halbachsen \(m^*_l\) und \(m^*_t\) wird eine äquivalente Kugel mit dem geometrischen Mittel:

Für Si-Elektronen: \((0.98 \times 0.19^2)^{1/3} \approx 0.33\,m_0\).

Problem 2 — Mehrere Täler: Das Leitungsband von Silizium hat nicht ein Minimum, sondern sechs äquivalente Minima (Täler) entlang der \(\langle 100 \rangle\)-Richtungen. Jedes Tal trägt dieselbe Zustandsdichte bei — sechs Täler bedeuten sechsmal so viele Zustände. Das lässt sich in die effektive Masse hineinrechnen, indem man die Tal-Anzahl \(M\) mit einer Potenz von \(2/3\) berücksichtigt:

Für Si: \(m^*_{e,\text{DOS}} = 6^{2/3} \times 0.33\,m_0 \approx 1.08\,m_0\).

Das ist viermal so groß wie die Leitfähigkeitsmasse \(m^*_{e,\text{cond}} \approx 0.26\,m_0\), die für Drift und Beweglichkeit relevant ist. Der Unterschied kommt daher, dass bei der Leitfähigkeit ein harmonisches Mittel gebildet wird (langsame Richtungen bremsen stärker), während bei der Zustandsdichte das geometrische Mittel zählt (mehr Volumen = mehr Zustände). Ausführliche Herleitung: Effektive Masse → Anisotropie.

GaAs ist einfacher: Dort liegt das Leitungsbandminimum am \(\Gamma\)-Punkt (\(M = 1\)) und ist isotrop — die Energieflächen sind Kugeln. Deshalb ist \(m^*_\text{DOS} = m^*_\text{cond} = 0.067\,m_0\).

\(N_C\) kann man sich vorstellen als: "So viele Zustände müssten genau bei \(E_C\) sitzen, damit die einfache Boltzmann-Formel dasselbe Ergebnis liefert wie das vollständige Integral." Es ist ein mathematischer Trick, der die Wurzelfunktion und das Integral in eine einzige Zahl zusammenfasst.

Typische Werte bei 300 K

Bemerkenswert: \(N_C\) in GaAs ist 60-mal kleiner als in Silizium — weil die Elektronenmasse dort so winzig ist (\(0.067\,m_0\)). Das hat direkte Konsequenzen: Die intrinsische Ladungsträgerdichte \(n_i = \sqrt{N_C N_V} \cdot e^{-E_g/2k_B T}\) ist in GaAs trotz der größeren Bandlücke nicht so viel kleiner wie man erwarten würde, weil \(N_C\) den Unterschied teilweise kompensiert.

Temperaturabhängigkeit

\(N_C\) und \(N_V\) sind nicht konstant, sondern wachsen mit \(T^{3/2}\). Bei höheren Temperaturen stehen effektiv mehr Zustände zur Verfügung — die thermische Verschmierung macht einen größeren Energiebereich zugänglich. In der Praxis dominiert aber der exponentielle Boltzmann-Faktor \(e^{-E_g/2k_B T}\) die Temperaturabhängigkeit der Ladungsträgerdichten bei weitem.

Zustandsdichte in anderen Dimensionen

Die \(\sqrt{E}\)-Abhängigkeit gilt für dreidimensionale (3D) Strukturen — also Bulk-Halbleiter. In niedrigeren Dimensionen sieht die Zustandsdichte fundamental anders aus:

Mit sinkender Dimension wird die Zustandsdichte schärfer konzentriert. Ein Quantenpunkt hat wie ein einzelnes Atom diskrete Energieniveaus — die Zustandsdichte besteht aus scharfen Linien. Das ist der Grund, warum Quantenpunkte so scharfe Emissionslinien haben und als "künstliche Atome" bezeichnet werden.

Diese Unterschiede sind nicht akademisch: Quantenfilm-Laser (2D) haben eine niedrigere Schwellstromdichte als Bulk-Laser, weil die stufenartige Zustandsdichte die Ladungsträger effizienter bei der richtigen Energie konzentriert. Und Quantenpunkt-LEDs (0D) erreichen extrem enge Emissionsspektren.

Zusammenfassung