pn-Übergang: Quantitativ
Der qualitative Artikel zum pn-Übergang erklärt mit Bildern, was an der Grenze zwischen n- und p-Gebiet passiert und warum. Dieser Artikel hier liefert die Mathematik dazu -- Formeln, Herleitungen und Zahlenwerte. Man kann ihn auch eigenständig lesen.
Kurzwiederholung: Was passiert am pn-Übergang?
Bringt man ein n-dotiertes und ein p-dotiertes Halbleitergebiet in Kontakt, diffundieren Elektronen von n nach p und Löcher von p nach n. An der Grenzfläche rekombinieren sie und hinterlassen eine Zone ohne freie Ladungsträger — die Raumladungszone (RLZ). Die ortsfesten ionisierten Dotieratome erzeugen ein elektrisches Feld, das die weitere Diffusion stoppt. Im Gleichgewicht kompensieren sich Diffusions- und Driftstrom exakt.
Die Potentialdifferenz über der RLZ heißt eingebaute Spannung \(V_{bi}\) (auch Diffusionsspannung \(U_D\)).
Eingebaute Spannung \(V_{bi}\)
Im Gleichgewicht ist das Fermi-Niveau \(E_F\) überall gleich. Auf der n-Seite liegt es nahe der Leitungsbandkante, auf der p-Seite nahe der Valenzbandkante. Die resultierende Potentialdifferenz ist die eingebaute Spannung (die vollständige Herleitung geht über den Fermi-Niveau-Ausgleich):
\(V_{bi}\) hängt von den Dotierkonzentrationen \(N_D\) und \(N_A\) ab und von der intrinsischen Konzentration \(n_i\) (also vom Material und der Temperatur). Der Logarithmus sorgt dafür, dass \(V_{bi}\) nur schwach von der Dotierung abhängt -- eine Verzehnfachung der Dotierung ändert \(V_{bi}\) nur um ~60 mV.
Zahlenbeispiele
| Dotierung | \(N_D\) | \(N_A\) | \(V_{bi}\) (Si, 300 K) |
|---|---|---|---|
| Symmetrisch, moderat | \(10^{16}\) | \(10^{16}\) | 0.70 V |
| Symmetrisch, stark | \(10^{18}\) | \(10^{18}\) | 0.93 V |
| Asymmetrisch (\(p^+n\)) | \(10^{15}\) | \(10^{18}\) | 0.75 V |
| Schwach dotiert | \(10^{14}\) | \(10^{14}\) | 0.47 V |
Für GaAs (\(n_i \approx 2 \times 10^6\) cm\(^{-3}\), viel kleiner als Si) ist \(V_{bi}\) bei gleicher Dotierung ~1.2 V -- weil die kleinere intrinsische Konzentration den Logarithmus vergrößert.
Schottky-Näherung und RLZ-Breite
Walter Schottky (1886--1976) arbeitete den Großteil seiner Karriere bei Siemens in Berlin. Seine Verarmungsnäherung für die Raumladungszone macht die Poisson-Gleichung analytisch lösbar und ist die Grundlage jeder RLZ-Berechnung. Auch die Schottky-Diode (Metall-Halbleiter-Kontakt) und das Schrotrauschen tragen seinen Namen. Mehr zu Schottky →
Die folgenden Rechnungen basieren auf der Schottky-Näherung. Man nimmt an, dass die Raumladungszone abrupte Grenzen hat und dazwischen keine freien Ladungsträger existieren. Die Raumladungsdichte springt von \(+qN_D\) (n-Seite) zu \(-qN_A\) (p-Seite) zu Null (außerhalb). In Wirklichkeit sind die Übergänge stetig, aber die Näherung ist für die meisten Zwecke ausgezeichnet.
Die RLZ-Breite für einen abrupten Stufenübergang (Herleitung über Poisson-Gleichung):
wobei \(\varepsilon_s\) die Permittivität von Silizium ist (\(\varepsilon_s = \varepsilon_0 \cdot \varepsilon_r \approx 1.04 \times 10^{-12}\) F/cm mit \(\varepsilon_r = 11.7\)) und \(V\) die extern angelegte Spannung (positiv = Vorwärtsspannung).
Asymmetrie
Die RLZ dehnt sich stärker in die schwächer dotierte Seite aus. Die Aufteilung folgt aus der Ladungsneutralität (\(N_D \cdot x_n = N_A \cdot x_p\)):
Bei einem \(p^+n\)-Übergang (\(N_A \gg N_D\)) liegt fast die gesamte RLZ auf der n-Seite:
Zahlenbeispiele
| Parameter | Symmetrisch (\(10^{16}\)/\(10^{16}\)) | Asymmetrisch (\(10^{18}\)/\(10^{15}\)) |
|---|---|---|
| \(V_{bi}\) | 0.70 V | 0.75 V |
| \(W\) (bei \(V = 0\)) | 0.43 µm | 0.99 µm |
| \(x_n\) | 0.21 µm | 0.99 µm |
| \(x_p\) | 0.21 µm | 0.001 µm |
| \(E_{max}\) | \(3.3 \times 10^4\) V/cm | \(1.5 \times 10^4\) V/cm |
| \(W\) (bei \(V = -10\) V) | 1.68 µm | 3.75 µm |
Beachte: Bei 10 V Sperrspannung ist die RLZ schon einige Mikrometer breit -- das ist relevant für die Chipgeometrie.
Raumladung, Feld und Potential
Innerhalb der RLZ gilt die Poisson-Gleichung:
Mit der Schottky-Näherung (vollständige Verarmung, abrupte Grenzen):
Elektrisches Feld
Erste Integration der Poisson-Gleichung liefert das Feld. Mit der Randbedingung \(E(-x_n) = E(x_p) = 0\):
Das Feld ist linear in jedem Abschnitt und hat sein Maximum an der metallurgischen Grenzfläche (\(x = 0\)):
Das Feld ist in der ganzen RLZ positiv, zeigt also in \(+x\)-Richtung -- von der n-Seite zur p-Seite, von den positiven Donator-Rümpfen zu den negativen Akzeptor-Rümpfen. Die Gleichheit der beiden Ausdrücke folgt aus der Ladungsneutralität.
Potential
Zweite Integration liefert den Potentialverlauf — parabelförmig in jedem Abschnitt. Da das Feld in \(+x\)-Richtung zeigt, fällt das Potential von der n- zur p-Seite; die n-Seite liegt im Gleichgewicht auf dem höheren Potential. Der Gesamthub über die RLZ:
Diodengleichung (Shockley)
William Shockley (1910--1989) leitete 1949 die Theorie des Bipolartransistors her und erhielt 1956 den Nobelpreis. Die Diodengleichung trägt seinen Namen, ebenso die Shockley-Read-Hall-Rekombination. Sein späteres Eintreten für Eugenik überschattete sein wissenschaftliches Vermächtnis. Mehr zu Shockley →
Legt man eine Vorwärtsspannung an (Plus an p-Seite), sinkt die Barriere auf \(V_{bi} - V\). Majoritätsträger (Elektronen von n, Löcher von p) können die reduzierte Barriere thermisch überwinden und werden auf der jeweils anderen Seite zu Minoritätsträgern — das ist die Minoritätsinjektion. Bei Sperrspannung (Plus an n-Seite) steigt die Barriere, und es fließt nur ein winziger Strom aus thermisch generierten Ladungsträgern.
Die Minoritätsinjektion führt zur Shockley-Diodengleichung (die vollständige Herleitung geht über die Diffusionsgleichung für Minoritätsträger):
Sättigungssperrstrom \(I_0\)
\(I_0\) hängt von den Materialeigenschaften und der Geometrie ab:
| Symbol | Bedeutung | Typischer Wert (Si) |
|---|---|---|
| \(A\) | Querschnittsfläche | Bauelementabhängig |
| \(D_n\), \(D_p\) | Diffusionskoeffizienten | 34 / 12 cm²/s |
| \(L_n\), \(L_p\) | Diffusionslängen | 10--100 µm |
| \(n_i\) | Intrinsische Konzentration | \(1.5 \times 10^{10}\) cm\(^{-3}\) |
\(I_0\) ist extrem klein — typisch \(10^{-12}\) bis \(10^{-14}\) A für Si-Dioden. Der Faktor \(n_i^2\) im Zähler erklärt, warum \(I_0\) stark temperaturabhängig ist (\(n_i\) verdoppelt sich bei Si etwa alle 9 K, Faustregel: pro 10 K) und warum Halbleiter mit großer Bandlücke (GaAs, GaN) viel kleinere Sperrströme haben.
Idealitätsfaktor
Die Shockley-Gleichung berücksichtigt nur den Diffusionsstrom. In der Praxis gibt es zusätzlich SRH-Rekombination in der RLZ, die einen zweiten Stromanteil liefert:
| Regime | Idealitätsfaktor \(n\) | Dominanter Mechanismus |
|---|---|---|
| Hoher Strom | \(\approx 1\) | Diffusionsstrom (Minoritätsinjektion) |
| Niedriger Strom | \(\approx 2\) | RLZ-Rekombinationsstrom (SRH) |
| Mittlerer Bereich | \(1{,}0\) -- \(1{,}5\) | Mischung |
| Sehr hoher Strom | -- | Serienwiderstand \(R_s\) dominiert |
In einer halblogarithmischen Auftragung (\(\ln I\) vs. \(V\)) ergeben sich gerade Abschnitte mit Steigung \(q/(nk_B T)\). Der Knick zwischen \(n \approx 2\) und \(n \approx 1\) ist ein wichtiges Diagnostik-Werkzeug für die Materialqualität — viel RLZ-Rekombination bedeutet viele Defekte.
Kapazität
Ein pn-Übergang hat Kapazität — und die ist spannungsabhängig. Das ist kein Nebeneffekt, sondern wird in Varaktoren (Kapazitätsdioden) gezielt ausgenutzt und begrenzt die Schaltgeschwindigkeit jeder Diode.
Sperrschichtkapazität \(C_j\)
Die RLZ verhält sich wie ein Plattenkondensator: Zwei leitende Gebiete (n und p), getrennt durch ein Dielektrikum (die verarmte RLZ):
Da \(W\) spannungsabhängig ist (\(W \propto \sqrt{V_{bi} - V}\)):
wobei \(C_{j0} = C_j(V=0)\) die Nullspannungskapazität ist.
\(1/C_j^2\)-Plot: Aus der Umformung \(1/C_j^2 = (V_{bi} - V) \cdot 2/(q \varepsilon_s N_{eff} A^2)\) folgt, dass \(1/C_j^2\) linear in \(V\) ist. Die Steigung liefert die Dotierung, der Achsenabschnitt \(V_{bi}\). Das ist eine Standardmethode zur Bestimmung von Dotierprofilen (C-V-Messung).
Diffusionskapazität
Bei Vorwärtsspannung speichern die injizierten Minoritätsträger Ladung im Volumen. Die gespeicherte Ladung ist proportional zum Strom:
wobei \(\tau\) die Minoritätslebensdauer ist. Die Diffusionskapazität:
\(C_{diff}\) wächst linear mit dem Strom und dominiert bei Vorwärtsspannung, während \(C_j\) bei Sperrspannung dominiert. Die Summe \(C_j + C_{diff}\) bestimmt die Schaltgeschwindigkeit der Diode.
Formelsammlung
| Größe | Formel |
|---|---|
| Eingebaute Spannung | \(V_{bi} = \frac{k_B T}{q} \ln \frac{N_D N_A}{n_i^2}\) |
| RLZ-Breite | \(W = \sqrt{\frac{2\varepsilon_s}{q}\left(\frac{1}{N_A}+\frac{1}{N_D}\right)(V_{bi}-V)}\) |
| RLZ asymmetrisch (\(p^+n\)) | \(W \approx \sqrt{2\varepsilon_s(V_{bi}-V)/(qN_D)}\) |
| Max. Feldstärke | \(E_{max} = qN_D x_n / \varepsilon_s\) |
| Diodengleichung | \(I = I_0 \left(e^{qV/nk_B T} - 1\right)\) |
| Sperrsättigungsstrom | \(I_0 = qA\left(\frac{D_n n_i^2}{L_n N_A} + \frac{D_p n_i^2}{L_p N_D}\right)\) |
| Sperrschichtkapazität | \(C_j = C_{j0} / \sqrt{1 - V/V_{bi}}\) |
| Diffusionskapazität | \(C_{diff} = qI\tau / k_B T\) |
Weiterführendes
- pn-Übergang -- qualitative Erklärung mit Bildern
- Herleitung: \(V_{bi}\) -- Schritt-für-Schritt-Herleitung
- Kontaktspannungen -- warum man \(V_{bi}\) nicht messen kann
- Dotierung -- \(N_D\), \(N_A\) und Fermi-Niveau
- Ladungsträgerdichten -- \(n_i\), Massenwirkungsgesetz
- Drift und Diffusion -- \(D\), \(\mu\), Einstein-Relation
- Rekombination -- \(L\), \(\tau\), Idealitätsfaktor
- Persönlichkeiten -- Walter Schottky (Schottky-Näherung)
- Persönlichkeiten -- William Shockley (Diodengleichung)
- Diodenkennlinie messen -- Diodengleichung & Idealitätsfaktor real gemessen