Herleitung: RLZ-Breite

Ergebnis (verwendet im pn-Übergang (quantitativ)):

\[W = \sqrt{\frac{2\varepsilon_s}{q}\left(\frac{1}{N_A} + \frac{1}{N_D}\right)(V_{bi} - V)}\]

Ausgangspunkt

Wir verwenden die Schottky-Näherung: Die RLZ hat abrupte Grenzen bei \(x = -x_n\) (n-Seite) und \(x = x_p\) (p-Seite), mit \(W = x_n + x_p\). Innerhalb der RLZ gibt es keine freien Ladungsträger.

Siméon Denis Poisson (1781--1840) stellte die Gleichung auf, die Ladungsverteilung und elektrostatisches Potential verknüpft — das zentrale Werkzeug für diese Herleitung. Mehr zu Poisson →

Schritt 1: Poisson-Gleichung

In einer Dimension:

\[\frac{d^2\phi}{dx^2} = -\frac{\rho(x)}{\varepsilon_s}\]

Die Raumladungsdichte in der Schottky-Näherung:

\[\rho(x) = \begin{cases} +qN_D & \text{für } -x_n < x < 0 \\ -qN_A & \text{für } 0 < x < x_p \\ 0 & \text{sonst} \end{cases}\]

Schritt 2: Elektrisches Feld (erste Integration)

Integration der Poisson-Gleichung mit den Randbedingungen \(E(-x_n) = 0\) und \(E(x_p) = 0\):

n-Seite (\(-x_n < x < 0\)):

\[E(x) = -\frac{d\phi}{dx} = \frac{qN_D}{\varepsilon_s}(x + x_n)\]

p-Seite (\(0 < x < x_p\)):

\[E(x) = \frac{qN_A}{\varepsilon_s}(x_p - x)\]

Das Feld ist in der ganzen RLZ positiv, zeigt also in \(+x\)-Richtung — von der n-Seite zur p-Seite, wie man es von den positiven Donator-Rümpfen zu den negativen Akzeptor-Rümpfen erwartet. An der Grenzfläche (\(x = 0\)) muss es stetig sein. Gleichsetzen:

\[\frac{qN_D \, x_n}{\varepsilon_s} = \frac{qN_A \, x_p}{\varepsilon_s}\]
\[\boxed{N_D \, x_n = N_A \, x_p}\]

Das ist die Ladungsneutralität: Die positive Gesamtladung auf der n-Seite muss gleich der negativen auf der p-Seite sein.

Schritt 3: Potential (zweite Integration)

Integration des Feldes liefert den Potentialverlauf. Die Gesamtspannung über der RLZ:

\[V_{bi} - V = \phi_n - \phi_p = \int_{-x_n}^{x_p} E(x) \, dx = \frac{q}{2\varepsilon_s}\left(N_D \, x_n^2 + N_A \, x_p^2\right)\]

Schritt 4: W berechnen

Wir haben zwei Gleichungen und zwei Unbekannte (\(x_n\), \(x_p\)):

  1. \(N_D \, x_n = N_A \, x_p\) (Ladungsneutralität)
  2. \(V_{bi} - V = \frac{q}{2\varepsilon_s}(N_D x_n^2 + N_A x_p^2)\) (Spannungsintegral)

Aus (1): \(x_p = N_D x_n / N_A\). Einsetzen in (2):

\[V_{bi} - V = \frac{q}{2\varepsilon_s}\left(N_D x_n^2 + N_A \frac{N_D^2 x_n^2}{N_A^2}\right) = \frac{qN_D x_n^2}{2\varepsilon_s}\left(1 + \frac{N_D}{N_A}\right)\]

Auflösen nach \(x_n\):

\[x_n = \sqrt{\frac{2\varepsilon_s(V_{bi}-V)}{qN_D} \cdot \frac{N_A}{N_A + N_D}}\]

Analog: \(x_p = \sqrt{\frac{2\varepsilon_s(V_{bi}-V)}{qN_A} \cdot \frac{N_D}{N_A + N_D}}\)

Die Gesamtbreite \(W = x_n + x_p\):

\[\boxed{W = \sqrt{\frac{2\varepsilon_s}{q}\left(\frac{1}{N_A} + \frac{1}{N_D}\right)(V_{bi} - V)}}\]

Spezialfall: Einseitiger Übergang (\(p^+n\))

Wenn \(N_A \gg N_D\), dann \(1/N_A \approx 0\) und:

\[W \approx x_n \approx \sqrt{\frac{2\varepsilon_s(V_{bi}-V)}{qN_D}}\]

Die gesamte RLZ liegt auf der schwach dotierten n-Seite.

Weiterführendes

Erstellt: 14.04.2026 · Zuletzt geändert: 10.06.2026