Herleitung: Einstein-Relation

Ergebnis (verwendet in Drift und Diffusion):

Albert Einstein (1879--1955) leitete diesen Zusammenhang 1905 in seiner Arbeit zur Brownschen Bewegung her. Mehr zu Einstein →

Idee

Im thermischen Gleichgewicht ohne externe Spannung fließt kein Nettostrom. Aber wenn es einen Konzentrationsgradienten gibt, erzeugt die Diffusion einen Strom — und der muss von einem Driftstrom kompensiert werden. Die Bedingung "Gesamtstrom = 0" verknüpft \(D\) und \(\mu\).

Herleitung

Betrachte Elektronen in einem nicht-gleichmäßig dotierten Halbleiter im Gleichgewicht. Es gibt einen Konzentrationsgradienten \(dn/dx\) und ein eingebautes Feld \(E\).

Der Gesamtelektronenstrom muss Null sein:

Im Gleichgewicht ist die Elektronenkonzentration durch das Fermi-Niveau bestimmt:

Da \(E_F\) im Gleichgewicht überall gleich ist (\(dE_F/dx = 0\)), aber \(E_i\) ortsabhängig (weil die Bänder sich biegen):

Das elektrische Feld hängt mit \(E_i\) zusammen über \(E = +(1/q)(dE_i/dx)\) (wegen \(\phi = -E_i/q\) und \(E = -d\phi/dx\)), also:

Einsetzen in die Strombedingung \(J_n = 0\):

Da \(E \neq 0\) und \(n \neq 0\):

Dasselbe gilt für Löcher: \(D_p / \mu_p = k_B T/q\).

Was steckt drin?

• \(k_B T/q\): Die thermische Spannung, bei 300 K ≈ 26 mV. Setzt die Skala für alle Halbleiterphysik.
• Physik: Diffusion und Drift haben dieselbe mikroskopische Ursache — zufällige thermische Bewegung. \(D\) beschreibt die Ausbreitung, \(\mu\) die gerichtete Reaktion auf ein Feld. Im Gleichgewicht sind beide über die thermische Energie verknüpft.

Weiterführendes

• Drift und Diffusion -- wo die Relation verwendet wird
• Herleitung: \(V_{bi}\) -- alternative \(V_{bi}\)-Herleitung nutzt die Einstein-Relation
• Boltzmann-Verteilung -- der \(e^{-E/k_B T}\)-Faktor