Stromdichte und Kontinuität

Teil 6 der Elektrodynamik-Serie, Kapitel II: Stationäre Ströme. Fünf Teile lang saß alle Ladung still -- jetzt lassen wir sie laufen. Und stellen als Erstes fest: Sie läuft erstaunlich langsam.

Bisher war „Strom" für uns eine Zahl am Netzteil. In diesem Teil wird daraus ein Vektorfeld -- und eine Erhaltungsgröße, die so fundamental ist, dass sie später als Konsistenzbedingung in den Maxwell-Gleichungen wieder auftaucht.

Strom: Ladung pro Zeit

Die Definition ist unspektakulär: Der Strom \(I\) durch eine Fläche (etwa den Querschnitt eines Drahtes) ist die Ladung \(Q\), die pro Zeit \(t\) hindurchtritt:

Ein einziges Ampere heißt: 6,24 Trillionen Elektronen pro Sekunde (\(1/e \approx 6{,}24 \cdot 10^{18}\)) durch den Querschnitt. Seit der SI-Reform 2019 ist das Ampere genau so festgelegt -- über den fixierten Zahlenwert der Elementarladung \(e\), nicht mehr über Kraftmessungen zwischen Stromschleifen.

André-Marie Ampère (1775--1836) entwickelte 1820 binnen weniger Wochen die komplette Theorie der Kräfte zwischen Strömen, nachdem er von Ørsteds Kompassnadel-Experiment gehört hatte -- Maxwell nannte ihn den „Newton der Elektrizität". Die Einheit des Stroms ehrt ihn. Mehr zu Ampère →

Stromdichte: Strom wird lokal

\(I\) ist eine integrale Größe -- wie viel insgesamt durch den Querschnitt geht. Die lokale Frage lautet: Wie viel fließt an dieser Stelle, in diese Richtung? Das beantwortet die Stromdichte \(\vec j\) (Einheit A/m²). Mikroskopisch steckt dahinter:

mit der Teilchendichte \(n\) (Ladungsträger pro Volumen), der Ladung \(q\) pro Träger und der Driftgeschwindigkeit \(\vec v_d\) -- der mittleren Netto-Geschwindigkeit der Träger. Der Gesamtstrom durch eine Fläche ist dann das Flussintegral (dasselbe Konstrukt wie beim Gauß'schen Satz, nur mit \(\vec j\) statt \(\vec E\)):

Im homogenen Draht mit Querschnitt \(A\) vereinfacht sich das zu \(I = j \cdot A\).

Eine Konvention, die man einmal sauber festnageln muss: Die technische Stromrichtung zeigt in Richtung der positiven Ladungsbewegung. Im Metalldraht bewegen sich aber Elektronen (\(q = -e\)) -- sie driften also entgegen der Pfeilrichtung des Stroms. Am Vorzeichen von \(\vec j = n q \vec v_d\) geht das automatisch richtig aus: negatives \(q\), umgekehrtes \(\vec v_d\), gleiches \(\vec j\).

Die Verblüffung: Elektronen im Schneckentempo

Jetzt rechnen wir \(v_d\) für einen ganz normalen Fall aus -- und das Ergebnis gehört zu den schönsten Überraschungen der Elektrodynamik. Kupfer stellt etwa ein Leitungselektron pro Atom, also \(n \approx 8{,}5 \cdot 10^{28}\ \text{m}^{-3}\). Durch eine Hausinstallations-Ader mit \(A = 1{,}5\ \text{mm}^2\) fließen \(I = 10\) A:

Ein halber Millimeter pro Sekunde. Schneckentempo, wörtlich. Für die zwei Meter vom Schalter zur Lampe bräuchte ein einzelnes Elektron über eine Stunde. Bei Wechselstrom kommt es gar nicht erst voran: Bei 50 Hz zittert es nur mit wenigen Mikrometern Amplitude um seinen Platz.

Dasselbe Elektron, zweimal: Ohne Feld (links) ist es mit ~10⁶ m/s unterwegs, kommt aber nirgends an. Mit Feld (rechts) verschiebt sich das Gewimmel um eine winzige Netto-Drift — hier um viele Größenordnungen übertrieben, real ist der Versatz etwa 1 : 10⁹ pro Flugstrecke.

Warum geht das Licht trotzdem sofort an? Weil nicht die Elektronen die Nachricht überbringen, sondern das Feld: Der Draht ist schon voll mit Leitungselektronen -- überall, auf ganzer Länge. Schließt der Schalter, breitet sich das elektrische Feld mit einem ordentlichen Bruchteil der Lichtgeschwindigkeit (\(\sim\) 2/3 \(c\), je nach Leitungsgeometrie) den Draht entlang aus und setzt alle Elektronen praktisch gleichzeitig in Bewegung. Das klassische Bild: ein bereits voller Gartenschlauch. Wasserhahn auf → vorne kommt sofort Wasser, obwohl das einzelne Wassermolekül gemütlich unterwegs ist.

Dass die riesige Trägerdichte \(n\) die winzige Geschwindigkeit \(v_d\) kompensiert, ist übrigens die Spezialität der Metalle. In Halbleitern ist \(n\) um viele Größenordnungen kleiner -- dieselbe Stromdichte braucht dort entsprechend schnellere Träger.

Die Kontinuitätsgleichung: Ladung verschwindet nicht

Aus Teil 1 wissen wir: Ladung ist eine Erhaltungsgröße. Aber die globale Aussage „die Gesamtladung des Universums ist konstant" ist physikalisch zu schwach -- sie erlaubte ja, dass hier ein Coulomb verschwindet und auf dem Mond gleichzeitig eines auftaucht. Die Erfahrung sagt: Ladung verschwindet auch lokal nicht. Wenn die Ladung in einem Volumen abnimmt, dann nur, weil sie herausgeflossen ist:

Links die Änderung der eingeschlossenen Ladung, rechts der Netto-Abfluss durch die geschlossene Hüllfläche \(A\) (Vorzeichen: Abfluss positiv → Ladung nimmt ab). Mit dem Divergenz-Satz aus dem Mathe-Anhang wird daraus die lokale Form, die Kontinuitätsgleichung:

mit der Ladungsdichte \(\rho\). Gelesen: Wo Stromdichte-Linien auseinanderlaufen (\(\nabla \cdot \vec j > 0\), das Volumen ist eine „Quelle" von Strom), muss die Ladungsdichte sinken -- der Strom nimmt die Ladung ja mit. Dieselbe Gleichungsform beschreibt jede lokal erhaltene Größe, vom Wasser in der Strömungslehre bis zur Wahrscheinlichkeit in der Quantenmechanik. Und sie ist kein Nebendarsteller: Genau diese Gleichung zwingt Maxwell später, den Verschiebungsstrom zu erfinden -- ohne ihn widersprächen sich Ampèresches Gesetz und Ladungserhaltung.

Stationär: die Knotenregel fällt vom Himmel

Im stationären Fall -- Gleichstrom, nichts ändert sich zeitlich -- ist \(\partial \rho / \partial t = 0\), also:

Stromdichte-Linien haben dann keine Quellen und Senken: Was in ein Volumen hineinfließt, fließt auch wieder heraus. Legt man das Volumen um einen Schaltungsknoten, ist das exakt die Kirchhoffsche Knotenregel \(\sum I_k = 0\) -- sie ist kein eigenes Naturgesetz, sondern Ladungserhaltung im Spezialfall. Und legt man das Volumen um ein Stück Draht, folgt: In einer Reihenschaltung ist der Strom überall gleich -- auch das keine Konvention, sondern Kontinuität.

Eine hübsche Konsequenz am Rande: Kippt man Ladung mitten in einen guten Leiter, bleibt sie dort nicht. Kontinuität plus Leitfähigkeit ergeben ein exponentielles Abklingen der inneren Ladungsdichte mit der Relaxationszeit \(\tau = \varepsilon_0 / \sigma\) -- für Kupfer sind das \(\sim 10^{-19}\) s. Die Ladung sitzt quasi augenblicklich auf der Oberfläche, genau wie es die Elektrostatik in Teil 3 behauptet hat. (Die Leitfähigkeit \(\sigma\) schauen wir uns in Teil 7 genau an.)

Praxis: Wie viel Stromdichte verträgt ein Leiter?

Die Stromdichte ist auch die Größe, nach der man Leiterquerschnitte dimensioniert -- denn die Verlustwärme pro Volumen wächst mit \(j^2\) (warum, sehen wir in Teil 7). Faustwerte, wie viel \(j\) man Kupfer je nach Kühlsituation zumutet:

Je kleiner die Struktur, desto höher darf \(j\) sein -- kleine Querschnitte werden ihre Wärme leichter los. Die Chip-Zeile hat es in sich: Bei \(10^4\) A/mm² schiebt der Elektronenwind tatsächlich Metallatome durch das Gitter (Elektromigration) -- Leiterbahnen im IC dünnen über Jahre aus und reißen. Das ist ein echter Lebensdauer-Mechanismus in jedem Leistungs-IC und Gatetreiber: Die Metallisierung wird genau so breit gezeichnet, dass \(j\) unter der Elektromigrationsgrenze bleibt.

Die Halbleiter-Brücke

Im Halbleiter wird aus \(\vec j = n q \vec v_d\) ein Doppelpack -- zwei Trägersorten tragen bei, Elektronen und Löcher:

mit den Dichten \(n, p\) und den Beweglichkeiten \(\mu_n, \mu_p\) (das Verhältnis von Driftgeschwindigkeit zu Feld -- ausführlich im Artikel Beweglichkeit). Und es kommt ein Antrieb hinzu, den der Metalldraht nicht kennt: Diffusion -- Strom, der ohne jedes Feld fließt, allein weil die Trägerdichte örtlich unterschiedlich ist. Das Wechselspiel von Drift und Diffusion ist die Physik des pn-Übergangs. Die Kontinuitätsgleichung gilt dort übrigens pro Trägersorte -- erweitert um Generations- und Rekombinationsterme, denn Elektron-Loch-Paare können entstehen und verschwinden (nur die Gesamtladung nicht). In dieser Form ist sie eine der Halbleitergleichungen, die jeder Device-Simulator löst.

Ausblick

Wir wissen jetzt, was fließt und dass nichts verloren geht. Was noch fehlt: der Zusammenhang zwischen Ursache und Wirkung -- warum ist der Strom so oft einfach proportional zur Spannung? Die Antwort ist ein Modell von 1900, das Elektronen wie Flipperkugeln durchs Metallgitter schickt -- erstaunlich falsch in den Details, erstaunlich brauchbar im Ergebnis.

Weiter mit Teil 7: Ohmsches Gesetz und Drude-Modell →

Weiterführendes

• Teil 1: Ladung und Coulomb-Kraft -- Ladungserhaltung und Elementarladung
• Mathe-Anhang Vektoranalysis -- Divergenz und Divergenz-Satz
• Drift und Diffusion -- dieselbe Stromdichte im Halbleiter
• Beweglichkeit -- was \(v_d / E\) über das Material verrät
• Elektrodynamik-Serie -- Übersicht und Fahrplan