Mathe-Anhang: Nabla, Divergenz, Rotation

Anhang zur Elektrodynamik-Serie. Spätestens bei \(\nabla \cdot \vec E = \rho/\varepsilon_0\) im Gauß-Teil taucht sie auf: die Vektoranalysis. Sie ist weniger schlimm, als sie aussieht -- wenn man die Anschauung zuerst nimmt und die Formeln danach.

Die Elektrodynamik beschreibt Felder: Jedem Punkt im Raum ist etwas zugeordnet. Beim Skalarfeld ist es eine Zahl (Potential \(\phi\), Temperatur), beim Vektorfeld ein Pfeil (\(\vec E\), \(\vec B\), Strömungsgeschwindigkeit). Die Vektoranalysis stellt genau drei Fragen an solche Felder: Wohin geht's bergauf? Wo quillt etwas heraus? Wo wirbelt es?

Der Nabla-Operator: ein Vektor aus Ableitungen

Das ganze Werkzeug steckt in einem einzigen Symbol:

\[\nabla = \left( \frac{\partial}{\partial x},\ \frac{\partial}{\partial y},\ \frac{\partial}{\partial z} \right)\]

Nabla ist ein Vektor, dessen Komponenten Ableitungs-Aufträge sind -- er wartet darauf, auf ein Feld angewendet zu werden. Der Trick: Man kombiniert ihn genau so, wie man Vektoren eben kombiniert -- und bekommt drei verschiedene Operationen:

Kombination Name wirkt auf ergibt
\(\nabla \phi\) Gradient Skalarfeld Vektorfeld
\(\nabla \cdot \vec E\) (Skalarprodukt) Divergenz Vektorfeld Skalarfeld
\(\nabla \times \vec E\) (Kreuzprodukt) Rotation Vektorfeld Vektorfeld

Gradient: wohin geht's bergauf?

\[\nabla \phi = \left( \frac{\partial \phi}{\partial x},\ \frac{\partial \phi}{\partial y},\ \frac{\partial \phi}{\partial z} \right)\]

Der Gradient eines Skalarfelds zeigt an jedem Punkt in die Richtung des steilsten Anstiegs, und sein Betrag sagt, wie steil. Das Landkarten-Bild: \(\phi\) ist die Höhe, \(\nabla \phi\) zeigt hangaufwärts, senkrecht auf den Höhenlinien.

In der Elektrodynamik kommt er mit Minuszeichen:

\[\vec E = -\nabla \phi\]

Das Feld zeigt bergab im Potential -- von Plus nach Minus, so wie eine Kugel bergab rollt. Die Höhenlinien der Landkarte sind die Äquipotentialflächen, und dass Feldlinien senkrecht auf ihnen stehen, ist ab jetzt keine Merkregel mehr, sondern eine Eigenschaft des Gradienten. (Ausführlich in Teil 4.)

Divergenz: wo quillt etwas heraus?

\[\nabla \cdot \vec E = \frac{\partial E_x}{\partial x} + \frac{\partial E_y}{\partial y} + \frac{\partial E_z}{\partial z}\]

Die Divergenz misst die Quellstärke eines Vektorfelds an einem Punkt: Man denke sich ein winziges Volumen und bilanziere, ob netto mehr Feld heraus- als hineinströmt.

Drei Beispiele zum Gefühl-Bekommen:

  1. Konstantes Feld \(\vec E = (E_0, 0, 0)\): alle Ableitungen null → \(\nabla \cdot \vec E = 0\). Klar -- was links reinströmt, strömt rechts raus.
  2. Radial anschwellendes Feld \(\vec E = (x, y, z) = \vec r\): \(\nabla \cdot \vec E = 1+1+1 = 3\). Überall Quelle -- das Feld „entsteht" an jedem Punkt neu.
  3. Das Coulomb-Feld \(\vec E \propto \hat r / r^2\): Divergenz null überall -- außer im Ursprung. Genau die \(1/r^2\)-Geometrie sorgt dafür, dass zwischen den Ladungen nichts entsteht und nichts verloren geht; die einzige Quelle ist die Punktladung selbst.

Damit liest sich die erste Maxwell-Gleichung von selbst:

\[\nabla \cdot \vec E = \frac{\rho}{\varepsilon_0} \qquad \text{„Ladungen sind die Quellen des E-Felds."}\]

Und ihr magnetisches Gegenstück \(\nabla \cdot \vec B = 0\) heißt schlicht: Es gibt keine magnetischen Ladungen -- \(\vec B\)-Linien haben keinen Anfang und kein Ende.

Rotation: wo wirbelt es?

\[\nabla \times \vec E = \left( \frac{\partial E_z}{\partial y} - \frac{\partial E_y}{\partial z},\ \frac{\partial E_x}{\partial z} - \frac{\partial E_z}{\partial x},\ \frac{\partial E_y}{\partial x} - \frac{\partial E_x}{\partial y} \right)\]

Die Rotation misst die Wirbelstärke. Das beste Bild: Man setzt ein winziges Schaufelrad ins Feld. Dreht es sich, ist die Rotation dort ungleich null; die Drehachse zeigt in Richtung von \(\nabla \times \vec E\), die Drehgeschwindigkeit gibt den Betrag.

Wichtig gegen ein häufiges Missverständnis: Gekrümmte Feldlinien bedeuten nicht automatisch Rotation. Das \(1/r\)-Feld um einen stromdurchflossenen Draht hat kreisförmige Feldlinien -- aber außerhalb des Drahts ist seine Rotation null (das Schaufelrad wird auf der Innenseite schneller, auf der Außenseite langsamer angeströmt, und zwar bei \(1/r\) exakt ausgleichend). Umgekehrt kann ein schnurgerades Scherfeld kräftig „wirbeln".

In der Elektrostatik gilt:

\[\nabla \times \vec E = 0\]

Das ist die mathematische Form von „das Wegintegral ist wegunabhängig" -- nur deshalb existiert überhaupt ein Potential \(\phi\). Und der Bruch dieser Regel ist keine Kleinigkeit: Sobald sich Magnetfelder zeitlich ändern, wird \(\nabla \times \vec E = -\partial \vec B/\partial t\) -- das ist die Induktion, und die „Spannung" einer Trafowindung ist dann kein Potentialunterschied mehr, sondern ein echter Feldwirbel.

Laplace: div grad

Divergenz vom Gradienten ergibt den Laplace-Operator:

\[\nabla^2 \phi = \nabla \cdot (\nabla \phi) = \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2}\]

Mit \(\vec E = -\nabla\phi\) in der ersten Maxwell-Gleichung wird daraus die Poisson-Gleichung \(\nabla^2 \phi = -\rho/\varepsilon_0\) -- das Arbeitstier für alle Fälle ohne bequeme Symmetrie, vom Plattenkondensator mit Randeffekten bis zur Raumladungszone.

Siméon Denis Poisson (1781--1840) formulierte diese Gleichung für die Elektrostatik -- in der Halbleiterphysik ist sie bis heute das zentrale Werkzeug für Feld- und Potentialverläufe. Mehr zu Poisson →

Zwei Regeln, die man auswendig können darf

\[\nabla \times (\nabla \phi) = 0 \qquad \nabla \cdot (\nabla \times \vec A) = 0\]

In Worten: Gradientenfelder wirbeln nie (deshalb hat die Elektrostatik ein Potential), und Wirbelfelder haben nie Quellen (deshalb lässt sich das quellenfreie \(\vec B\) als Rotation eines Vektorpotentials \(\vec A\) schreiben -- das wird in der fortgeschrittenen Theorie wichtig).

Die Brücke zurück: die zwei Integralsätze

Alles, was die Serie bisher in Integralform benutzt hat, hängt über zwei Sätze mit den lokalen Operatoren zusammen:

Satz von Gauß (Volumen ↔ Hülle): Was aus einem Volumen netto herausströmt, ist die Summe aller Quellen darin.

\[\oint_A \vec E \cdot d\vec A = \int_V (\nabla \cdot \vec E)\, dV\]

Satz von Stokes (Fläche ↔ Rand): Die Zirkulation entlang einer geschlossenen Kurve ist die Summe aller Wirbel auf der eingespannten Fläche.

\[\oint_C \vec E \cdot d\vec s = \int_A (\nabla \times \vec E) \cdot d\vec A\]

Das ist der Grund, warum jede Maxwell-Gleichung in zwei Gestalten existiert -- integral (gut zum Rechnen mit Symmetrie) und differentiell (gut für Theorie und Numerik). Es sind dieselben Aussagen, übersetzt durch diese zwei Sätze.

Spickzettel

Operator Schreibweise Frage E-Dynamik-Beispiel
Gradient \(\nabla \phi\) Wohin geht's bergauf? \(\vec E = -\nabla\phi\)
Divergenz \(\nabla \cdot \vec E\) Wo sind Quellen? \(\nabla \cdot \vec E = \rho/\varepsilon_0\), \(\nabla \cdot \vec B = 0\)
Rotation \(\nabla \times \vec E\) Wo wirbelt es? \(\nabla \times \vec E = -\partial\vec B/\partial t\)
Laplace \(\nabla^2 \phi\) Quellen des Gradienten \(\nabla^2\phi = -\rho/\varepsilon_0\) (Poisson)

Weiterführendes

Erstellt: 13.07.2026