Maxwell-Gleichungen und Verschiebungsstrom
Teil 14 der Elektrodynamik-Serie, Kapitel V: Maxwell und Wellen. Dreizehn Teile lang haben wir Bausteine gesammelt. Jetzt passen sie in vier Zeilen.
Alles, was in dieser Serie bisher vorkam, lässt sich in vier Gleichungen schreiben. Das ist keine Merkhilfe, sondern eine physikalische Aussage: Mehr als diese vier Gesetze gibt es in der klassischen Elektrodynamik nicht. Jedes Verhalten von Feldern, Ladungen und Strömen -- vom Kondensator bis zum Rundfunk -- steckt darin.
Maxwell hat sie nicht alle selbst gefunden; drei standen bereits da. Sein Beitrag war, einen Widerspruch zu bemerken, den vor ihm niemand ernst genommen hatte, und ihn mit einem einzigen Zusatzterm zu beheben. Dieser Term sagte anschließend etwas voraus, wonach niemand gefragt hatte.
Der Widerspruch: ein Kondensator im Stromkreis
Das Durchflutungsgesetz aus Teil 9 verknüpft das Magnetfeld längs eines geschlossenen Weges mit dem Strom, der durch eine von diesem Weg berandete Fläche hindurchgeht:
Der Haken steckt in der Formulierung „eine Fläche". Ein Rand legt die Fläche nämlich nicht fest -- über einen Kreis kann man eine flache Scheibe spannen oder einen beliebig ausgebeulten Sack. Die Physik darf davon nicht abhängen.
Und jetzt der Fall, an dem das auffliegt: ein Kondensator, der gerade geladen wird. Der Integrationsweg sei ein Kreis um die Zuleitung.
- Spannt man die flache Scheibe hinein, durchstößt sie der Draht. Es fließt Strom hindurch, die Gleichung liefert ein Magnetfeld.
- Spannt man stattdessen einen Sack, der sich zwischen die Kondensatorplatten wölbt, geht durch ihn kein Strom. Zwischen den Platten ist Isolator, dort fließt nichts. Die Gleichung liefert null.
Derselbe Weg, dasselbe Magnetfeld -- zwei Ergebnisse. Und messbar ist das Feld auch, es ist da. Das Durchflutungsgesetz ist also unvollständig.
Maxwells Reparatur
Was passiert zwischen den Platten, während Ladung nachfließt? Das elektrische Feld wächst. Maxwell postulierte, dass ein wachsendes E-Feld magnetisch genauso wirkt wie ein Strom, und nannte es Verschiebungsstrom:
Damit lautet das Gesetz:
Jetzt stimmt es für jede Fläche: Durch die Scheibe geht der Leitungsstrom, durch den Sack der Verschiebungsstrom -- und beide sind exakt gleich groß. Der Widerspruch ist verschwunden.
Zwischen den Kondensatorplatten fließt keine Ladung, und trotzdem ist der Stromkreis geschlossen -- geschlossen wird er vom Feld. Das ist zugleich die anschauliche Antwort auf die Frage, warum ein Kondensator Wechselstrom „durchlässt", obwohl er isoliert.
James Clerk Maxwell (1831--1879) übersetzte Faradays Feldlinien-Anschauung in Mathematik und fand dabei mehr, als er suchte. Aus seinen Gleichungen folgt eine Wellengleichung, deren Ausbreitungsgeschwindigkeit sich aus zwei im Labor gemessenen Konstanten berechnen lässt -- und genau die Lichtgeschwindigkeit ergibt. Damit war Licht als elektromagnetische Welle erkannt, zwanzig Jahre bevor jemand eine erzeugte. Mehr zu Maxwell →
Die vier Gleichungen
| # | Integralform | Differentialform | Aussage |
|---|---|---|---|
| 1 | \(\oint \vec E \cdot \mathrm{d}\vec A = \dfrac{Q}{\varepsilon_0}\) | \(\nabla \cdot \vec E = \dfrac{\rho}{\varepsilon_0}\) | Ladungen sind Quellen des elektrischen Feldes |
| 2 | \(\oint \vec B \cdot \mathrm{d}\vec A = 0\) | \(\nabla \cdot \vec B = 0\) | Es gibt keine magnetischen Ladungen |
| 3 | \(\oint \vec E \cdot \mathrm{d}\vec s = -\dfrac{\mathrm{d}\Phi_B}{\mathrm{d}t}\) | \(\nabla \times \vec E = -\dfrac{\partial \vec B}{\partial t}\) | Ein sich änderndes Magnetfeld erzeugt ein elektrisches Wirbelfeld |
| 4 | \(\oint \vec B \cdot \mathrm{d}\vec s = \mu_0 I + \mu_0\varepsilon_0 \dfrac{\mathrm{d}\Phi_E}{\mathrm{d}t}\) | \(\nabla \times \vec B = \mu_0 \vec J + \mu_0\varepsilon_0 \dfrac{\partial \vec E}{\partial t}\) | Ströme und sich ändernde elektrische Felder erzeugen ein magnetisches Wirbelfeld |
Die Differentialform sagt dasselbe punktweise statt über Flächen und Wege. Divergenz und Rotation stehen im Mathe-Anhang; kurz gefasst misst die Divergenz, ob an einem Punkt etwas entspringt, und die Rotation, ob das Feld dort im Kreis läuft.
Dass beide Spalten dasselbe aussagen, ist keine Behauptung, sondern eine Rechnung: Die Überführung von der Integral- in die Differentialform führt sie für alle vier Gleichungen vor -- und zeigt an Gleichung 3, wo die beiden Fassungen sich tatsächlich unterscheiden.
Wo die Serie darin steckt
| Gleichung | kam vor in |
|---|---|
| 1 | Teil 3: Gauß'scher Satz -- Feld aus Symmetrie, Plattenkondensator |
| 2 | Teil 9: Biot-Savart und Ampère -- die Feldlinien eines Stroms schließen sich zu Ringen |
| 3 | Teil 11: Induktion -- Generator, Gegen-EMK, Wirbelströme |
| 4 | Teil 9 plus Maxwells Zusatzterm |
Dazu kommt eine Gleichung, die nicht zu den vieren zählt, ohne die aber nichts davon messbar wäre: die Lorentzkraft aus Teil 8. Die Maxwell-Gleichungen sagen, welche Felder existieren -- die Lorentzkraft sagt, was sie mit Ladung anstellen.
Die Asymmetrie, die geblieben ist
Vergleicht man Gleichung 1 und 2, fällt eine Lücke auf: Elektrische Feldlinien beginnen und enden auf Ladungen, magnetische tun das nie -- sie sind immer geschlossen. Der Grund ist, dass es keine magnetischen Monopole gibt. Zerteilt man einen Magneten, bekommt man nicht einen Nord- und einen Südpol, sondern zwei vollständige Magnete.
Bisher hat niemand einen Monopol gefunden, obwohl mehrere Theorien ihn zulassen und gezielt gesucht wurde. Die Null in Gleichung 2 ist damit keine mathematische Bequemlichkeit, sondern eine experimentelle Aussage über unsere Welt -- eine, die jederzeit umgestoßen werden könnte.
Der Kreis schließt sich
Die eigentliche Sprengkraft liegt im Vergleich der Gleichungen 3 und 4:
- Ein sich änderndes Magnetfeld erzeugt ein elektrisches Wirbelfeld.
- Ein sich änderndes elektrisches Feld erzeugt ein magnetisches Wirbelfeld.
Vor Maxwell war nur die erste Hälfte bekannt, und damit blieb es eine Einbahnstraße. Mit dem Verschiebungsstrom wird daraus ein geschlossener Kreislauf: Jedes Feld erzeugt beim Ändern das andere, und dieses wiederum das erste. Die beiden können sich gegenseitig am Leben halten -- ohne Ladungen, ohne Draht, frei im Raum.
Genau das ist eine elektromagnetische Welle. Maxwell hat sie nicht gesucht; sie fiel aus der Reparatur eines Widerspruchs heraus. Weiter mit Teil 15.
Weiterführendes
- Elektromagnetische Wellen -- Teil 15, was aus dem Kreislauf folgt
- Induktion: Faraday und Lenz -- Teil 11, die andere Hälfte des Kreislaufs
- Gauß'scher Satz: Fluss und Ladung -- Teil 3, Gleichung 1 in Aktion
- Mathe-Anhang: Nabla, Divergenz, Rotation -- das Handwerkszeug für die Differentialform
- Lorentzkraft -- die fünfte Gleichung, die keine der vier ist