Die Lorentzkraft

Teil 8 der Elektrodynamik-Serie, Kapitel III: Magnetostatik. Bisher haben Ladungen nur elektrische Felder gespürt -- jetzt kommt die zweite Kraft dazu, und sie ist merkwürdiger als die erste.

Den Auftakt machte 1820 eine Kompassnadel: Hans Christian Ørsted bemerkte während einer Vorlesung, dass sie zuckt, sobald in einem Draht daneben Strom fließt. Elektrizität und Magnetismus, bis dahin zwei getrennte Wissenschaften, waren ab diesem Moment eine. In diesem Teil nehmen wir die eine Hälfte der Verbindung: Welche Kraft übt ein Magnetfeld auf bewegte Ladung aus? (Die andere Hälfte -- welches Magnetfeld ein Strom erzeugt -- ist Teil 9.)

Hans Christian Ørsted (1777--1851), dänischer Physiker und Philosoph, suchte aus naturphilosophischer Überzeugung gezielt nach einer Verbindung der Naturkräfte -- und fand sie im April 1820 vor laufender Vorlesung. Seine zuckende Kompassnadel löste eine Kettenreaktion aus: Ampère lieferte binnen Wochen die Theorie, Biot und Savart das Feldgesetz. Nebenbei stellte Ørsted 1825 als Erster metallisches Aluminium dar. Mehr zu Ørsted →

Die Kraft: F = qv × B

Die vollständige Kraft auf eine Ladung \(q\) in elektromagnetischen Feldern lautet:

Den elektrischen Teil \(q\vec E\) kennen wir seit Teil 2. Neu ist der magnetische, und er hat es in sich: Die Kraft hängt von der Geschwindigkeit \(\vec v\) der Ladung ab, und sie steht über das Kreuzprodukt (Handwerkszeug im Mathe-Anhang) senkrecht auf beidem -- auf der Bewegung und auf der magnetischen Flussdichte \(\vec B\). Für die Richtung gilt die Rechte-Hand-Regel: Daumen \(\vec v\), Zeigefinger \(\vec B\), Mittelfinger \(\vec F\) (für positives \(q\); bei Elektronen dreht sich die Kraft um).

Falls du in der Schule stattdessen eine Linke-Hand-Regel gelernt hast: kein Widerspruch, dieselbe Physik. Die linke Hand nimmt man für Elektronen -- deren Ladung ist negativ, die Kraft zeigt also genau entgegengesetzt, und der Handwechsel erledigt das Vorzeichen. Die rechte Hand gilt für positive Ladungen und die technische Stromrichtung. Wer mit \(\vec F = q\,\vec v \times \vec B\) rechnet, braucht nur eine Hand: Das Vorzeichen von \(q\) dreht die Richtung von selbst.

Links die Regel: v, B und F stehen paarweise senkrecht (rechte Hand: Daumen, Zeigefinger, Mittelfinger). Rechts die Konsequenz, sobald B senkrecht zur Bewegung steht (hier: ins Blatt hinein, ⊗): Die Kraft zeigt immer zum Zentrum — die Bahn wird ein Kreis mit r = mv/qB.

Hendrik Antoon Lorentz (1853--1928) formulierte die Kraft im Rahmen seiner Elektronentheorie, die Maxwells Felder mit den gerade entdeckten Ladungsteilchen versöhnte -- Nobelpreis 1902. Seine Transformationsformeln nahmen die Spezielle Relativitätstheorie vorweg, was am Ende dieses Artikels kein Zufall sein wird. Mehr zu Lorentz →

Die Einheit von \(B\) ist das Tesla (T = Vs/m²) -- und wie beim Farad ist ein ganzes Tesla schon eine Ansage:

Die seltsamste Eigenschaft: sie arbeitet nie

Weil \(\vec F\) immer senkrecht auf \(\vec v\) steht, gilt für die Leistung \(P = \vec F \cdot \vec v = 0\) -- die magnetische Kraft verrichtet keine Arbeit. Sie kann bewegte Ladung ablenken, umlenken, auf Kreise zwingen -- aber niemals schneller oder langsamer machen. Ein Magnetfeld ändert die Richtung der Bewegungsenergie, nie ihren Betrag. (Wenn ein Motor trotzdem Arbeit verrichtet -- und das tut er --, muss die Energie woanders herkommen. Die Auflösung liefert die Induktion in Teil 11; als Gegen-EMK ist sie im H-Brücken-Artikel schon vorweggenommen.)

Kreisbahn und Zyklotronfrequenz

Konstante Kraft senkrecht zur Bewegung -- das ist das Rezept für eine Kreisbahn. Lorentzkraft gleich Zentripetalkraft (\(m v^2/r\)) ergibt den Bahnradius:

mit Masse \(m\), Geschwindigkeit \(v\), Ladung \(q\) und Flussdichte \(B\). Ein Elektron mit \(10^7\) m/s quer zu 0,1 T kreist mit gerade einmal 0,6 mm Radius. Noch schöner ist die Umlauffrequenz, die Zyklotronfrequenz:

Das \(v\) hat sich herausgekürzt: Schnelle und langsame Teilchen brauchen gleich lang pro Runde (schnelle fahren größere Kreise). Für Elektronen sind das 28 GHz pro Tesla -- und auf dieser Unabhängigkeit beruht ein halbes Jahrhundert Technikgeschichte:

• Zyklotron: Weil die Umlaufzeit fix ist, kann eine Wechselspannung fester Frequenz die Teilchen bei jeder halben Runde erneut treten -- der erste Kreisbeschleuniger.
• Magnetron im Mikrowellenherd: Elektronen kreisen bei ~0,1 T mit ein paar GHz und pumpen dabei die 2,45-GHz-Schwingung -- die Lorentzkraft kocht buchstäblich dein Essen.
• Massenspektrometer: \(r = mv/qB\) sortiert Ionen nach Masse-zu-Ladung -- die Waage der Chemie.
• Polarlicht: Sonnenwind-Teilchen spiralen entlang der Erdfeldlinien (Kreisbahn quer, freier Flug längs) und treffen die Atmosphäre an den Polen.

Vom Teilchen zum Draht: F = I l × B

Im Stromleiter driften die Träger kollektiv -- die Einzelkräfte summieren sich zu einer Kraft auf den Draht als Ganzes. Mit der Stromdichte-Kette aus Teil 6 (\(N = nAl\) Träger, jeder mit \(q v_d B\)) kollabiert alles auf:

mit dem Strom \(I\), der Leiterlänge \(l\) im Feld und der Flussdichte \(B\). Das lässt sich anfassen: 10 cm Draht, 10 A, im 0,5-T-Feld eines Neodym-Magneten → 0,5 N -- ein halbes Tafel-Schokoladengewicht, aus dem Nichts quer zum Draht. Das ist der Schulversuch mit der Leiterschaukel, und es ist der Elektromotor in seiner Rohform.

Zum Motor fehlt nur noch Geometrie: Eine Leiterschleife im Feld erfährt ein Kräftepaar → Drehmoment; \(N\) Windungen multiplizieren es. Für eine gegebene Maschine schnurrt die ganze Feld- und Wicklungsgeometrie in eine einzige Zahl zusammen -- die Drehmomentkonstante \(k_T\) in \(M = k_T \cdot I\) aus dem Datenblatt. Sie ist buchstäblich aufsummierte Lorentzkraft. (Und dass numerisch \(k_T = k_E\) gilt, die Drehmomentkonstante also gleich der Gegen-EMK-Konstante ist, ist die Energieerhaltung von oben in Bauteilform -- in SI-Einheiten exakt.)

Der Hall-Effekt: die Lorentzkraft als Messgerät

Jetzt die Anwendung, die auf dieser Website ihren eigenen großen Artikel hat. Lässt man den Strom durch ein flaches Plättchen fließen und legt \(\vec B\) senkrecht dazu, schiebt die Lorentzkraft die Träger quer zur Stromrichtung an den Rand. Dort stauen sie sich, bauen ein elektrisches Querfeld auf -- und im Gleichgewicht kompensiert dessen Kraft die Lorentzkraft exakt (\(qE_H = q v_d B\)). Übrig bleibt eine messbare Querspannung, die Hallspannung:

mit der Trägerdichte \(n\) und der Plättchendicke \(d\). Zwei Dinge stecken in dieser Formel:

1. Das Vorzeichen von \(q\) steht im Zähler -- der Hall-Effekt verrät, welches Vorzeichen die Ladungsträger haben. So weiß man, dass in p-Halbleitern tatsächlich positive Löcher fließen -- und nicht bloß Elektronen rückwärts.
2. \(n\) steht im Nenner -- genau umgekehrt zur Leitfähigkeit \(\sigma = ne\mu\) aus Teil 7! Kupfer mit seinem riesigen \(n\) liefert lächerliche Hallspannungen (0,1-mm-Folie, 10 A, 1 T → ~7 µV), ein dotierter Halbleiter mit kleinem \(n\) liefert Millivolt. Deshalb sind Hall-Sensoren Halbleiterbauelemente -- der seltene Fall, wo schlechter leiten besser messen heißt.

Wie daraus reale Sensoren werden -- Halbleiter-Materialwahl, CMOS-Integration, Spinning-Current gegen den Offset, Schalter/Latch/Linear-Typen -- übernimmt ab hier der Hall-Artikel.

Ausblick im Ausblick: Magnetismus ist Relativität

Zum Schluss die vielleicht verblüffendste Pointe der ganzen Serie. Die Driftgeschwindigkeit im Draht ist Schneckentempo -- ein halber Millimeter pro Sekunde. Wieso erzeugt etwas so Langsames überhaupt eine spürbare Kraft? Die Antwort gab Einstein 1905 (in derselben Arbeit, die bei Drude auf dem Redaktionstisch lag): Wechselt man ins Bezugssystem einer neben dem Draht herfliegenden Ladung, verschieben sich durch die Lorentz-Kontraktion die Dichten der positiven und negativen Ladungen im Draht winzig gegeneinander -- der Draht erscheint geladen, und aus der magnetischen Kraft wird eine elektrische. Magnetismus ist kein eigenes Phänomen, sondern Elektrostatik plus Relativität -- und weil die Coulomb-Kraft so monströs stark ist (Teil 1), reicht ein relativistischer Effekt bei Millimetern pro Sekunde für Motoren, die Züge ziehen.

Ausblick

Die Kraft auf bewegte Ladung ist geklärt. Nächste Frage, Ørsteds eigentliche Entdeckung: Welches Magnetfeld erzeugt ein Strom selbst? Zwei Werkzeuge dafür -- das Biot-Savart-Gesetz als Arbeitspferd und das Ampèresche Durchflutungsgesetz als Symmetrie-Abkürzung, der magnetische Zwilling des Gauß'schen Satzes.

Weiter mit Teil 9: Biot-Savart und Ampère →

Weiterführendes

• Hall-Sensoren: Physik, Typen und Praxis -- der Hall-Effekt in voller Tiefe, bis zum Spinning-Current-Sensor
• H-Brücke und Motoransteuerung -- \(k_T\), Gegen-EMK und die Leistungselektronik dazu
• Teil 6: Stromdichte und Kontinuität -- warum \(v_d\) so klein ist
• Mathe-Anhang Vektoranalysis -- Kreuzprodukt und Co.
• Elektrodynamik-Serie -- Übersicht und Fahrplan