Lorentzkraft: Kraft auf bewegte Ladung

Teil 8 der Elektrodynamik-Serie, Kapitel III: Magnetostatik. Bisher haben Ladungen nur elektrische Felder gespürt -- jetzt kommt die zweite Kraft dazu, und sie ist merkwürdiger als die erste.

Den Auftakt machte 1820 eine Kompassnadel: Hans Christian Ørsted bemerkte während einer Vorlesung, dass sie zuckt, sobald in einem Draht daneben Strom fließt. Elektrizität und Magnetismus, bis dahin zwei getrennte Wissenschaften, waren ab diesem Moment eine. In diesem Teil nehmen wir die eine Hälfte der Verbindung: Welche Kraft übt ein Magnetfeld auf bewegte Ladung aus? (Die andere Hälfte -- welches Magnetfeld ein Strom erzeugt -- ist Teil 9.)

Hans Christian Ørsted (1777--1851), dänischer Physiker und Philosoph, suchte aus naturphilosophischer Überzeugung gezielt nach einer Verbindung der Naturkräfte -- und fand sie im April 1820 vor laufender Vorlesung. Seine zuckende Kompassnadel löste eine Kettenreaktion aus: Ampère lieferte binnen Wochen die Theorie, Biot und Savart das Feldgesetz. Nebenbei stellte Ørsted 1825 als Erster metallisches Aluminium dar. Mehr zu Ørsted →

Die Kraft: F = qv × B

Die vollständige Kraft auf eine Ladung \(q\) in elektromagnetischen Feldern lautet:

Den elektrischen Teil \(q\vec E\) kennen wir seit Teil 2. Neu ist der magnetische, und er hat es in sich: Die Kraft hängt von der Geschwindigkeit \(\vec v\) der Ladung ab, und sie steht über das Kreuzprodukt (Handwerkszeug im Mathe-Anhang) senkrecht auf beidem -- auf der Bewegung und auf der magnetischen Flussdichte \(\vec B\). Für die Richtung gilt die Rechte-Hand-Regel: Daumen \(\vec v\), Zeigefinger \(\vec B\), Mittelfinger \(\vec F\) (für positives \(q\); bei Elektronen dreht sich die Kraft um).

Falls du in der Schule stattdessen eine Linke-Hand-Regel gelernt hast: kein Widerspruch, dieselbe Physik. Die linke Hand nimmt man für Elektronen -- deren Ladung ist negativ, die Kraft zeigt also genau entgegengesetzt, und der Handwechsel erledigt das Vorzeichen. Die rechte Hand gilt für positive Ladungen und die technische Stromrichtung. Wer mit \(\vec F = q\,\vec v \times \vec B\) rechnet, braucht nur eine Hand: Das Vorzeichen von \(q\) dreht die Richtung von selbst.

Hendrik Antoon Lorentz (1853--1928) formulierte die Kraft im Rahmen seiner Elektronentheorie, die Maxwells Felder mit den gerade entdeckten Ladungsteilchen versöhnte -- Nobelpreis 1902. Seine Transformationsformeln nahmen die Spezielle Relativitätstheorie vorweg, was am Ende dieses Artikels kein Zufall sein wird. Mehr zu Lorentz →

Die Einheit von \(B\) ist das Tesla (T = Vs/m²) -- und wie beim Farad ist ein ganzes Tesla schon eine Ansage:

Feld	\(B\)
Erdmagnetfeld (Mitteleuropa)	~50 µT
Kühlschrankmagnet	~5 mT
Neodym-Magnet, an der Oberfläche	0,3--0,5 T
MRT-Tomograph	1,5--3 T
stärkste Dauer-Labormagnete	~45 T

Die seltsamste Eigenschaft: sie arbeitet nie

Weil \(\vec F\) immer senkrecht auf \(\vec v\) steht, gilt für die Leistung \(P = \vec F \cdot \vec v = 0\) -- die magnetische Kraft verrichtet keine Arbeit. Sie kann bewegte Ladung ablenken, umlenken, auf Kreise zwingen -- aber niemals schneller oder langsamer machen. Ein Magnetfeld ändert die Richtung der Bewegungsenergie, nie ihren Betrag. (Wenn ein Motor trotzdem Arbeit verrichtet -- und das tut er --, muss die Energie woanders herkommen. Die Auflösung liefert die Induktion in Teil 11; als Gegen-EMK ist sie im H-Brücken-Artikel schon vorweggenommen.)

Warum es keine Magnetmotoren gibt

Dieser eine Satz erledigt eine ganze Gattung von Erfindungen. In regelmäßigen Abständen kursieren Videos von „Magnetmotoren", die sich allein durch die geschickte Anordnung von Dauermagneten drehen und dabei Energie liefern sollen. Sie funktionieren nicht, und man muss dafür weder den Aufbau kennen noch nach dem versteckten Akku suchen.

Der Grund steht oben: Ein statisches Magnetfeld kann keine Netto-Arbeit leisten. Auf bewegte Ladungen wirkt die Lorentzkraft immer senkrecht zur Bewegung, ihre Leistung ist exakt null. Und die Kraft zwischen Dauermagneten lässt sich aus einer potentiellen Energie \(U = -\vec m \cdot \vec B\) ableiten -- sie ist damit eine konservative Kraft, genau wie die Schwerkraft. Über einen geschlossenen Umlauf ist die verrichtete Arbeit deshalb zwangsläufig null. Was man auf dem einen Stück des Wegs gewinnt, zahlt man auf dem anderen zurück.

Ein Magnetmotor ist damit dasselbe wie eine Kugel, die einen Hügel hinunterrollt und von selbst wieder hinaufkommt. Wer Energie aus Magneten ziehen will, muss das Feld ändern -- und dann ist man bei der Induktion und muss die Änderung ihrerseits bezahlen, wie jeder Generator es tut.

Dauermagnete sind deshalb in echten Motoren immer nur die Kulisse: Sie stellen das Feld bereit, in dem der Strom arbeitet. Die Energie kommt aus der Stromquelle, jedes Mal.

Kreisbahn und Zyklotronfrequenz

Konstante Kraft senkrecht zur Bewegung -- das ist das Rezept für eine Kreisbahn. Lorentzkraft gleich Zentripetalkraft (\(m v^2/r\)) ergibt den Bahnradius:

mit Masse \(m\), Geschwindigkeit \(v\), Ladung \(q\) und Flussdichte \(B\). Ein Elektron mit \(10^7\) m/s quer zu 0,1 T kreist mit gerade einmal 0,6 mm Radius. Noch schöner ist die Umlauffrequenz, die Zyklotronfrequenz:

Das \(v\) hat sich herausgekürzt: Schnelle und langsame Teilchen brauchen gleich lang pro Runde (schnelle fahren größere Kreise). Für Elektronen sind das 28 GHz pro Tesla -- und auf dieser Unabhängigkeit beruht ein halbes Jahrhundert Technikgeschichte:

• Zyklotron: Weil die Umlaufzeit fix ist, kann eine Wechselspannung fester Frequenz die Teilchen bei jeder halben Runde erneut treten -- der erste Kreisbeschleuniger.
• Magnetron im Mikrowellenherd: Elektronen kreisen im Feld von Dauermagneten und pumpen dabei eine 2,45-GHz-Schwingung -- der eigene Abschnitt unten geht dem nach.
• Massenspektrometer: \(r = mv/qB\) sortiert Ionen nach Masse-zu-Ladung -- die Waage der Chemie.
• Polarlicht: Sonnenwind-Teilchen fliegen in engen Spiralen um die Erdfeldlinien herum. Quer zur Feldlinie zwingt die Lorentzkraft sie auf einen Kreis, längs dazu wirkt keine Kraft -- aus beidem zusammen wird eine Schraubenbahn, die die Teilchen an der Feldlinie entlang zu den Polen führt, wo sie auf die Atmosphäre treffen.

Das Magnetron: Lorentzkraft in der Küche

Von allen Anwendungen ist diese die greifbarste, weil fast jeder eine im Haus hat. Ein Mikrowellenherd erzeugt seine Strahlung mit einem Magnetron -- und dessen gesamte Funktion beruht darauf, dass ein Magnetfeld Elektronen auf krumme Bahnen zwingt.

Der Aufbau ist erstaunlich schlicht: In der Mitte sitzt eine geheizte Kathode als Stab, ringförmig darum der Anodenblock aus massivem Kupfer. In diesen Block sind mehrere Hohlräume gefräst, die über einen schmalen Schlitz zum Innenraum offen sind. Zwei kräftige Dauermagnete oberhalb und unterhalb erzeugen ein Feld von einigen Zehntel Tesla, das längs der Achse verläuft. Zwischen Kathode und Anode liegen einige Kilovolt.

Was mit den Elektronen passiert: Ohne Magnetfeld würden sie geradewegs radial nach außen zur Anode fliegen -- ein simpler Stromfluss, sonst nichts. Das Magnetfeld steht aber senkrecht auf dieser Bewegung, und die Lorentzkraft biegt die Bahn zur Seite. Die Elektronen laufen nicht mehr radial, sondern auf gekrümmten Bahnen um die Kathode herum.

Die Feldstärke ist dabei genau abgestimmt. Ist sie zu klein, erreichen die Elektronen trotz Krümmung die Anode und das Gerät ist nur eine Diode. Ist sie zu groß, kehren sie um, bevor sie ankommen. Man betreibt das Magnetron knapp jenseits dieser Grenze, sodass eine Elektronenwolke im Zwischenraum kreist, statt abzufließen.

Wo die Frequenz herkommt -- das ist der Punkt, den man leicht falsch versteht: Sie steckt nicht in der Umlauffrequenz der Elektronen, sondern in der Geometrie der Hohlräume. Jeder Hohlraum ist ein Resonator, ähnlich einer Orgelpfeife, nur eben für elektromagnetische statt akustische Schwingungen. Seine Abmessungen legen fest, bei welcher Frequenz er mitschwingt -- bei Küchengeräten 2,45 GHz.

Magnetfeld und Anodenspannung werden nun so gewählt, dass die kreisende Elektronenwolke synchron zur Schwingung in den Hohlräumen läuft. Dann passiert etwas Bemerkenswertes: Die Wolke bleibt nicht gleichmäßig, sondern ordnet sich zu Speichen wie bei einem Wagenrad. Elektronen, die gerade gegen das Feld des Resonators anlaufen, geben Energie an ihn ab und werden dabei langsamer -- sie fallen zurück und sammeln sich. Elektronen in der falschen Phase werden hingegen zur Kathode zurückgeworfen. Die Anordnung sortiert sich also von selbst, und was übrig bleibt, sind genau die Elektronen, die die Schwingung verstärken. Ausgekoppelt wird über eine Antenne in einem der Hohlräume, von dort geht es durch einen Hohlleiter in den Garraum.

Und warum ist das kein Magnetmotor?

Hier lohnt der Rückblick auf den Abschnitt weiter oben, denn der Verdacht liegt nahe: Da kreisen Elektronen im Feld von Dauermagneten, und hinten kommen 800 Watt Mikrowellenleistung heraus. Ist das nicht genau die Maschine, die es angeblich nicht geben kann?

Nein -- und der Unterschied ist genau der, um den es oben ging. Die Magnete liefern keine Energie. Sie lenken nur. Die Energie kommt aus den Kilovolt zwischen Kathode und Anode, also aus dem Netzteil und damit aus der Steckdose. Ein Elektron gewinnt seine Bewegungsenergie im elektrischen Feld; das Magnetfeld biegt anschließend nur seine Bahn, ohne den Betrag der Geschwindigkeit anzutasten.

Was das Magnetfeld beiträgt, ist die Wegführung: Ohne es würden die Elektronen geradewegs zur Anode fliegen und ihre Energie dort als schlichte Wärme abgeben -- man hätte eine Diode mit heißem Anodenblock. Mit dem Feld nehmen sie den Umweg über die Hohlräume und geben ihre Energie unterwegs an die Schwingung ab. Das Magnetfeld entscheidet also nicht, wie viel Energie fließt, sondern wohin.

Die Probe aufs Exempel ist simpel: Schaltet man die Anodenspannung ab und lässt die Magnete sitzen, passiert exakt nichts. Der Magnet ist der Wegweiser, nicht das Kraftwerk -- und Wegweiser haben noch nie Energie geliefert.

Der Wirkungsgrad liegt bei etwa 65 bis 70 % -- für ein Bauteil, das seit den 1940er-Jahren im Prinzip unverändert ist, ein bemerkenswerter Wert. Und genau daher stammt es auch: Das Hohlraum-Magnetron wurde 1940 in Birmingham entwickelt und machte Radargeräte klein genug für Flugzeuge. Dass daraus ein Küchengerät wurde, verdankt sich einem Zufall -- einem Ingenieur, dem 1945 vor einem laufenden Radargerät der Schokoriegel in der Tasche schmolz.

Vom Teilchen zum Draht: F = I l × B

Im Stromleiter driften die Träger kollektiv -- die Einzelkräfte summieren sich zu einer Kraft auf den Draht als Ganzes. Mit der Stromdichte-Kette aus Teil 6 (\(N = nAl\) Träger, jeder mit \(q v_d B\)) kollabiert alles auf:

mit dem Strom \(I\), der Leiterlänge \(l\) im Feld und der Flussdichte \(B\).

Ein Zahlenbeispiel macht daraus etwas Anfassbares. Ein 10 cm langes Drahtstück, von 10 A durchflossen, quer im 0,5-T-Feld eines kräftigen Neodym-Magneten:

Das entspricht dem Gewicht einer halben Tafel Schokolade -- rund 50 Gramm, die an dem Draht ziehen. Bemerkenswert daran ist nicht die Größe, sondern die Richtung: Die Kraft zeigt weder in Stromrichtung noch in Feldrichtung, sondern senkrecht auf beiden. Der Draht will zur Seite ausweichen, und zwar in eine Richtung, in die man von außen betrachtet nichts hineingesteckt hat.

Genau das ist der Schulversuch mit der schaukelnden Leiterschleife zwischen zwei Magneten -- und zugleich der Elektromotor in seiner einfachsten Form. Alles, was ein realer Motor mehr hat, dient nur dazu, diese eine seitliche Kraft dauerhaft in dieselbe Drehrichtung wirken zu lassen.

Zum Motor fehlt nur noch Geometrie: Eine Leiterschleife im Feld erfährt ein Kräftepaar → Drehmoment; \(N\) Windungen multiplizieren es. Für eine gegebene Maschine schnurrt die ganze Feld- und Wicklungsgeometrie in eine einzige Zahl zusammen -- die Drehmomentkonstante \(k_T\) in \(M = k_T \cdot I\) aus dem Datenblatt. Sie ist buchstäblich aufsummierte Lorentzkraft. (Und dass numerisch \(k_T = k_E\) gilt, die Drehmomentkonstante also gleich der Gegen-EMK-Konstante ist, ist die Energieerhaltung von oben in Bauteilform -- in SI-Einheiten exakt.)

Der Hall-Effekt: die Lorentzkraft als Messgerät

Jetzt die Anwendung, die auf dieser Website ihren eigenen großen Artikel hat. Lässt man den Strom durch ein flaches Plättchen fließen und legt \(\vec B\) senkrecht dazu, schiebt die Lorentzkraft die Träger quer zur Stromrichtung an den Rand. Dort stauen sie sich, bauen ein elektrisches Querfeld auf -- und im Gleichgewicht kompensiert dessen Kraft die Lorentzkraft exakt (\(qE_H = q v_d B\)). Übrig bleibt eine messbare Querspannung, die Hallspannung:

mit der Trägerdichte \(n\) und der Plättchendicke \(d\). Zwei Dinge stecken in dieser Formel:

1. Das Vorzeichen von \(q\) steht im Zähler -- der Hall-Effekt verrät, welches Vorzeichen die Ladungsträger haben. So weiß man, dass in p-Halbleitern tatsächlich positive Löcher fließen -- und nicht bloß Elektronen rückwärts.
2. \(n\) steht im Nenner -- genau umgekehrt zur Leitfähigkeit \(\sigma = ne\mu\) aus Teil 7! Kupfer mit seinem riesigen \(n\) liefert lächerliche Hallspannungen (0,1-mm-Folie, 10 A, 1 T → ~7 µV), ein dotierter Halbleiter mit kleinem \(n\) liefert Millivolt. Deshalb sind Hall-Sensoren Halbleiterbauelemente -- der seltene Fall, wo schlechter leiten besser messen heißt.

Wie daraus reale Sensoren werden -- Halbleiter-Materialwahl, CMOS-Integration, Spinning-Current gegen den Offset, Schalter/Latch/Linear-Typen -- übernimmt ab hier der Hall-Artikel.

Ausblick im Ausblick: Magnetismus ist Relativität

Zum Schluss die vielleicht verblüffendste Pointe der ganzen Serie. Sie beginnt mit einer Frage, die harmlos klingt: Ist die magnetische Kraft überhaupt eine eigene Kraft -- oder hängt sie davon ab, wer hinschaut?

Warum man dafür eine Ladung neben den Draht setzt

Um das zu prüfen, braucht man eine Situation, die man aus zwei Blickwinkeln betrachten kann. Der einfachste denkbare Fall: ein gerader, stromdurchflossener Draht und daneben eine Ladung, die sich parallel zum Draht bewegt.

Der Draht ist dabei elektrisch neutral -- auf jedes Elektron kommt ein positiver Atomrumpf, die Ladungen heben sich exakt auf. Trotzdem wirkt auf die fliegende Ladung eine Kraft, und zwar nach \(\vec F = q\,\vec v \times \vec B\) quer zur Bewegung, also zum Draht hin oder von ihm weg. So weit der Laborblick.

Jetzt der Wechsel: Wir setzen uns auf die Ladung. In ihrem eigenen Bezugssystem ruht sie, es gilt \(v = 0\) -- und damit ist die magnetische Kraft nach derselben Formel exakt null. Es kann dort keine geben.

Und hier wird es unausweichlich: Ob die Ladung zum Draht hin abgelenkt wird oder nicht, ist eine physikalische Tatsache. Entweder sie trifft irgendwann auf den Draht oder sie tut es nicht. Das kann nicht davon abhängen, wer zuschaut. Im mitfliegenden System muss also etwas anderes dieselbe Ablenkung bewirken.

Die Auflösung

Sie liefert die Lorentz-Kontraktion. Im Laborsystem ruhen die positiven Atomrümpfe und die Elektronen driften. Im mitfliegenden System ist es umgekehrt -- jetzt bewegen sich die Rümpfe, und die Elektronen tun etwas anderes als vorher. Bewegte Längen erscheinen verkürzt, also verschieben sich die beiden Ladungsdichten gegeneinander.

Die exakte Aufhebung von vorhin gilt damit nicht mehr: Der Draht erscheint geladen. Und ein geladener Draht zieht eine Ladung schlicht elektrisch an -- Coulomb, sonst nichts.

Dieselbe Ablenkung, dieselbe Größe, dieselbe Richtung. Nur heißt die Ursache im einen System magnetisch und im anderen elektrisch. Die Antwort auf die Ausgangsfrage lautet also: Die magnetische Kraft ist kein eigenständiges Phänomen, sondern das, was die elektrische Kraft aus einem anderen Bezugssystem heraus für ein Gesicht macht. Die Aufteilung in „elektrisch" und „magnetisch" ist eine Frage des Standpunkts, das elektromagnetische Feld dahinter ist eines.

Und das Erstaunlichste daran

Die Driftgeschwindigkeit im Draht ist Schneckentempo -- ein halber Millimeter pro Sekunde. Bei solchen Geschwindigkeiten weicht der relativistische Faktor erst in der einundzwanzigsten Nachkommastelle von 1 ab. Die Ladungsdichten verschieben sich also um ein unvorstellbar winziges Verhältnis.

Und trotzdem reicht es für Motoren, die Züge ziehen. Der Grund steht in Teil 1: Die Coulomb-Kraft ist so monströs stark, dass ein relativer Ladungsüberschuss von \(10^{-21}\) eine Kraft ergibt, die man mit der Hand spürt. Der Magnetismus ist damit ein relativistischer Effekt, den wir im Alltag nur deshalb bemerken, weil die zugrunde liegende Kraft so gewaltig ist, dass selbst ihr Rundungsfehler noch Maschinen antreibt.

Formuliert hat das Einstein 1905 -- die Arbeit trägt nicht umsonst den Titel „Zur Elektrodynamik bewegter Körper" und beginnt mit genau dieser Asymmetrie. In Teil 11 begegnet sie uns wieder: Dort führen zwei völlig verschiedene Mechanismen auf ein und dasselbe Induktionsgesetz, und die Auflösung ist dieselbe.

Ausblick

Die Kraft auf bewegte Ladung ist geklärt. Nächste Frage, Ørsteds eigentliche Entdeckung: Welches Magnetfeld erzeugt ein Strom selbst? Zwei Werkzeuge dafür -- das Biot-Savart-Gesetz als Arbeitspferd und das Ampèresche Durchflutungsgesetz als Symmetrie-Abkürzung, der magnetische Zwilling des Gauß'schen Satzes.

Weiter mit Teil 9: Biot-Savart und Ampère →

Weiterführendes

• Hall-Sensoren: Physik, Typen und Praxis -- der Hall-Effekt in voller Tiefe, bis zum Spinning-Current-Sensor
• H-Brücke und Motoransteuerung -- \(k_T\), Gegen-EMK und die Leistungselektronik dazu
• Teil 6: Stromdichte und Kontinuität -- warum \(v_d\) so klein ist
• Mathe-Anhang Vektoranalysis -- Kreuzprodukt und Co.
• Elektrodynamik-Serie -- Übersicht und Fahrplan

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