Biot-Savart und Ampère

Teil 9 der Elektrodynamik-Serie, Kapitel III: Magnetostatik. Teil 8 hat geklärt, welche Kraft ein Magnetfeld auf bewegte Ladung ausübt. Jetzt die Gegenrichtung: Welches Feld erzeugt ein Strom -- und wie rechnet man es aus?

Als Ørsteds Kompassnadel 1820 neben dem Draht zuckte, war die qualitative Botschaft klar: Ströme machen Magnetfelder. Die quantitative Antwort lieferten binnen Wochen gleich zwei Teams in Paris -- Biot und Savart mit einem Feld-Rezept zum Integrieren, Ampère mit einem Satz über geschlossene Wege. Beide Werkzeuge braucht man bis heute, und sie haben dieselbe Arbeitsteilung wie Coulomb-Integral und Gauß'scher Satz in der Elektrostatik: das eine fürs Allgemeine, das andere für die schöne Symmetrie.

Wie B-Feldlinien aussehen: immer im Kreis

Erst das Bild, dann die Formeln. Die Feldlinien von \(\vec B\) um einen stromdurchflossenen Draht sind geschlossene Kreise um den Strom herum. Die Richtung gibt wieder die rechte Hand: Daumen in Stromrichtung, die gekrümmten Finger zeigen die Feldrichtung -- das ist die zweite Rechte-Hand-Regel der Serie, nicht zu verwechseln mit der Kraft-Regel aus Teil 8.

Dass die Linien geschlossen sind, ist keine Nebensächlichkeit, sondern ein Naturgesetz: Magnetfeldlinien haben keinen Anfang und kein Ende, weil es -- nach allem, was wir wissen -- keine magnetischen Ladungen (Monopole) gibt. Formal: Der magnetische Fluss durch jede geschlossene Hüllfläche ist null,

\[\oint_A \vec B \cdot d\vec A = 0 \qquad\Longleftrightarrow\qquad \nabla \cdot \vec B = 0\]

Das ist der magnetische Zwilling des Gauß'schen Satzes -- nur eben mit Null auf der rechten Seite, wo elektrisch \(Q/\varepsilon_0\) steht. Er wird uns als zweite Maxwell-Gleichung wiederbegegnen. Anschaulich: Einen Magneten zu zerbrechen ergibt zwei kleinere Magnete, nie einen einzelnen Nord- und einen Südpol.

Das Biot-Savart-Gesetz: das Feld-Rezept

Wie das Coulomb-Gesetz das Feld einer Ladungsverteilung liefert, liefert das Biot-Savart-Gesetz das Feld einer Stromverteilung -- Stückchen für Stückchen. Jedes Leiterelement \(d\vec l\) (in Stromrichtung), durchflossen vom Strom \(I\), trägt am Ort im Abstand \(r\) bei:

\[d\vec B = \frac{\mu_0}{4\pi}\, \frac{I\, d\vec l \times \hat r}{r^2}\]

mit dem Einheitsvektor \(\hat r\) vom Leiterelement zum Aufpunkt und der magnetischen Feldkonstante \(\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7}\) Vs/(Am). Die Familienähnlichkeit zu Coulomb ist gewollt -- \(1/r^2\), Vorfaktor, Strom statt Ladung -- aber das Kreuzprodukt macht den Unterschied: Der Beitrag steht senkrecht auf Stromrichtung und Verbindungslinie, und genau daraus entstehen die Kreis-Feldlinien. Das Gesamtfeld ist das Integral über den ganzen Stromkreis -- meist unhandlich, aber immer möglich. Für drei Geometrien lohnt sich das Ausrechnen für den Rest des Ingenieurslebens.

Jean-Baptiste Biot (1774--1862) und Félix Savart (1791--1841) vermaßen im Herbst 1820 die Kraft eines Drahtstroms auf eine Magnetnadel über deren Schwingungsdauer -- und destillierten daraus ihr Feldgesetz. Biot war zuvor schon per Ballon auf 4000 m gestiegen, um das Erdmagnetfeld zu prüfen; Savart kam als Arzt über die Akustik zur Physik. Mehr zu Biot & Savart →

Die drei klassischen Magnetfeldbilder im Querschnitt: konzentrische Kreise um den geraden Draht, Dipolfeld der Leiterschleife, homogenes Innenfeld der langen Spule

Die drei Klassiker im Querschnitt (⊙ Strom aus der Ebene, ⊗ hinein): Kreise um den geraden Draht, das Dipolfeld der Schleife, das homogene Innenfeld der langen Spule mit schwachem Rückfluss außen (gestrichelt).

Klassiker 1: der gerade Draht

Für einen langen geraden Draht liefert das Biot-Savart-Integral:

\[B = \frac{\mu_0\, I}{2\pi\, r}\]

Das Feld fällt mit \(1/r\) ab (nicht \(1/r^2\) -- der unendlich lange Draht "verdünnt" langsamer als eine Punktquelle). Zahlenprobe: \(I = 10\) A im Abstand \(r = 2\) cm → \(B = 100\) µT, das Doppelte des Erdfelds. Deshalb schlug Ørsteds Kompassnadel aus -- und deshalb stören stromführende Leitungen jeden Magnetsensor in ihrer Nähe: Ein Hall-Sensor neben einer Versorgungsleitung misst deren Strom gleich mit (was man je nach Anwendung fürchtet -- EMV -- oder ausnutzt: genau so funktionieren kontaktlose Stromsensoren).

Kraft zwischen zwei Strömen. Draht 2 sitzt im Feld von Draht 1, die Lorentzkraft aus Teil 8 (\(F = BIl\)) übernimmt den Rest:

\[\frac{F}{l} = \frac{\mu_0\, I_1\, I_2}{2\pi\, d}\]

Parallele Ströme ziehen sich an, antiparallele stoßen sich ab. Bei 2× 10 A im Zentimeterabstand sind das harmlose 2 mN/m -- aber bei einem Kurzschluss mit 10 kA in 10 cm Abstand 200 N pro Meter: Stromschienen in Schaltanlagen müssen mechanisch dafür verstrebt sein, dass sie ihre eigenen Kurzschlusskräfte überleben. Historische Fußnote: Genau über diese Kraft war bis 2019 das Ampere definiert (\(2 \cdot 10^{-7}\) N/m bei 1 A, 1 m Abstand) -- heute läuft die Definition über die Elementarladung (Teil 6).

Klassiker 2: die Leiterschleife

Im Zentrum einer Kreisschleife mit Radius \(R\) (und \(N\) Windungen):

\[B = \frac{\mu_0\, N\, I}{2R}\]

Eine Schleife mit 1 A und 5 cm Radius bringt es auf bescheidene 12,6 µT. Interessanter ist ihr Fernfeld: Es hat exakt die Form eines Dipolfelds -- die Schleife ist der elementare Magnet, mit Nord- und Südseite je nach Umlaufsinn. Das ist mehr als eine Analogie: Auch die Kompassnadel, der Stabmagnet und letztlich jedes Elektron sind magnetische Dipole. Warum Materie magnetisch sein kann -- Kreisströme und Spins im Atom -- ist das Thema von Teil 10.

Klassiker 3: die lange Spule

Wickelt man viele Schleifen zum Solenoid (Länge \(l\), \(N\) Windungen, Windungsdichte \(n = N/l\)), addieren sich die Beiträge im Inneren zu einem bemerkenswert homogenen Feld:

\[B = \mu_0\, n\, I\]

-- unabhängig vom Spulendurchmesser und der Position im Inneren (ideal lange Spule; außen ist das Feld praktisch null). Die Spule ist damit für den Magnetismus, was der Plattenkondensator für die Elektrostatik ist: der Homogenfeld-Baukasten. Zahlenprobe: 1000 Windungen auf 10 cm bei 1 A → \(n = 10^4\) m⁻¹ → \(B = 12{,}6\) mT. Für ein ordentliches Tesla bräuchte es 80 A -- oder einen Eisenkern, der das Feld um seine Permeabilitätszahl \(\mu_r\) (Hunderte bis Zehntausende) verstärkt. Wie er das macht (und wann er dabei sättigt), klärt Teil 10; dass jedes Relais, jedes Schütz und jede Drossel genau diese Kombination Spule+Kern ist, kennst du aus der Praxis.

Ampère: die Symmetrie-Abkürzung

Und nun dieselbe Erkenntnis von der eleganten Seite. Das Ampèresche Durchflutungsgesetz sagt: Läuft man auf einem beliebigen geschlossenen Weg einmal herum und summiert dabei die Tangentialkomponente von \(\vec B\) auf, zählt das Ergebnis den umschlossenen Strom:

\[\oint \vec B \cdot d\vec l = \mu_0\, I_\text{umschlossen}\]

Das ist der magnetische Verwandte des Gauß'schen Satzes -- nur läuft man hier auf einer geschlossenen Linie statt über eine geschlossene Fläche, und gezählt wird durchstoßender Strom statt eingeschlossener Ladung. Und wie bei Gauß gilt: Bei genug Symmetrie kollabiert das Integral auf eine Zeile.

In lokaler Form (Satz von Stokes, Mathe-Anhang) lautet das Gesetz \(\nabla \times \vec B = \mu_0 \vec j\): Ströme sind Wirbel des Magnetfelds -- das Gegenstück zu „Ladungen sind Quellen des elektrischen Felds". Zusammen mit \(\nabla \cdot \vec B = 0\) von oben ist die Magnetostatik damit komplett.

Eine Warnung mit Ansage: So wie es dasteht, gilt das Durchflutungsgesetz nur für stationäre Ströme. Sobald sich Ladungen zeitlich umverteilen -- klassisches Beispiel: der Ladestrom „endet" auf einer Kondensatorplatte --, gerät es in Widerspruch zur Kontinuitätsgleichung aus Teil 6. Diesen Riss kittet erst Maxwell mit dem Verschiebungsstrom -- der Schlussstein in Teil 14, aus dem dann die Lichtwellen purzeln.

Ausblick

Draht, Schleife, Spule -- alles im Vakuum (oder in Luft, was fast dasselbe ist). Aber die wirklich starken Magnetfelder der Technik entstehen erst, wenn Materie mitspielt: der Eisenkern im Trafo, der Neodym-Magnet im BLDC-Rotor, der Ferrit in der Drossel. Warum Materialien das Feld hundert- bis zehntausendfach verstärken, warum sie dabei sättigen und was Hystereseverluste sind -- das ist Teil 10.

Weiter mit Teil 10: Materie im Magnetfeld →

Weiterführendes

Erstellt: 19.07.2026