Elektromagnetische Wellen

Teil 15 der Elektrodynamik-Serie, Kapitel V: Maxwell und Wellen. Der letzte Teil -- und der, in dem die Theorie das Labor verlässt.

Wer bei \(\nabla\), Divergenz oder Rotation ins Stocken gerät: Der Mathe-Anhang erklärt die Operatoren anschaulich, und die Überführung von der Integral- in die Differentialform zeigt, wie beide Schreibweisen zusammenhängen.

Am Ende von Teil 14 stand ein Kreislauf: Ein sich änderndes Magnetfeld erzeugt ein elektrisches Wirbelfeld, ein sich änderndes elektrisches Feld ein magnetisches. Beide halten sich gegenseitig am Leben. Was daraus folgt, hat Maxwell selbst überrascht.

Kurz vorweg: was eine Welle ausmacht

Dieser Teil benutzt durchgehend Wellenbegriffe. Falls die länger her sind, hier die fünf, auf die es ankommt -- am Beispiel eines Seils, an dem jemand wackelt.

Eine Welle transportiert eine Störung, nicht Material. Das Seil bleibt, wo es ist; nur die Auslenkung wandert. Genau deshalb kann eine elektromagnetische Welle durchs Vakuum laufen: Es muss nichts mitfliegen, es ändert sich nur der Zustand des Feldes an jedem Ort.

Begriff	Bedeutung
Amplitude	Wie weit die Auslenkung maximal geht. Bei uns: die Feldstärke.
Wellenlänge \(\lambda\)	Abstand zwischen zwei gleichen Punkten, etwa von Berg zu Berg. Gemessen in Metern.
Frequenz \(f\)	Wie oft ein fester Ort pro Sekunde durchschwingt. Gemessen in Hertz.
Periode \(T = 1/f\)	Wie lange ein voller Durchgang dauert.
Ausbreitungsgeschwindigkeit	Wie schnell ein Wellenberg vorankommt.

Diese Größen hängen über eine einzige Beziehung zusammen, und die wird später ständig gebraucht:

Anschaulich: Wenn pro Sekunde \(f\) Wellenberge an einem Ort vorbeikommen und jeder \(\lambda\) lang ist, ist in dieser Sekunde eine Strecke \(\lambda f\) vorbeigezogen. Bei fester Geschwindigkeit heißt das: hohe Frequenz, kurze Wellenlänge -- und umgekehrt.

Zwei Wörter noch, die gleich auftauchen:

Transversal heißt, dass die Auslenkung quer zur Laufrichtung erfolgt -- wie beim Seil, das man auf und ab bewegt, während die Welle nach vorn läuft. Das Gegenteil ist longitudinal: Dort schwingt es in Laufrichtung, wie beim Schall, der Luft abwechselnd verdichtet und verdünnt. Elektromagnetische Wellen sind transversal.

In Phase heißt, dass zwei Größen ihre Maxima und Nulldurchgänge zur selben Zeit haben. Sind sie um eine Viertelperiode versetzt, spricht man von 90° Phasenverschiebung -- so wie bei einem Pendel, dessen Geschwindigkeit gerade dann null ist, wenn die Auslenkung maximal ist.

Die Wellengleichung

Nimmt man die beiden Wirbelgleichungen im leeren Raum -- keine Ladungen, keine Ströme -- und setzt sie ineinander ein, fällt das Magnetfeld heraus und es bleibt:

Bevor das abschreckt: Rechts steht die zweite Ableitung nach der Zeit, also die Beschleunigung der Feldstärke an einem festen Ort. Links steht mit \(\nabla^2\) das räumliche Gegenstück -- die zweite Ableitung nach dem Ort, in alle drei Raumrichtungen aufsummiert. Sie misst die Krümmung des Feldes: wie stark der Wert an einem Punkt von dem seiner Nachbarn abweicht.

Die Gleichung sagt also nichts anderes als: Je krummer das Feld im Raum liegt, desto stärker wird es zurückbeschleunigt -- und der Vorfaktor bestimmt, wie schnell. Das ist exakt die Mechanik einer gespannten Saite, bei der die Rückstellkraft ebenfalls von der Krümmung kommt. Deshalb ist es dieselbe Gleichung. Die vollständige Rechnung in vier Schritten steht in der Herleitung; hier interessiert, was daraus folgt.

Jede Wellengleichung trägt ihre Ausbreitungsgeschwindigkeit im Vorfaktor:

Das ist die Lichtgeschwindigkeit.

Man sollte kurz innehalten, wie außergewöhnlich das ist. Die beiden Konstanten stammen aus unspektakulären Tischexperimenten: \(\varepsilon_0\) aus der Kraft zwischen ruhenden Ladungen, \(\mu_0\) aus der Kraft zwischen stromdurchflossenen Drähten. Mit Licht hat weder das eine noch das andere etwas zu tun. Trotzdem ergibt ihre Kombination exakt die Geschwindigkeit, mit der Licht sich bewegt.

Maxwells Schluss daraus war der einzig mögliche: Licht ist eine elektromagnetische Welle. Optik und Elektrizität, bis dahin getrennte Fächer, waren dasselbe Thema.

Wie diese Welle aussieht

Aus den Gleichungen folgt auch die Gestalt:

• \(\vec E\) und \(\vec B\) stehen senkrecht aufeinander und beide senkrecht zur Ausbreitungsrichtung -- die Welle ist transversal.
• Sie schwingen in Phase: beide gleichzeitig maximal, gleichzeitig null. Das überrascht viele, die es von der Mechanik anders kennen -- bei einem Pendel sind Auslenkung und Geschwindigkeit um 90° versetzt. Hier nicht: Die Felder erzeugen einander nicht nacheinander, sondern halten sich gegenseitig im selben Takt.
• Ihre Beträge hängen fest zusammen, \(E = c\,B\). Weil \(c\) so groß ist, sind die Zahlenwerte von \(B\) entsprechend winzig -- deshalb spricht man in der Praxis fast immer nur von „der Feldstärke" und meint \(E\).

Hertz macht es sichtbar

Zwanzig Jahre lang blieb das Rechnung auf Papier. Erst 1886 gelang Heinrich Hertz in Karlsruhe der Nachweis, und zwar mit bemerkenswert einfachen Mitteln: Ein Schwingkreis mit Funkenstrecke als Sender, ein Drahtring mit winzigem Spalt als Empfänger. Sprang im Sender ein Funke, sprang im Empfänger auf der anderen Seite des Raums ein kleinerer mit -- ohne jede Verbindung.

Hertz begnügte sich nicht mit dem Nachweis. Er reflektierte die Wellen an einer Metallwand, erzeugte damit stehende Wellen, maß den Abstand der Knoten und bekam so die Wellenlänge. Zusammen mit der aus dem Schwingkreis berechneten Frequenz ergab \(c = \lambda f\) genau die Lichtgeschwindigkeit. Außerdem zeigte er Brechung, Beugung und Polarisation -- alles, was man von Licht kannte.

Heinrich Hertz (1857--1894) wies die von Maxwell vorhergesagten Wellen als Erster experimentell nach. Nach dem praktischen Nutzen gefragt, soll er geantwortet haben, es habe wohl keinen -- es sei nur ein Experiment, das Maxwell recht gebe. Sieben Jahre nach seinem frühen Tod funkte Marconi über den Atlantik. Die Einheit der Frequenz trägt seinen Namen. Mehr zu Hertz →

Wo die Energie wirklich fließt

Wenn Felder Energie transportieren, lässt sich fragen, wohin genau. Die Antwort gibt der Poynting-Vektor:

Das Kreuzprodukt liefert wieder einen Vektor, der senkrecht auf beiden steht -- dieselbe Konstruktion samt Rechte-Hand-Regel wie bei der Lorentzkraft in Teil 8.

\(\vec S\) zeigt in die Richtung des Energieflusses, sein Betrag ist die Leistung pro Fläche in W/m². Man kann sich das wie eine Strömungsdichte vorstellen: Hält man eine gedachte Fläche von einem Quadratmeter quer hinein, sagt \(S\), wie viele Watt hindurchtreten. Dass er das leistet, ist keine Definition, sondern folgt aus den Maxwell-Gleichungen -- die Rechnung steht in der Herleitung des Poynting-Satzes, zusammen mit der Energiebilanz, aus der er stammt.

Die unbequeme Konsequenz

Bei einer Welle zeigt \(\vec S\) erwartungsgemäß in Ausbreitungsrichtung. Interessant wird er beim Alltagsfall. Nehmen wir eine simple Gleichstromschaltung: Quelle, zwei Drähte, ein Verbraucher. Wo fließt die Energie hin zum Verbraucher?

Die naheliegende Antwort -- „im Draht, mit dem Strom" -- ist falsch.

Rechnet man den Poynting-Vektor für einen stromdurchflossenen Widerstand aus, kommt sogar exakt seine Verlustleistung \(U I\) heraus -- und zwar als Fluss durch seine Mantelfläche, nicht durch die Anschlussdrähte. Die Rechnung dazu steht in der Herleitung.

Der Draht führt die Energie also nicht. Er führt den Strom, der die Felder so ordnet, dass sie ins Bauteil zeigen. Wem das absurd vorkommt: Genau deshalb funktioniert eine Freileitung, obwohl sie blank in der Luft hängt, und genau deshalb ist bei hohen Frequenzen die Umgebung des Leiters wichtiger als der Leiter selbst.

John Henry Poynting (1852--1914) formulierte 1884 den nach ihm benannten Satz über den Energiefluss im elektromagnetischen Feld. Mehr zu Poynting →

Zwei Gegenproben

Wer der Zeichnung oben misstraut, kann sie an zwei Extremfällen prüfen -- einmal mit einem sehr großen Feldraum, einmal mit einem sehr kleinen.

Rückt die Rückleitung weit weg, wächst der Raum mit, durch den die Energie strömt. Bei einer Freileitung liegt der Rückweg dutzende Meter entfernt oder ist der Erdboden selbst:

Das erklärt, warum eine Freileitung blank in der Luft hängen darf: Sie muss gar nichts einschließen. Der Energiepfad ist die Luft ringsum, und die ist umsonst zu haben.

Der Gegenfall ist das Koaxialkabel. Dort ist der Rückleiter der Schirm, der den Innenleiter vollständig umgibt -- und damit ist der Feldraum ein schmaler Ring:

Das Koaxialkabel ist der überzeugendste Beleg für die ganze Aussage, und zwar wegen dem, was außerhalb passiert: dort ist das Feld exakt null. Der Schirm schließt es vollständig ein -- deshalb strahlt ein Koaxialkabel nicht und ist gegen Einstrahlung unempfindlich. Im Kupfer selbst ist das Feld ebenfalls nahezu null. Die gesamte übertragene Leistung läuft also im Ring aus Polyethylen, und trotzdem kommt am anderen Ende alles an.

Das ist zugleich der anschauliche Zugang zu den 50 Ω aus dem nächsten Abschnitt: Sie ergeben sich aus der Geometrie dieses Rings -- aus dem Verhältnis der beiden Durchmesser und der Dielektrizitätszahl des Kunststoffs dazwischen. Wie genau, steht in der vollständig durchgerechneten Herleitung, in der am Ende die 51 Ω eines RG58 herausfallen. Wer ein Koaxialkabel quetscht, ändert diese Geometrie und damit den Wellenwiderstand an genau dieser Stelle. Und eine Unstetigkeit im Wellenwiderstand ist genau das, was reflektiert.

Ein Extremfall: der Blitz

Wohin zeigt der Poynting-Vektor eines Blitzes? Die Frage ist lehrreich, weil die naheliegende Antwort wieder die falsche ist.

Der Blitzkanal ist ein Leiter -- ein Plasmaschlauch, durch den Ströme bis etwa 30.000 Ampere fließen und der über seine Länge einen Spannungsabfall hat. Damit steht ein E-Feld längs des Kanals und ein B-Feld ringförmig darum. Ihr Kreuzprodukt zeigt radial nach innen, genau wie beim Widerstand oben.

Die Energie fließt also nicht von der Wolke durch den Kanal nach unten. Sie kommt von allen Seiten aus dem umgebenden Luftraum seitlich in den Kanal hinein und heizt ihn dort auf etwa 30.000 Kelvin. Der Donner ist die Druckwelle dieser Aufheizung.

Physikalisch ist das auch die einzig sinnvolle Antwort, wenn man einen Schritt zurückgeht: Vor dem Einschlag bilden Wolke und Erdboden einen riesigen Kondensator, und die Energie steckt als \(\tfrac12\varepsilon_0E^2\) im Feld des Luftvolumens dazwischen -- verteilt über Kubikkilometer. Der Kanal ist nur die Senke, in der sich dieses Feldvolumen entlädt.

Dazu kommt ein zweiter, kleinerer Anteil, der nach außen zeigt: Der Strom ändert sich in Mikrosekunden um Zehntausende Ampere, und beschleunigte Ladung strahlt. Dieser Puls ist der Grund, warum es bei Gewitter im AM-Radio knackt -- und die Grundlage der Blitzortungsnetze, die aus Laufzeitunterschieden mehrerer Empfänger den Einschlagort bestimmen.

Wie viel Energie das ist

Für eine sinusförmige Welle ist der Zeitmittelwert der Leistungsdichte

mit dem Freiraumwellenwiderstand \(Z_0\) aus dem nächsten Abschnitt. Damit lässt sich aus einer gemessenen Feldstärke sofort eine Leistung machen -- und umgekehrt:

Situation	Leistungsdichte	Feldstärke \(E_0\)
Sonnenlicht außerhalb der Atmosphäre	1361 W/m²	~1,0 kV/m
WLAN-Router, 100 mW, in 1 m Abstand	~8 mW/m²	~1,7 V/m
Grenzwert für ortsfeste Funkanlagen (Allgemeinheit, 2 GHz)	10 W/m²	~87 V/m

Die erste Zeile ist der Grund, warum niemand die tausend Volt pro Meter bemerkt, in denen wir bei Sonnenschein stehen: Ohne Leiter, in dem sich daraus ein Strom bilden könnte, passiert schlicht nichts.

377 Ohm: der Widerstand des Nichts

Aus \(E = cB\) und den Feldkonstanten folgt eine Größe mit merkwürdigem Charakter -- der Feldwellenwiderstand des freien Raums:

Das Vakuum hat also einen Wellenwiderstand, obwohl dort nichts ist, was Widerstand leisten könnte. Der Name führt in die Irre: Es wird nichts in Wärme umgesetzt. \(Z_0\) ist ein Verhältnis -- das von elektrischer zu magnetischer Feldstärke in einer freien Welle --, und dass es die Einheit Ohm trägt, ist eine Folge der Einheiten.

In der Leitungstechnik begegnet einem dieselbe Idee mit anderen Zahlen: 50 Ω beim Koaxialkabel, 75 Ω beim Antennenkabel, 90 oder 100 Ω differentiell auf der Leiterplatte. Dort gilt \(Z = \sqrt{L'/C'}\) -- formal dieselbe Struktur, mit der Geometrie der Leitung anstelle der Feldkonstanten.

Vier Größen, alle in Ohm

An dieser Stelle lohnt eine Abgrenzung, denn in der Elektrotechnik heißen vier verschiedene Dinge „Widerstand" oder „Impedanz" und tragen alle die Einheit Ohm:

Größe	Bezieht sich auf	Setzt Energie um?	Mit dem Ohmmeter messbar?
Ohmscher Widerstand \(R\)	ein Bauteil, an seinen Klemmen	ja, vollständig in Wärme	ja
Impedanz \(\underline{Z}\)	ein Bauteil bei einer Frequenz; komplex, mit Wirk- und Blindanteil	nur der Realteil; der Blindanteil pendelt	nein, nur mit Messbrücke bei der jeweiligen Frequenz
Leitungswellenwiderstand \(Z_{\text{Ltg}}\)	eine laufende Welle auf einer Leitung	nein	nein
Feldwellenwiderstand \(Z_0\)	eine freie Welle im Raum, als Verhältnis \(E/H\)	nein	nein

Gemeinsam ist allen vieren nur, dass sie ein Verhältnis aus einer „Spannungsgröße" und einer „Stromgröße" bilden -- daher die Einheit. Der entscheidende Unterschied verläuft zwischen den ersten beiden und den letzten beiden: \(R\) und \(\underline{Z}\) beschreiben ein Bauteil, \(Z_{\text{Ltg}}\) und \(Z_0\) beschreiben eine Welle.

Deshalb zeigt ein Ohmmeter an einem 50-Ω-Kabel niemals 50 Ω, sondern Kurzschluss oder Unterbrechung, je nachdem was am anderen Ende hängt. Die 50 Ω existieren nur für eine Welle, die gerade unterwegs ist -- und auch für die nur, solange sie das Ende noch nicht erreicht hat.

Am schönsten zeigt sich der Unterschied an einer Konsequenz: Für die ankommende Welle ist ein 50-Ω-Abschlusswiderstand von einer unendlich langen Leitung nicht zu unterscheiden. In beiden Fällen läuft die Energie weg und kommt nicht zurück. Dass sie im einen Fall in Wärme endet und im anderen ewig weiterläuft, merkt die Welle am Übergang nicht.

Wichtig ist, was daraus folgt: Trifft eine Welle auf eine Unstetigkeit, läuft ein Teil zurück. Wie viel, sagt der Reflexionsfaktor \(\Gamma = (Z_L - Z_0)/(Z_L + Z_0)\). Ein offener CMOS-Eingang reflektiert praktisch vollständig, ein niederohmiger Treiberausgang ebenfalls -- und das Hin und Her zwischen beiden ist genau das Klingeln, das man am Oszilloskop sieht. Auf FR4 läuft ein Signal mit rund 15 cm/ns; bei 1 ns Anstiegszeit ist deshalb schon ab wenigen Zentimetern Leiterbahn Vorsicht geboten.

Herleitung, Zahlenwerte und die beiden Terminierungsarten stehen in der Herleitung: Wellenwiderstand und Reflexion.

Das elektromagnetische Spektrum

Alles, was in diesem Artikel steht, gilt für jede elektromagnetische Welle -- vom Langwellensender bis zur Gammastrahlung. Der einzige Unterschied ist die Frequenz, und mit ihr die Wellenlänge \(\lambda = c/f\):

Bereich	Frequenz	Wellenlänge
Langwelle	100 kHz	3 km
UKW-Rundfunk	100 MHz	3 m
WLAN, Mikrowellenherd	2,45 GHz	12,2 cm
Infrarot	3--400 THz	750 nm -- 100 µm
Sichtbares Licht	400--790 THz	380--780 nm
Röntgen	\(10^{17}\)--\(10^{20}\) Hz	10 nm -- 1 pm

Dass sichtbares Licht in dieser Liste nur ein schmaler Streifen ist, war die eigentliche Sprengkraft von Maxwells Ergebnis. Das Auge sieht eine knappe Oktave -- die Frequenz von Rot bis Violett verdoppelt sich gerade eben -- während das Spektrum darüber und darunter über zwanzig Größenordnungen weitergeht.

Warum überhaupt etwas strahlt

Ein Gleichstrom in einem Draht erzeugt ein Magnetfeld -- aber er strahlt nicht. Ein Kondensator mit konstanter Spannung hat ein elektrisches Feld -- und strahlt auch nicht. Woher kommt der Unterschied?

Die Antwort ist ein einziger Satz: Strahlung entsteht durch beschleunigte Ladung. Eine ruhende Ladung hat ein statisches Feld, eine gleichförmig bewegte ebenfalls (nur verzerrt). Erst wenn eine Ladung ihre Geschwindigkeit ändert, bekommt das Feld einen Knick, der sich nicht mehr einholen lässt -- und dieser Knick läuft mit Lichtgeschwindigkeit nach außen davon. Genau das ist die Welle.

In einer Antenne schwingen die Ladungen hin und her, kehren also ständig ihre Bewegungsrichtung um. In einer Schaltung passiert dasselbe bei jeder Flanke: Der Strom ändert sich, die Ladungsträger werden beschleunigt, und ein Teil der Energie geht auf die Reise.

Nahfeld und Fernfeld

Um einen Sender herum gibt es zwei Zonen, und sie verhalten sich grundverschieden.

Im Nahfeld -- grob innerhalb von \(\lambda/2\pi\) -- überwiegen Feldanteile, die mit \(1/r^2\) und \(1/r^3\) abfallen. Sie sind an die Quelle gebunden: Sie speichern Energie und geben sie im nächsten Halbzyklus wieder zurück, ähnlich wie die Energie in einem Kondensator hin- und herpendelt. Sie strahlen nichts ab.

Im Fernfeld bleibt nur der Anteil übrig, der mit \(1/r\) abfällt -- und dass ausgerechnet dieser überlebt, ist kein Zufall, sondern eine Notwendigkeit. Die Leistung verteilt sich auf eine Kugelfläche, die mit \(r^2\) wächst. Damit durch jede Kugelschale dieselbe Leistung tritt, muss die Leistungsdichte wie \(1/r^2\) fallen -- und weil sie proportional zu \(E^2\) ist, muss die Feldstärke wie \(1/r\) fallen. Nur der \(1/r\)-Anteil kommt beliebig weit; alles andere bleibt zu Hause.

Für die Praxis heißt das zweierlei. Bei 100 MHz liegt die Grenze bei etwa einem halben Meter -- was man mit einer Sonde direkt über der Leiterplatte misst, ist Nahfeld und sagt wenig über die Abstrahlung aus. Deshalb sind EMV-Grenzwerte immer für einen definierten Abstand angegeben, typisch 3 oder 10 Meter.

Warum steile Flanken strahlen

Damit sind wir bei dem Teil, der jeden trifft, der Leistungselektronik baut.

Ein Rechtecksignal ist keine einzelne Frequenz, sondern eine Summe vieler. Das ist der Punkt, an dem viele stolpern, deshalb kurz der Grund:

Eine reine Sinusschwingung hat genau eine Frequenz -- sie ist rund, sie hat keine Ecken. Ein Rechteck dagegen springt, und ein Sprung lässt sich aus runden Kurven nur nachbauen, wenn man sehr viele davon überlagert: die Grundfrequenz plus ein Vielfaches davon plus ein Vielfaches davon. Je schärfer die Ecke werden soll, desto höhere Vielfache braucht man. Diese Zerlegung eines beliebigen Signals in Sinusanteile heißt Fourier-Analyse, und sie ist der Grund, warum ein Signal Frequenzen enthält, die man nie erzeugen wollte.

Für die Praxis folgt daraus etwas Unbequemes: Entscheidend ist nicht die Taktfrequenz, sondern die Flankensteilheit -- denn die Ecke ist es, die die hohen Anteile braucht. Als Faustregel reicht das Spektrum bis etwa

Eine Flanke mit 1 ns Anstiegszeit erzeugt also nennenswerte Anteile bis rund 350 MHz -- völlig unabhängig davon, ob das Signal mit 1 kHz oder 1 MHz getaktet wird. Wer die Schaltzeiten eines modernen Gatetreibers auf 20 ns drückt, erzeugt Frequenzanteile bis in den zweistelligen Megahertzbereich, und bei 5 ns ist man mitten im Rundfunkband.

Und jede Leiterschleife, durch die dieser Strom läuft, ist eine Rahmenantenne. Für kleine Schleifen wächst die abgestrahlte Leistung mit der vierten Potenz der Frequenz und mit dem Quadrat der Schleifenfläche. Das erklärt die beiden einzigen wirksamen Gegenmittel und ihre Reihenfolge:

• Fläche verkleinern. Halbe Schleifenfläche heißt ein Viertel der abgestrahlten Leistung. Deshalb Hin- und Rückleiter dicht beieinander, deshalb durchgehende Massefläche, deshalb Stützkondensator direkt am Bauteil.
• Flanken entschärfen. Doppelte Anstiegszeit halbiert die obere Grenzfrequenz -- und weil die Abstrahlung mit \(f^4\) geht, ist das ein sehr wirksamer Hebel. Der Preis sind höhere Schaltverluste, und genau darin besteht die Auslegung eines Gatetreibers: der Kompromiss zwischen Wirkungsgrad und Störaussendung.

Es ist derselbe Zusammenhang wie in Teil 12, nur eine Ebene weiter gedacht: Dort erzeugte die Schleifeninduktivität eine Überspannung am Bauteil, hier strahlt dieselbe Schleife den Rest in den Raum ab.

Antennen in einem Absatz

Eine Antenne ist eine Leiterstruktur, die absichtlich das tut, was eine Leiterschleife versehentlich tut. Damit sie effizient arbeitet, muss ihre Länge zur Wellenlänge passen -- typisch \(\lambda/2\) oder \(\lambda/4\), weil sich dann eine stehende Welle mit Strombauch ausbildet. Mit \(\lambda = c/f\) ergibt das handliche Zahlen:

Frequenz	\(\lambda\)	\(\lambda/4\)
433 MHz (ISM)	69 cm	17 cm
868 MHz (LoRa)	35 cm	8,6 cm
2,45 GHz (WLAN, Mikrowelle)	12,2 cm	3,1 cm

Die 12,2 cm der letzten Zeile sind übrigens der Grund für den Drehteller im Mikrowellenherd: Im Garraum bilden sich stehende Wellen mit Knoten im Abstand von gut 6 cm, und dort bleibt das Essen kalt. Das Magnetron liefert die Welle, die Geometrie des Garraums verteilt sie ungleichmäßig, und der Teller gleicht das durch Bewegung aus.

Ende der Serie

Damit ist der Bogen geschlossen. Angefangen bei zwei Ladungen, die sich abstoßen, sind wir bei Wellen gelandet, die sich vom Erzeuger lösen und ohne ihn weiterlaufen. Dazwischen lag alles, was Elektrotechnik ausmacht: Felder, Potentiale, Ströme, Kräfte, Induktion.

Was in dieser Serie bewusst offen blieb: Materie im Magnetfeld (Teil 10) und die ausführlichen Rechnungen in den Herleitungen. Und die eine Frage, die am Ende von Teil 8 aufkam -- warum Magnetismus eigentlich nur die Relativitätstheorie des elektrischen Feldes ist -- verdient irgendwann einen eigenen Artikel.

Weiterführendes

• Maxwell-Gleichungen -- Teil 14, woraus die Welle folgt
• Herleitung: Wellengleichung -- die Rechnung in vier Schritten
• Herleitung: Poynting-Satz -- Energiebilanz des Feldes, mit der Probe am Widerstand
• Herleitung: Wellenwiderstand und Reflexion -- 377 Ω, Leitungsimpedanz, Terminierung
• Selbstinduktion und Feldenergie -- Teil 12, dieselbe Schleife eine Ebene tiefer
• Lorentzkraft -- Teil 8, mit dem Magnetron als 2,45-GHz-Quelle
• Elektrodynamik-Serie -- alle fünfzehn Teile im Überblick

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