Herleitung: Der Poynting-Satz

Ergebnis (verwendet in Teil 15: Elektromagnetische Wellen):

\[\frac{\partial w}{\partial t} + \nabla \cdot \vec S = -\vec J \cdot \vec E \qquad\text{mit}\qquad \vec S = \frac{1}{\mu_0}\,\vec E \times \vec B\]

Voraussetzungen

Schritt 1: Die passende Vektoridentität

Ausgangspunkt ist eine reine Rechenregel der Vektoranalysis (siehe Mathe-Anhang):

\[\nabla \cdot (\vec E \times \vec B) = \vec B \cdot (\nabla \times \vec E) - \vec E \cdot (\nabla \times \vec B)\]

Bemerkenswert ist, dass rechts genau die beiden Rotationen stehen, für die Maxwell Ausdrücke liefert. Die Identität ist also der Schlüssel, der in genau dieses Schloss passt.

Schritt 2: Maxwell einsetzen

\[\nabla \times \vec E = -\frac{\partial \vec B}{\partial t} \qquad\qquad \nabla \times \vec B = \mu_0 \vec J + \mu_0\varepsilon_0\,\frac{\partial \vec E}{\partial t}\]

Eingesetzt:

\[\nabla \cdot (\vec E \times \vec B) = -\vec B \cdot \frac{\partial \vec B}{\partial t} - \mu_0\,\vec E \cdot \vec J - \mu_0\varepsilon_0\,\vec E \cdot \frac{\partial \vec E}{\partial t}\]

Schritt 3: Die Zeitableitungen zusammenfassen

Für jedes Vektorfeld gilt \(\vec A \cdot \partial \vec A/\partial t = \tfrac12\,\partial(A^2)/\partial t\) -- die Produktregel, rückwärts gelesen. Damit werden aus den beiden äußeren Termen Ableitungen von Quadraten:

\[\nabla \cdot (\vec E \times \vec B) = -\frac{1}{2}\frac{\partial B^2}{\partial t} - \mu_0\varepsilon_0\,\frac{1}{2}\frac{\partial E^2}{\partial t} - \mu_0\,\vec E \cdot \vec J\]

Division durch \(\mu_0\) und Sortieren:

\[\nabla \cdot \underbrace{\left(\frac{1}{\mu_0}\vec E \times \vec B\right)}_{\vec S} = -\frac{\partial}{\partial t} \underbrace{\left(\frac{\varepsilon_0 E^2}{2} + \frac{B^2}{2\mu_0}\right)}_{w} - \vec J \cdot \vec E\]

Damit steht das Ergebnis da:

\[\frac{\partial w}{\partial t} + \nabla \cdot \vec S = -\vec J \cdot \vec E\]

Was die drei Terme bedeuten

Die Gleichung ist eine Bilanz für ein beliebiges Raumvolumen, und jeder Term hat eine klare Bedeutung:

Term Bedeutung
\(\dfrac{\partial w}{\partial t}\) Wie schnell sich die im Feld gespeicherte Energie ändert. Die beiden Summanden in \(w\) kennen wir bereits einzeln: \(\tfrac12\varepsilon_0E^2\) vom Kondensator, \(B^2/2\mu_0\) von der Spule.
\(\nabla \cdot \vec S\) Wie viel Energie netto aus dem Volumen herausfließt -- die Divergenz misst genau das.
\(-\vec J \cdot \vec E\) Was an die Ladungsträger abgegeben wird. Bei einem ohmschen Leiter ist das die Joulesche Wärme, denn mit \(\vec J = \sigma\vec E\) wird daraus \(\sigma E^2\).

Zusammen gelesen: Die Feldenergie in einem Volumen nimmt genau so weit ab, wie Energie herausfließt oder in Wärme übergeht. Das ist die Energieerhaltung, nur für Felder statt für Körper -- und sie war in den Maxwell-Gleichungen von Anfang an enthalten, ohne dass jemand sie hineingesteckt hätte.

Die Probe am Widerstand

Der schönste Test ist ein simpler stromdurchflossener Draht, weil er das Ergebnis auf den ersten Blick unglaubwürdig aussehen lässt.

Ein zylindrischer Leiter mit Radius \(r\), Länge \(l\), Strom \(I\) und Spannungsabfall \(U\). An seiner Oberfläche gilt:

\(\vec E\) zeigt längs, \(\vec B\) ringförmig herum -- ihr Kreuzprodukt zeigt also radial nach innen. Der Betrag:

\[S = \frac{1}{\mu_0}\,E\,B = \frac{1}{\mu_0}\cdot\frac{U}{l}\cdot\frac{\mu_0 I}{2\pi r} = \frac{U I}{2\pi r\, l}\]

Multipliziert mit der Mantelfläche \(A = 2\pi r l\):

\[P = S \cdot A = \frac{U I}{2\pi r l}\cdot 2\pi r l = U\,I\]

Genau die Verlustleistung des Widerstands -- und sie tritt vollständig durch die Mantelfläche ein, nicht durch die Anschlussdrähte. Die Energie kommt aus dem Feldraum um den Leiter und fließt von außen in ihn hinein. Der Strom im Kupfer transportiert sie nicht; er sorgt nur dafür, dass die Felder so stehen, dass sie hineinzeigen.

Weiterführendes

Erstellt: 21.08.2026