Herleitung: Wellengleichung aus den Maxwell-Gleichungen

Ergebnis (verwendet in Teil 15: Elektromagnetische Wellen):

\[\nabla^2 \vec E = \mu_0\varepsilon_0\,\frac{\partial^2 \vec E}{\partial t^2} \qquad\text{mit}\qquad c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}}\]

Voraussetzungen

Wir rechnen im leeren Raum: keine Ladungen (\(\rho = 0\)), keine Ströme (\(\vec J = 0\)). Von den vier Maxwell-Gleichungen bleibt damit:

\[\nabla \cdot \vec E = 0 \qquad\qquad \nabla \cdot \vec B = 0$$ $$\nabla \times \vec E = -\frac{\partial \vec B}{\partial t} \qquad\qquad \nabla \times \vec B = \mu_0\varepsilon_0\,\frac{\partial \vec E}{\partial t}\]

Die beiden unteren sind die interessanten: Jedes Feld erzeugt beim Ändern das andere. Genau diese Verschränkung lösen wir jetzt auf.

Schritt 1: Rotation auf das Induktionsgesetz anwenden

Wir bilden auf beiden Seiten von \(\nabla \times \vec E = -\partial \vec B/\partial t\) noch einmal die Rotation:

\[\nabla \times (\nabla \times \vec E) = -\frac{\partial}{\partial t}\left(\nabla \times \vec B\right)\]

Räumliche Ableitung und Zeitableitung dürfen vertauscht werden, deshalb steht die Rotation rechts jetzt innerhalb der Zeitableitung.

Schritt 2: Die rechte Seite einsetzen

Für \(\nabla \times \vec B\) haben wir bereits einen Ausdruck -- die vierte Maxwell-Gleichung:

\[\nabla \times (\nabla \times \vec E) = -\frac{\partial}{\partial t}\left(\mu_0\varepsilon_0\,\frac{\partial \vec E}{\partial t}\right) = -\mu_0\varepsilon_0\,\frac{\partial^2 \vec E}{\partial t^2}\]

Das Magnetfeld ist damit verschwunden. Übrig bleibt eine Gleichung, in der nur noch \(\vec E\) vorkommt -- der eigentliche Trick der ganzen Rechnung.

Schritt 3: Die linke Seite vereinfachen

Für den doppelten Rotationsoperator gibt es eine Identität der Vektoranalysis (siehe Mathe-Anhang):

\[\nabla \times (\nabla \times \vec E) = \nabla\left(\nabla \cdot \vec E\right) - \nabla^2 \vec E\]

Im leeren Raum ist \(\nabla \cdot \vec E = 0\), der erste Term fällt also weg:

\[\nabla \times (\nabla \times \vec E) = -\nabla^2 \vec E\]

Schritt 4: Zusammensetzen

Beide Seiten gleichgesetzt, das Minuszeichen kürzt sich:

\[\nabla^2 \vec E = \mu_0\varepsilon_0\,\frac{\partial^2 \vec E}{\partial t^2}\]

Dieselbe Rechnung mit vertauschten Rollen -- Rotation auf die vierte Gleichung, Einsetzen der dritten -- liefert die identische Gleichung für \(\vec B\). Beide Felder gehorchen derselben Wellengleichung.

Schritt 5: Die Geschwindigkeit ablesen

Die allgemeine Wellengleichung für eine Störung \(u\), die sich mit der Geschwindigkeit \(v\) ausbreitet, lautet:

\[\nabla^2 u = \frac{1}{v^2}\,\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}\]

Der Vergleich der Vorfaktoren ist damit reine Ablesearbeit:

\[\frac{1}{v^2} = \mu_0\varepsilon_0 \qquad\Rightarrow\qquad v = \frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}}\]

Mit \(\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7}\) Vs/Am und \(\varepsilon_0 = 8{,}854 \cdot 10^{-12}\) As/Vm:

\[c = \frac{1}{\sqrt{4\pi \cdot 10^{-7} \cdot 8{,}854 \cdot 10^{-12}}} \approx 2{,}998 \cdot 10^{8}\;\frac{\text{m}}{\text{s}}\]

Auch die Einheiten gehen auf: \(\sqrt{\text{Vs/Am} \cdot \text{As/Vm}} = \sqrt{\text{s}^2/\text{m}^2} = \text{s/m}\), der Kehrwert ist also m/s.

In Materie

Steckt statt Vakuum ein Medium dazwischen, treten \(\varepsilon_r\) und \(\mu_r\) hinzu:

\[v = \frac{1}{\sqrt{\mu_0\mu_r\,\varepsilon_0\varepsilon_r}} = \frac{c}{\sqrt{\mu_r\varepsilon_r}} = \frac{c}{n}\]

Damit ist der Brechungsindex \(n = \sqrt{\mu_r\varepsilon_r}\) keine eigenständige optische Größe mehr, sondern folgt aus den elektrischen und magnetischen Materialkonstanten. Für die meisten durchsichtigen Stoffe ist \(\mu_r \approx 1\), sodass \(n \approx \sqrt{\varepsilon_r}\) übrig bleibt.

Dieselbe Rechnung erklärt nebenbei die Signallaufzeit auf einer Leiterplatte: Bei FR4 mit \(\varepsilon_r \approx 4{,}3\) läuft ein Signal nur noch mit etwa der halben Lichtgeschwindigkeit, also rund 15 cm pro Nanosekunde.

Weiterführendes

Erstellt: 17.08.2026