Herleitung: Induktivität der langen Spule
Ergebnis (verwendet in Teil 12: Selbstinduktion und Feldenergie):
Voraussetzungen
- Zylinderspule mit \(N\) Windungen, Länge \(l\), Querschnitt \(A\), gleichmäßig gewickelt
- Lange Spule: \(l \gg \sqrt{A}\). Nur dann ist das Feld im Innern homogen und außen vernachlässigbar -- dieselbe Art Näherung wie beim Plattenkondensator.
- Der Kern füllt den Querschnitt aus und ist nicht gesättigt (\(\mu_r\) konstant).
Schritt 1: Das Feld im Innern
Das Durchflutungsgesetz aus Teil 9 lautet:
Als Weg wählen wir ein Rechteck, dessen eine Längsseite (Länge \(l\)) im Innern der Spule liegt und dessen gegenüberliegende Seite weit außen verläuft.
Von den vier Seiten trägt nur eine bei: Außen ist \(\vec B \approx 0\), und auf den beiden Querstücken steht \(\vec B\) senkrecht zum Weg. Der Weg umfasst dabei alle \(N\) Windungen, also den Strom \(N I\):
Schritt 2: Der verkettete Fluss
Durch eine Windung geht der Fluss \(\Phi = B\,A\). Weil alle \(N\) Windungen von demselben Fluss durchsetzt werden, ist der verkettete Fluss:
Hier entsteht das Quadrat, und man sieht genau, aus welchen zwei Schritten es kommt: Ein \(N\) stammt aus Schritt 1, weil \(N\) Windungen gemeinsam das Feld erzeugen. Das zweite \(N\) stammt aus Schritt 2, weil dieses Feld anschließend \(N\) Windungen durchsetzt. Verdoppelt man die Windungszahl, wird das Feld doppelt so stark und koppelt in doppelt so viele Windungen -- vierfache Induktivität.
Schritt 3: Die Induktivität
Die Induktivität ist definiert als \(\Psi = L\,I\), also:
Wie beim Kondensator kürzt sich die Erregung -- dort die Ladung, hier der Strom -- vollständig heraus. Auch die Induktivität ist reine Geometrie, plus die Materialeigenschaft \(\mu_r\).
Probe über die Energie
Ein guter Test, ob die Formel stimmt: Die Energie muss auf zwei Wegen dasselbe ergeben.
Über das Bauteil, mit \(L\) von oben:
Über die Energiedichte des Feldes, \(w = B^2/(2\mu_0\mu_r)\), multipliziert mit dem Spulenvolumen \(A\,l\):
Beide Wege liefern denselben Ausdruck. Das bestätigt nicht nur die Formel, sondern auch die Aussage aus Teil 12: Die Energie steckt im Feld im Spuleninnern, und \(\tfrac12 LI^2\) ist nur die bequeme Buchführung darüber.
Grenzen der Formel
Reale Spulen weichen ab, und zwar systematisch nach unten:
- Kurze Spulen verlieren Fluss an den Enden. Für \(l \approx \sqrt{A}\) liegt die tatsächliche Induktivität schnell 20--30 % unter dem Rechenwert.
- Sättigung: Oberhalb der Sättigungsflussdichte des Kerns bricht \(\mu_r\) ein, und mit ihm \(L\) -- der Grund, warum Speicherdrosseln einen Luftspalt bekommen.
- Hohe Frequenzen: Wicklungskapazität und Skin-Effekt verändern das Verhalten so weit, dass eine Spule oberhalb ihrer Eigenresonanz kapazitiv wirkt.
Weiterführendes
- Selbstinduktion und Feldenergie -- Teil 12, wo das Ergebnis gebraucht wird
- Biot-Savart und Ampère -- Teil 9, das Werkzeug aus Schritt 1
- Herleitung: Plattenkondensator -- dieselbe Rechnung auf der elektrischen Seite