Herleitung: Skin-Effekt und Eindringtiefe

Ergebnis (verwendet in Teil 13: Transformator):

\[\delta = \sqrt{\frac{2}{\omega\,\mu\,\sigma}} = \sqrt{\frac{\rho}{\pi f \mu}}\]

Voraussetzungen

Schritt 1: Von Maxwell zur Diffusionsgleichung

Im Leiter gilt das ohmsche Gesetz in Feldform, \(\vec J = \sigma \vec E\). Die vierte Maxwell-Gleichung lautet damit -- ohne den vernachlässigbaren Verschiebungsstrom:

\[\nabla \times \vec B = \mu\,\sigma\,\vec E\]

Nun dieselbe Technik wie bei der Wellengleichung: Rotation auf das Induktionsgesetz anwenden, die obige Beziehung einsetzen, und mit \(\nabla \cdot \vec E = 0\) vereinfachen. Es bleibt:

\[\nabla^2 \vec E = \mu\,\sigma\,\frac{\partial \vec E}{\partial t}\]

Der Unterschied zur Wellengleichung ist bemerkenswert: Dort stand die zweite Zeitableitung, hier steht die erste. Das ist keine Wellengleichung mehr, sondern eine Diffusionsgleichung -- mathematisch dieselbe Form wie die Wärmeleitung. Ein Feld breitet sich in einem Leiter nicht wellenartig aus, es sickert hinein und klingt dabei ab.

Schritt 2: Ansatz für harmonische Anregung

Für eine Anregung mit der Kreisfrequenz \(\omega\) machen wir den üblichen Ansatz einer in \(x\)-Richtung eindringenden Welle:

\[\vec E(x,t) = \vec E_0\,e^{\,\mathrm{i}(kx - \omega t)}\]

Eingesetzt liefert die linke Seite \(-k^2\), die rechte \(-\mathrm{i}\omega\mu\sigma\):

\[-k^2 \vec E = -\mathrm{i}\,\omega\mu\sigma\,\vec E \qquad\Rightarrow\qquad k^2 = \mathrm{i}\,\omega\mu\sigma\]

Schritt 3: Die Wurzel aus i

Hier entsteht der ganze Effekt. Die Wurzel aus \(\mathrm{i}\) ist nicht reell:

\[\sqrt{\mathrm{i}} = \frac{1+\mathrm{i}}{\sqrt{2}}\]

Damit wird die Wellenzahl komplex:

\[k = \frac{1+\mathrm{i}}{\sqrt{2}}\,\sqrt{\omega\mu\sigma} = \frac{1+\mathrm{i}}{\delta} \qquad\text{mit}\qquad \delta = \sqrt{\frac{2}{\omega\mu\sigma}}\]

Setzt man das in den Ansatz ein, spaltet sich der Exponent in zwei Teile:

\[\vec E(x,t) = \vec E_0\,\underbrace{e^{-x/\delta}}_{\text{Dämpfung}}\;\underbrace{e^{\,\mathrm{i}(x/\delta - \omega t)}}_{\text{Schwingung}}\]

Der Realteil von \(k\) beschreibt die Ausbreitung, der Imaginärteil die Dämpfung. Das Feld -- und mit ihm die Stromdichte -- fällt exponentiell nach innen ab.

Schritt 4: Was δ bedeutet

Nach der Strecke \(\delta\) ist die Amplitude auf \(1/e \approx 37\,\%\) gefallen, nach \(3\delta\) auf 5 %. Mit \(\omega = 2\pi f\) und \(\rho = 1/\sigma\) lässt sich die Formel praktischer schreiben:

\[\delta = \sqrt{\frac{\rho}{\pi f \mu}}\]

Entscheidend ist die Wurzel: Die Eindringtiefe sinkt nur mit \(1/\sqrt{f}\). Hundertfache Frequenz bedeutet ein Zehntel Eindringtiefe.

Für Kupfer (\(\rho = 1{,}68 \cdot 10^{-8}\,\Omega\text{m}\), \(\mu \approx \mu_0\)):

Frequenz \(\delta\)
50 Hz 9,3 mm
1 kHz 2,1 mm
100 kHz 0,21 mm
1 MHz 66 µm
100 MHz 6,6 µm

Was daraus folgt

Dicke Drähte helfen bei hohen Frequenzen nicht. Ab einem Durchmesser von etwa \(2\delta\) trägt zusätzliches Kupfer im Kern nichts mehr bei -- dort fließt schlicht kein Strom. Bei 1 MHz ist ein Draht von 1 mm Durchmesser bereits vollständig „ausgehöhlt".

Daraus ergeben sich die üblichen Gegenmaßnahmen:

Nebenbei erklärt derselbe Effekt, warum ein Faradaykäfig aus dünnem Blech funktioniert, obwohl er nur Bruchteile eines Millimeters dick ist: Bei Rundfunkfrequenzen liegt die Eindringtiefe im Mikrometerbereich.

Weiterführendes

Erstellt: 17.08.2026