Transformator: Spannungsübersetzung
Teil 13 der Elektrodynamik-Serie, Kapitel IV: Induktion. Aus zwei gekoppelten Induktivitäten wird das Bauteil, das die Stromversorgung der Welt trägt.
In Teil 12 erzeugte eine Spule ihren eigenen Fluss und induzierte damit eine Spannung in sich selbst. Legt man eine zweite Wicklung auf denselben Kern, durchsetzt derselbe Fluss auch sie -- und eine Stromänderung in der einen induziert eine Spannung in der anderen. Das ist die Gegeninduktion, und das Bauteil dazu ist der Transformator.
Er kann drei Dinge, die zusammen kaum zu ersetzen sind: Spannungen übersetzen, Impedanzen anpassen und Stromkreise galvanisch trennen. Alle drei folgen aus einer einzigen Tatsache -- beide Wicklungen sehen denselben Fluss.
Der ideale Transformator
Sind beide Wicklungen vom selben Fluss \(\Phi\) durchsetzt, gilt nach dem Induktionsgesetz für jede \(u = N\,\mathrm{d}\Phi/\mathrm{d}t\). Das \(\mathrm{d}\Phi/\mathrm{d}t\) ist dasselbe, also kürzt es sich heraus:
Das Spannungsverhältnis ist das Windungsverhältnis. Mehr steckt in der Übersetzung nicht drin.
Weil ein idealer Trafo keine Verluste hat, bleibt die Leistung erhalten, \(U_1 I_1 = U_2 I_2\), und daraus folgt sofort das Gegenstück:
Was man an Spannung gewinnt, verliert man an Strom. Ein Trafo ist kein Verstärker, sondern ein Getriebe -- und wie beim mechanischen Getriebe tauscht man Kraft gegen Weg, hier Spannung gegen Strom.
Impedanzen sehen anders aus
Setzt man beides zusammen, ergibt sich eine Eigenschaft, die weit über die Stromversorgung hinausreicht. Ein Widerstand \(Z_2\) auf der Sekundärseite erscheint der Primärseite als
Das Windungsverhältnis geht quadratisch ein. Deshalb sitzt in Röhrenverstärkern ein Ausgangsübertrager, der aus 8 Ω Lautsprecher mehrere Kiloohm für die Röhre macht, und deshalb passt man in der Hochfrequenztechnik Antennen mit Übertragern an. Ein Trafo ist immer auch ein Impedanzwandler.
Warum es ihn nur mit Wechselstrom gibt
Die ganze Übersetzung hängt an \(\mathrm{d}\Phi/\mathrm{d}t\). Bei Gleichstrom ist der Fluss konstant, die Ableitung null, und auf der Sekundärseite passiert nichts.
Schlimmer noch: Die Primärwicklung ist dann nur noch ihr eigener Kupferwiderstand, meist wenige Ohm. Ein Netztrafo an Gleichspannung ist also im Wesentlichen ein Kurzschluss mit Isolierlack drumherum und verabschiedet sich entsprechend zügig.
Das ist keine Randnotiz, sondern der Grund, warum die Stromnetze der Welt Wechselstrom führen: Ohne Trafo keine verlustarme Übertragung bei Hochspannung -- und ohne Wechselstrom kein Trafo.
Die Hauptgleichung: warum die Frequenz die Baugröße bestimmt
Jetzt die Beziehung, die in der Praxis am meisten erklärt. Für sinusförmige Spannung folgt aus dem Induktionsgesetz:
mit Frequenz \(f\), Spitzenflussdichte \(\hat{B}\) und Kernquerschnitt \(A\). Der Faktor 4,44 ist \(2\pi/\sqrt{2}\) und steckt nur die Sinusform hinein.
Man muss sie richtig herum lesen: Die Spannung ist vorgegeben, das Kernmaterial begrenzt \(\hat{B}\) -- also ist das Produkt \(N \cdot f \cdot A\) festgelegt. Wer die Frequenz erhöht, darf Windungszahl oder Kernquerschnitt im selben Maß verkleinern.
| Netztrafo | Schaltnetzteil | |
|---|---|---|
| Frequenz | 50 Hz | 100 kHz |
| Kern | Eisenblech, geschichtet | Ferrit |
| Baugröße für 100 W | ~1 kg | wenige Gramm |
Der Faktor 2000 in der Frequenz ist der Faktor, um den der Kern schrumpfen darf. Das ist der eigentliche Grund, warum ein Steckernetzteil heute in den Stecker passt und früher ein Ziegel war -- nicht bessere Materialien, sondern der Sprung von 50 Hz auf über 100 kHz. Alles, was ein Schaltnetzteil sonst noch treibt, ist der Aufwand, den man betreibt, um genau diesen Sprung machen zu können.
Die Gleichung sagt auch, was passiert, wenn man es übertreibt. Bleibt \(\hat{B}\) nicht unter der Sättigungsflussdichte des Kerns, bricht die Induktivität ein und der Magnetisierungsstrom explodiert. Ein Trafo, den man bei zu niedriger Frequenz oder zu hoher Spannung betreibt, geht deshalb nicht langsam kaputt, sondern schlagartig -- mehr dazu in Teil 10.
Der reale Transformator
Der ideale Trafo hat vier Eigenschaften, die kein echter besitzt. Jede davon wird im Ersatzschaltbild zu einem Bauelement -- und jede erklärt ein Verhalten, über das man sonst stolpert.
Der Magnetisierungsstrom. Die Primärwicklung bleibt eine Induktivität. Auch ohne Last fließt der Strom, der den Fluss überhaupt erst aufbaut. Er ist um 90° phasenverschoben, trägt also keine Wirkleistung -- heizt aber die Wicklung. Das ist der Grund, warum ein Netztrafo im Leerlauf warm wird und trotzdem „nichts verbraucht".
Die Streuinduktivität. Nicht jede Feldlinie erwischt beide Wicklungen; ein Teil des Flusses schließt sich an der zweiten vorbei. Dieser Anteil koppelt nicht und wirkt wie eine Induktivität in Reihe zur Wicklung. Folge: Unter Last bricht die Sekundärspannung stärker ein, als das Windungsverhältnis vorgibt. Beim Sperrwandler ist die Streuinduktivität sogar das Hauptärgernis -- die in ihr gespeicherte Energie findet beim Abschalten keinen Weg auf die Sekundärseite und muss in einem Snubber vernichtet werden.
Kupferverluste. Der ohmsche Widerstand beider Wicklungen, \(I^2R\). Bei hohen Frequenzen kommt der Skin-Effekt dazu: Der Strom verdrängt sich an die Leiteroberfläche, der wirksame Querschnitt schrumpft. Deshalb wickelt man HF-Übertrager mit Litze aus vielen dünnen, einzeln isolierten Drähten statt mit einem dicken Draht.
Kernverluste. Sie haben zwei Ursachen, und beide wachsen mit der Frequenz. Hystereseverluste, weil jedes Ummagnetisieren Energie kostet. Und Wirbelstromverluste, weil der Kern selbst ein Leiter im wechselnden Feld ist -- in ihm wird nach Teil 11 Spannung induziert, und die treibt Ringströme. Genau dagegen ist der Kern geblecht: Dünne, gegeneinander isolierte Lagen unterbrechen die Strombahnen quer zum Fluss. Bei 100 kHz reicht auch das nicht mehr, dort nimmt man Ferrit -- eine Keramik, die magnetisch weich, elektrisch aber praktisch nichtleitend ist.
Dazu kommt die Wicklungskapazität zwischen Primär- und Sekundärseite. Bei 50 Hz ist sie belanglos; bei 100 kHz ist sie der Weg, über den Störungen die galvanische Trennung umgehen. Gut gebaute Übertrager haben deshalb einen Schirm zwischen den Wicklungen.
Galvanische Trennung
Die dritte Fähigkeit wird in der Elektronik oft wichtiger als die Übersetzung: Primär- und Sekundärkreis haben keine leitende Verbindung. Die Energie geht ausschließlich über das Magnetfeld.
Das ist zuerst eine Sicherheitsfunktion -- Netztrennung, Schutzkleinspannung. In der Leistungselektronik ist es darüber hinaus ein Konstruktionsprinzip: Der High-Side-Schalter einer Brücke liegt mit seiner Source auf einem Potential, das bei jedem Schaltvorgang um die volle Zwischenkreisspannung springt. Seine Gate-Ansteuerung muss dieses Potential mitmachen, braucht also eine eigene, mitschwimmende Versorgung -- und die liefert ein kleiner Übertrager.
Die Kenngröße dafür steht in jedem Gatetreiber-Datenblatt: die CMTI (Common Mode Transient Immunity, in kV/µs). Sie sagt, wie schnell das Bezugspotential springen darf, ohne dass die Übertragung kippt. Die physikalische Ursache dieser Grenze ist genau die Wicklungskapazität von oben: Springt das Potential mit \(\mathrm{d}u/\mathrm{d}t\), treibt sie einen Störstrom \(i = C\,\mathrm{d}u/\mathrm{d}t\) auf die andere Seite. Wer die Trennung gut haben will, muss diese Kapazität klein bekommen -- durch Schirmung, große Abstände oder ganz andere Bauformen wie Koppler mit integriertem Übertrager im Chip.
Ausblick
Damit ist Kapitel IV abgeschlossen: Induktion, Selbstinduktion, Gegeninduktion. Bis hierher galt aber eine stillschweigende Annahme -- dass Strom in einem geschlossenen Kreis fließt. Beim Kondensator stimmt das nicht: Zwischen den Platten fließt nichts, und trotzdem funktioniert die Schaltung. Diese Lücke zu schließen war Maxwells entscheidender Beitrag, und aus dem Reparaturterm wurde die Vorhersage elektromagnetischer Wellen. Weiter mit Teil 14.
Weiterführendes
- Selbstinduktion und Feldenergie -- Teil 12, die einzelne Wicklung
- Induktion: Faraday und Lenz -- Teil 11, das zugrunde liegende Gesetz
- Materie im Magnetfeld -- Teil 10, Kernmaterialien, Hysterese und Sättigung
- H-Brücke im Detail -- wo die isolierte High-Side-Versorgung gebraucht wird