Selbstinduktion und Feldenergie
Teil 12 der Elektrodynamik-Serie, Kapitel IV: Induktion. In Teil 11 kam die Flussänderung von außen. Jetzt macht ein Leiter sie sich selbst.
Ein stromdurchflossener Leiter erzeugt ein Magnetfeld -- das war Teil 9. Ein sich ändernder Fluss induziert eine Spannung -- das war Teil 11. Beides zusammengenommen ergibt etwas, das man leicht übersieht: Ändert sich der Strom in einem Leiter, ändert sich sein eigener Fluss, und er induziert eine Spannung in sich selbst. Nach Lenz wirkt sie der Änderung entgegen.
Das ist die Selbstinduktion. Sie ist der Grund dafür, dass ein Relais beim Abschalten funkt, dass es Freilaufdioden gibt und dass Datenblätter von Gatetreibern so viel über Leiterschleifen schreiben.
Die Induktivität
Der eigene Fluss ist dem Strom proportional -- die Proportionalitätskonstante nennen wir Induktivität \(L\):
Eingesetzt ins Induktionsgesetz aus Teil 11 liefert das die Gleichung, um die sich alles dreht:
Sie ist das exakte Gegenstück zur Kondensatorgleichung \(i = C\,\mathrm{d}u/\mathrm{d}t\). Und sie sagt etwas Kompromissloses: Um den Strom durch eine Induktivität zu ändern, braucht es Spannung -- um ihn sprunghaft zu ändern, unendlich viel. Der Strom durch eine Spule kann deshalb nicht springen. Er ist eine stetige Größe, genau wie die Spannung an einem Kondensator.
Die Einheit ist das Henry (H = Vs/A). Ein Henry ist viel: Eine Spule mit 1 H, durch die der Strom mit 1 A/s ansteigt, hält mit einem Volt dagegen.
Joseph Henry (1797--1878) entdeckte die Selbstinduktion unabhängig von Faraday -- und die Induktion selbst sogar früher, veröffentlichte sie aber später. Er ließ nichts patentieren, weil er wissenschaftliche Erkenntnisse für Allgemeingut hielt, baute die ersten mehrlagig gewickelten Elektromagnete und erfand das Relais. Mehr zu Henry →
Was die Induktivität groß macht
Für eine lange Zylinderspule gilt:
mit Windungszahl \(N\), Querschnitt \(A\) und Länge \(l\). Zwei Dinge daran sind wichtig.
Die Windungszahl geht quadratisch ein. Doppelt so viele Windungen ergeben die vierfache Induktivität -- einmal, weil jede Windung mehr Fluss erzeugt, und ein zweites Mal, weil dieser Fluss mehr Windungen durchsetzt.
Der Faktor \(\mu_r\) entscheidet über die Baugröße. Luft hat \(\mu_r \approx 1\), ein Ferritkern je nach Material 1.000 bis 10.000. Derselbe Wickelkörper wird mit Kern also um Größenordnungen induktiver -- der Grund, warum überhaupt jemand Eisen in Spulen steckt. Was der Kern genau tut und warum er irgendwann sättigt, ist Thema von Teil 10.
Ein Gefühl für die Größenordnungen -- besonders die erste Zeile überrascht viele:
| Bauteil | \(L\) |
|---|---|
| Leiterbahn, 1 mm | ~1 nH |
| Bonddraht im Gehäuse | 1--10 nH |
| Anschlussbein eines TO-220 | ~5 nH |
| Luftspule, 10 Windungen | ~1 µH |
| Speicherdrossel im Schaltregler | 1--100 µH |
| Motorwicklung | 0,1--10 mH |
| Netzdrossel, Trafo-Primärseite | 0,1--10 H |
Ein Nanohenry pro Millimeter Leiterbahn klingt nach nichts -- bis man es mit den Stromänderungen moderner Leistungshalbleiter multipliziert. Dazu am Ende mehr.
Einschalten: die Zeitkonstante
Legt man an eine Reihenschaltung aus \(R\) und \(L\) eine Spannung, kann der Strom nicht springen. Er steigt exponentiell:
Nach einer Zeitkonstante sind 63 % des Endwerts erreicht, nach fünf praktisch alles. Bemerkenswert ist, dass \(\tau\) größer wird, wenn der Widerstand kleiner ist -- eine ideale Spule ohne Verluste würde ihren Endstrom nie erreichen.
Bei einem Motor mit 10 mH und 1 Ω sind es 10 ms. Das ist lang genug, dass ein PWM-Signal mit 20 kHz dem Strom gar keine Chance gibt, den einzelnen Pulsen zu folgen -- er stellt sich auf den Mittelwert ein. Genau darauf beruht die PWM-Ansteuerung: Die Induktivität glättet, und der Strom wird zum gleitenden Mittel des Tastverhältnisses. Ohne sie wäre PWM kein Stellverfahren, sondern nur schnelles Ein- und Ausschalten.
Ausschalten: der gefährliche Fall
Beim Einschalten begrenzt die Quelle die Spannung. Beim Ausschalten begrenzt nichts mehr.
Unterbricht ein Schalter den Strom, erzwingt er ein sehr großes \(-\mathrm{d}i/\mathrm{d}t\), und die Spule antwortet mit \(u = L\,\mathrm{d}i/\mathrm{d}t\) in beliebiger Höhe. Ein Zahlenbeispiel: 1 A durch 10 mH, unterbrochen in 1 µs, ergibt
So weit kommt es in der Praxis nicht, weil vorher etwas nachgibt: Die Luft im öffnenden Kontakt wird leitend -- der Funke am Relais -- oder der Transistor geht in den Avalanche-Durchbruch. Beides kostet Lebensdauer.
Der Funke am Schalter ist nicht der Strom, der „herauswill". Er ist die Spule, die sich weigert, ihren Strom loszulassen.
Dabei ist die Spule keine Energiequelle aus dem Nichts. Sie gibt nur zurück, was vorher hineingesteckt wurde.
Wo die Energie steckt
Um den Strom aufzubauen, muss gegen die induzierte Spannung Arbeit verrichtet werden. Integriert man \(p = u\,i = L\,i\,\mathrm{d}i/\mathrm{d}t\) über die Zeit, bleibt:
Wieder die Parallele zum Kondensator (\(\tfrac12 CU^2\)) -- und wieder dieselbe Pointe wie in Teil 5: Die Energie steckt nicht „im Strom", sondern im Feld. Als Dichte geschrieben:
Der Raum um die Wicklung ist der Speicher. Deshalb kann eine Speicherdrossel überhaupt Energie zwischenlagern, und deshalb braucht sie dafür Volumen -- Energie pro Kubikmeter ist eine harte physikalische Grenze, an der jede Miniaturisierung irgendwann endet.
Daraus folgt die Regel, an der sich jede Leistungsschaltung entscheidet: Beim Abschalten muss diese Energie irgendwohin. Entweder man gibt ihr einen Weg -- oder sie sucht sich einen.
Der Freilaufpfad
Die Lösung ist, dem Strom einen Kreis anzubieten, in dem er weiterlaufen kann, bis die Energie aufgebraucht ist. Die einfachste Form ist die Freilaufdiode antiparallel zur Spule: Sobald der Schalter öffnet, treibt die Spule ihren Strom durch die Diode weiter. Die Spannung bleibt auf deren Flussspannung begrenzt statt auf Kilovolt.
Der Preis ist Zeit. Über der Diode fallen nur etwa 0,7 V ab, die Energie wird also langsam abgebaut, und der Strom klingt mit \(\tau = L/R\) ab. Bei einem Relais heißt das: Es fällt spürbar träger ab. Wer schneller entmagnetisieren will, muss eine höhere Gegenspannung zulassen:
| Freilauf | Klemmspannung | Abklingzeit | Typisch für |
|---|---|---|---|
| Diode allein | ~0,7 V | am längsten | Relais, langsame Lasten |
| Diode + Widerstand | \(0{,}7\,\text{V} + R\,I\) | mittel | Relais mit Anspruch an die Abfallzeit |
| Diode + Z-Diode | Z-Spannung | kurz | Ventile, schnelle Aktoren |
| RC-Snubber | gedämpft | kurz | Schaltnetzteile, Motorbrücken |
Die Faustregel dahinter ist schlicht: Die Entmagnetisierungszeit ist umgekehrt proportional zur zugelassenen Spannung. Man kauft Geschwindigkeit mit Spannungsfestigkeit.
In der H-Brücke
Bei einer H-Brücke übernehmen die Body-Dioden der MOSFETs diese Aufgabe von selbst -- der Motorstrom kommutiert beim Abschalten in die jeweils gegenüberliegende Diode. Die Motorinduktivität ist dort kein Störfaktor, sondern Teil des Funktionsprinzips: Sie hält den Strom während der Sperrphase aufrecht.
Zwei Konsequenzen, die man in Datenblättern wiederfindet: Body-Dioden sind meist langsam, weshalb hochfrequente Brücken auf synchrone Gleichrichtung umschalten -- der MOSFET wird leitend geschaltet, statt die Diode arbeiten zu lassen. Und zwischen dem Abschalten des einen und dem Einschalten des anderen Transistors muss eine Totzeit liegen, sonst leiten beide gleichzeitig und der Kurzschluss geht quer durch die Brücke.
Wenn man es absichtlich ausnutzt
Beim Sperrwandler (Flyback) ist genau dieser Vorgang das Funktionsprinzip: In der Einschaltphase wird Energie im Feld gespeichert, in der Sperrphase an die Sekundärseite abgegeben. Die Drossel ist dort kein notwendiges Übel, sondern der Energiepuffer. Und weil pro Zyklus \(\tfrac12 L I^2\) übertragen wird, bestimmt die Schaltfrequenz unmittelbar die übertragbare Leistung -- der Grund, warum Schaltnetzteile so viel kleiner sind als Netztrafos.
Die Induktivität, die niemand einbauen wollte
Bis hierher war \(L\) ein Bauteil. Der praktisch folgenreichste Teil dieses Kapitels ist aber die Induktivität, die jede Leitung ohnehin hat.
Ein moderner Leistungstransistor schaltet 20 A in 20 ns ab, also \(\mathrm{d}i/\mathrm{d}t = 10^9\) A/s. An gerade einmal 10 nH parasitärer Schleifeninduktivität -- wenige Zentimeter Leiterbahn -- erzeugt das:
Zehn Volt Überschwingen aus dem Nichts, addiert auf die Betriebsspannung, an einem Transistor, dessen Sperrspannung knapp bemessen ist. Deshalb dreht sich beim Layout von Leistungsstufen alles um die Fläche der Kommutierungsschleife, deshalb sitzt der Stützkondensator so dicht wie möglich am Halbleiter, und deshalb hat ein moderner Gatetreiber einen separaten Kelvin-Source-Anschluss: Damit die parasitäre Induktivität des Lastpfads nicht in die Gate-Ansteuerung zurückwirkt und den Transistor während des Schaltens ungewollt wieder teilweise zumacht.
Es ist derselbe Effekt wie beim Relaisfunken -- nur mit Nanohenry statt Millihenry und Nanosekunden statt Mikrosekunden. Und deshalb sichtbar in Volt statt in Kilovolt.
Ausblick
Bisher hatte jede Spule ihren eigenen Fluss. Legt man zwei Wicklungen auf denselben Kern, koppelt der Fluss beide, und die Stromänderung in der einen induziert eine Spannung in der anderen. Aus Selbstinduktion wird Gegeninduktion -- und aus dem Bauteil ein Transformator. Weiter mit Teil 13.
Weiterführendes
- Induktion: Faraday und Lenz -- Teil 11, das Gesetz dahinter
- Materie im Magnetfeld -- Teil 10, was der Kern beiträgt und warum er sättigt
- Der Transformator -- Teil 13, zwei gekoppelte Induktivitäten
- Kondensator und Dielektrika -- Teil 5, das duale Bauteil
- H-Brücke im Detail -- Freilauf, Totzeit und Motorinduktivität in der Praxis