Herleitung: das Koaxialkabel durchgerechnet

In den bisherigen Herleitungen hat immer die Symmetrie die Arbeit erledigt: Das Feld war auf der Hülle konstant, das Integral kollabierte zu „Feld mal Fläche", und übrig blieb eine Zeile. Das ist bequem -- aber man lernt dabei nicht, wie man ein Integral tatsächlich ausrechnet.

Diese Seite holt das nach. Das Koaxialkabel ist dafür ideal, weil das Feld zwischen den Leitern nicht konstant ist, sondern mit \(1/r\) abfällt. Damit bleibt in zwei von drei Schritten ein echtes Integral stehen.

Ergebnis (verwendet in Teil 15 und der Wellenwiderstands-Herleitung):

\[C' = \frac{2\pi\varepsilon}{\ln(b/a)} \qquad L' = \frac{\mu_0}{2\pi}\ln\frac{b}{a} \qquad Z = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{\mu_0}{\varepsilon}}\;\ln\frac{b}{a}\]

Die Geometrie und was wir suchen

Ein Innenleiter mit Radius \(a\), darum ein Dielektrikum mit der Permittivität \(\varepsilon = \varepsilon_0\varepsilon_r\) bis zum Radius \(b\), darum der Schirm. Auf dem Innenleiter sitzt die Ladung pro Länge \(\lambda\), es fließt der Strom \(I\) hin und über den Schirm zurück.

Gesucht sind die Beläge: Kapazität und Induktivität pro Meter. Aus ihnen folgt der Wellenwiderstand.

Drei Integrale sind zu bewältigen, und sie sind von unterschiedlicher Schwierigkeit:

Schritt Integraltyp Symmetrie hilft?
1. Feld aus der Ladung geschlossenes Hüllintegral ja, kollabiert vollständig
2. Spannung aus dem Feld Wegintegral nein, echtes Integral
3. Fluss aus dem Feld Flächenintegral nein, echtes Integral

Schritt 1: Das E-Feld zwischen den Leitern

Hier hilft die Symmetrie noch. Als Hülle wählen wir einen Zylinder mit Radius \(r\) (mit \(a < r < b\)) und Länge \(\ell\), koaxial zum Kabel.

Auf der Mantelfläche steht \(\vec E\) überall senkrecht und ist aus Symmetriegründen überall gleich groß; durch die beiden Deckflächen tritt nichts, weil \(\vec E\) dort parallel zur Fläche liegt. Das Gaußsche Gesetz wird damit zur Multiplikation:

\[\oint \vec E \cdot \mathrm{d}\vec A = E(r)\cdot 2\pi r \ell = \frac{\lambda\,\ell}{\varepsilon}\]
\[E(r) = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon\, r}\]

Und genau hier endet die Bequemlichkeit. Das Feld hängt von \(r\) ab -- in den nächsten beiden Schritten steht es unter einem Integral und lässt sich nicht mehr herausziehen.

Schritt 2: Die Spannung -- ein echtes Wegintegral

Die Spannung zwischen Innenleiter und Schirm ist das Wegintegral des Feldes vom einen zum anderen. Der bequemste Weg ist der radiale, weil \(\vec E\) dort parallel zum Weg liegt und das Skalarprodukt zum Produkt wird:

\[U = \int_a^b \vec E \cdot \mathrm{d}\vec r = \int_a^b E(r)\,\mathrm{d}r = \int_a^b \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon\,r}\,\mathrm{d}r\]

Die Konstanten dürfen vor das Integral, das \(1/r\) nicht:

\[U = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon}\int_a^b \frac{\mathrm{d}r}{r}\]

Das verbleibende Integral ist eines der wenigen, die man auswendig können sollte -- die Stammfunktion von \(1/r\) ist der natürliche Logarithmus:

\[\int_a^b \frac{\mathrm{d}r}{r} = \Big[\ln r\Big]_a^b = \ln b - \ln a = \ln\frac{b}{a}\]

Damit:

\[U = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon}\,\ln\frac{b}{a}\]

Der Logarithmus ist kein Zufall, sondern die Signatur der Zylindergeometrie: Ein Feld, das mit \(1/r\) abfällt, aufintegriert über den Radius, ergibt immer einen Logarithmus. Man findet ihn deshalb bei jeder koaxialen Anordnung wieder -- auch beim Kapazitätsbelag einer Freileitung gegen Erde.

Warum der Weg egal ist

Ein kurzer Einschub, der später wichtig wird: Wir haben den radialen Weg gewählt, weil er am einfachsten ist. Hätten wir einen krummen Weg genommen, wäre dasselbe herausgekommen -- das elektrostatische Feld hat ein Potential, also ist das Wegintegral wegunabhängig.

Das gilt nicht mehr, sobald sich Magnetfelder ändern; dann wird aus \(\vec E\) ein Wirbelfeld ohne Potential, und die Spannung hängt vom Messweg ab (siehe Teil 11). Hier, im statischen Fall, dürfen wir uns den bequemen Weg aussuchen.

Schritt 3: Der Kapazitätsbelag

\(C' = \lambda/U\), und \(\lambda\) kürzt sich heraus:

\[C' = \frac{\lambda}{\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon}\ln\dfrac{b}{a}} = \frac{2\pi\varepsilon}{\ln(b/a)}\]

Einheit: F/m. Für ein typisches Kabel liegt der Wert bei rund 100 pF pro Meter -- der Grund, warum ein langes Koaxialkabel am Ausgang einer hochohmigen Quelle wie ein Tiefpass wirkt.

Schritt 4: Das B-Feld -- wieder mit Symmetrie

Für das Magnetfeld liefert das Durchflutungsgesetz auf einem Kreis mit Radius \(r\):

\[B(r)\cdot 2\pi r = \mu_0 I \qquad\Rightarrow\qquad B(r) = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}\]

Auch hier wieder eine \(1/r\)-Abhängigkeit -- und damit im nächsten Schritt wieder ein echtes Integral.

Zwei Bemerkungen, die man leicht übersieht: Außerhalb des Schirms ist \(B\) exakt null, weil dort Hin- und Rückstrom umschlossen werden und sich zu null addieren. Genau deshalb strahlt ein Koaxialkabel nicht. Und innerhalb des Innenleiters wächst \(B\) linear mit \(r\) -- diesen Beitrag lassen wir hier weg, er ergibt die sogenannte innere Induktivität und ist bei hohen Frequenzen ohnehin bedeutungslos, weil der Strom dann nur noch auf der Oberfläche fließt (Skin-Effekt).

Schritt 5: Der Fluss -- ein echtes Flächenintegral

Jetzt brauchen wir den magnetischen Fluss durch die Fläche zwischen Hin- und Rückleiter. Diese Fläche ist ein Rechteck: in Längsrichtung die Kabellänge \(\ell\), in Querrichtung der Weg von \(r = a\) bis \(r = b\).

Hier liegt der Punkt, an dem man beim Aufschreiben aufpassen muss. Das Flächenelement ist

\[\mathrm{d}A = \ell\,\mathrm{d}r\]

also ein schmaler Streifen der Länge \(\ell\) und der Breite \(\mathrm{d}r\), im Abstand \(r\) von der Achse. Über diesen Streifen ist \(B\) konstant -- das ist der Trick bei solchen Integralen: das Flächenelement so wählen, dass der Integrand darauf konstant ist. Dann bleibt nur eine eindimensionale Integration übrig.

\[\Phi = \int_A \vec B \cdot \mathrm{d}\vec A = \int_a^b B(r)\,\ell\,\mathrm{d}r = \frac{\mu_0 I \ell}{2\pi}\int_a^b \frac{\mathrm{d}r}{r} = \frac{\mu_0 I \ell}{2\pi}\,\ln\frac{b}{a}\]

Derselbe Logarithmus wie in Schritt 2, aus demselben Grund.

Schritt 6: Der Induktivitätsbelag

\(L = \Phi/I\), und pro Meter:

\[L' = \frac{\Phi}{I\,\ell} = \frac{\mu_0}{2\pi}\,\ln\frac{b}{a}\]

Einheit: H/m, typisch einige hundert nH pro Meter.

Schritt 7: Der Wellenwiderstand

Jetzt zahlt sich die Arbeit aus. Mit \(Z = \sqrt{L'/C'}\) aus der Wellenwiderstands-Herleitung:

\[Z = \sqrt{\frac{\dfrac{\mu_0}{2\pi}\ln\dfrac{b}{a}}{\dfrac{2\pi\varepsilon}{\ln(b/a)}}} = \sqrt{\frac{\mu_0}{4\pi^2\varepsilon}\left(\ln\frac{b}{a}\right)^2} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{\mu_0}{\varepsilon}}\;\ln\frac{b}{a}\]

Der Logarithmus steht in \(L'\) im Zähler und in \(C'\) im Nenner -- unter der Wurzel wird daraus sein Quadrat, und die Wurzel macht ihn wieder linear. Mit \(\varepsilon = \varepsilon_0\varepsilon_r\) und dem Freiraumwellenwiderstand \(Z_0 = \sqrt{\mu_0/\varepsilon_0} \approx 376{,}7\;\Omega\):

\[Z = \frac{Z_0}{2\pi\sqrt{\varepsilon_r}}\,\ln\frac{b}{a} \approx \frac{59{,}96\;\Omega}{\sqrt{\varepsilon_r}}\,\ln\frac{b}{a}\]

Die Probe: ein RG58

Ein RG58 hat einen Innenleiter von etwa 0,81 mm Durchmesser, das Polyethylen-Dielektrikum reicht bis rund 2,95 mm Durchmesser, und PE hat \(\varepsilon_r = 2{,}25\).

\[a = 0{,}405\;\text{mm}, \qquad b = 1{,}475\;\text{mm}, \qquad \frac{b}{a} = 3{,}64\]
\[\ln 3{,}64 = 1{,}29 \qquad \sqrt{2{,}25} = 1{,}5\]
\[Z = \frac{59{,}96}{1{,}5}\cdot 1{,}29 \approx 51\;\Omega\]

Rund 50 Ω -- die Zahl, die auf jedem HF-Kabel steht, fällt aus zwei Durchmessern und einer Materialkonstante heraus.

Nebenbei ergibt sich auch die Signalgeschwindigkeit: \(v = c/\sqrt{\varepsilon_r} = c/1{,}5 \approx 0{,}67\,c\), also die berüchtigten „66 % Verkürzungsfaktor", mit denen man beim Antennenbau rechnet.

Warum ausgerechnet 50 Ω?

Die Zahl wirkt willkürlich, ist aber ein Kompromiss aus zwei gegenläufigen Optima -- und beide lassen sich aus der obigen Formel gewinnen, indem man das Verhältnis \(b/a\) variiert:

50 Ω liegt ungefähr in der Mitte und wurde in den 1930er-Jahren als Kompromiss festgelegt. Die 75 Ω der Antennentechnik haben einen anderen Grund: Dort zählt nicht Leistung, sondern minimale Dämpfung bei kleinen Signalen -- und 75 Ω liegt näher am Dämpfungsoptimum.

Was man daraus mitnimmt

Drei Handgriffe, die bei fast jedem Feldintegral helfen:

  1. Die Hülle oder den Weg so wählen, dass der Integrand darauf konstant ist. Bei Zylindersymmetrie ist das ein koaxialer Zylinder, bei Kugelsymmetrie eine Kugel.
  2. Das Flächenelement der Symmetrie anpassen. Der Streifen \(\mathrm{d}A = \ell\,\mathrm{d}r\) in Schritt 5 macht aus einem Flächenintegral eine gewöhnliche eindimensionale Integration.
  3. Konstanten herausziehen, bevor man integriert. Was übrig bleibt, ist meist eines von drei Grundintegralen: \(\int \mathrm{d}r\), \(\int \mathrm{d}r/r\) oder \(\int \mathrm{d}r/r^2\) -- und die kennt man.

Weiterführendes

Erstellt: 22.08.2026 · Zuletzt geändert: 23.08.2026