Potential und Spannung

Teil 4 der Elektrodynamik-Serie, Kapitel I: Elektrostatik. Feldstärken in V/m misst im Labor niemand -- gemessen wird die Spannung. Zeit zu klären, was das Voltmeter da eigentlich anzeigt.

Mit dem elektrischen Feld können wir Kräfte ausrechnen. Aber im Alltag der Elektronik redet kein Mensch über Felder -- sondern über 5 V am Pin, 12 V am Bus, 0,7 V über der Diode. Dieser Teil baut die Brücke: vom Feld über die Arbeit zum Potential -- und zur Spannung als dem, was übrig bleibt, wenn man Physik praktisch macht.

Arbeit im Feld

Schiebt man eine Ladung \(q\) gegen die Feldkraft \(\vec F = q\vec E\) von Punkt 1 nach Punkt 2, steckt man Arbeit hinein:

(Das Minuszeichen: gegen das Feld schieben kostet Energie, mit dem Feld gewinnt man sie zurück. \(d\vec s\) ist das Wegelement entlang der Bahn.)

Jetzt die entscheidende Beobachtung: In der Elektrostatik ist dieses Integral wegunabhängig -- ob man die Ladung direkt, im Zickzack oder mit Umweg über den Mond von 1 nach 2 bringt, die Arbeit ist dieselbe. Mathematisch ist das exakt die Aussage \(\nabla \times \vec E = 0\) (kein Wirbel, siehe Mathe-Anhang); physikalisch heißt es: Das elektrostatische Feld ist konservativ, wie die Gravitation. Wer im Zickzack den Berg hochsteigt, kommt genauso hoch an wie über die Direttissima.

Nur deshalb darf man jedem Punkt eine Art „elektrische Höhe" zuordnen. Ohne Wegunabhängigkeit gäbe es keine sinnvolle Spannungsangabe zwischen zwei Punkten -- und tatsächlich wird genau das später bei der Induktion zum Thema, wo wirbelnde E-Felder diese Idylle beenden.

Das Potential: elektrische Höhe

Man wählt einen Bezugspunkt (dazu gleich mehr) und definiert das Potential \(\phi\) an jedem Ort als Arbeit pro Ladung, um eine Probeladung vom Bezugspunkt dorthin zu bringen:

Die potentielle Energie einer Ladung \(q\) am Ort \(\vec r\) ist dann einfach \(E_\text{pot} = q\,\phi(\vec r)\) -- das perfekte Gegenstück zu \(m g h\) im Schwerefeld: Ladung ↔ Masse, Potential ↔ „\(g h\)", elektrische Höhe eben.

Und die Spannung ist schlicht die Potentialdifferenz zwischen zwei Punkten:

Eine Spannung von 1 V bedeutet: Pro Coulomb Ladung, die von 1 nach 2 fließt, wird 1 Joule Energie frei. Deshalb ist \(P = U \cdot I\) eine Leistung -- Energie pro Ladung mal Ladung pro Zeit.

Nebenbei fällt hier die Lieblingseinheit der Halbleiterphysik ab: Das Elektronenvolt (1 eV = \(1{,}602 \times 10^{-19}\) J) ist die Energie, die ein Elektron beim Durchlaufen von einem Volt aufnimmt. Jedes Banddiagramm, jede Bandlücke (\(E_g(\text{Si}) \approx 1{,}12\) eV) ist in dieser Einheit beschriftet -- Banddiagramme sind Potentialverläufe für Elektronen.

Rückwärts: vom Potential zum Feld

Die Integral-Definition lässt sich umkehren. Das Feld ist der negative Gradient des Potentials (Mathe-Anhang):

Das Feld zeigt bergab in der Potential-Landschaft -- von Plus nach Minus, so wie die Kugel den Hang hinunterrollt. Damit wird das Landkarten-Bild komplett:

• Äquipotentialflächen sind die Höhenlinien: Flächen gleichen Potentials. Entlang ihnen kostet Verschieben keine Arbeit.
• Feldlinien stehen senkrecht auf den Äquipotentialflächen (der Gradient steht senkrecht auf Höhenlinien) -- eng beieinander, wo es steil ist.
• Jede Leiteroberfläche ist im Gleichgewicht eine Äquipotentialfläche (Teil 2: innen feldfrei, Feldlinien senkrecht darauf). Ein Metallgehäuse hat ein Potential -- deshalb darf man „die Masse" als einen einzigen Punkt denken, obwohl sie ein ganzes Blech ist.

Zwei Klassiker

Punktladung. Integration des Coulomb-Felds von unendlich (Bezugspunkt \(\phi(\infty) = 0\)) nach \(r\):

Fällt mit \(1/r\) -- eine Potenz langsamer als das Feld (\(1/r^2\)), weil einmal integriert wurde. Die Äquipotentialflächen sind Kugelschalen.

Plattenkondensator. Im homogenen Feld (Teil 3: \(E = \sigma/\varepsilon_0\)) ist das Integral trivial:

Das ist die Formel, die in Teil 2 schon die Gateoxid-Feldstärken lieferte -- jetzt sauber begründet. Die Äquipotentialflächen sind Ebenen parallel zu den Platten, gleichmäßig gestapelt wie Blätterteig.

0 V ist Verhandlungssache

Dem Potential sieht man seine wichtigste Eigenschaft leicht an: Nur Differenzen sind messbar. Der Bezugspunkt ist reine Konvention -- die Physik ändert sich nicht, wenn man überall 100 V addiert (nur die Gradienten, also die Felder, zählen).

Genau das ist die tiefe Wahrheit hinter „GND": Die Masse einer Schaltung ist der Punkt, den man per Beschluss auf 0 V setzt. Ob der gegen die Erde des Stromnetzes, das Gehäuse oder gar nichts referenziert ist, ist eine Design-Entscheidung -- und die Quelle vieler Praxisprobleme:

• Ein Voltmeter (und jeder Oszi-Tastkopf) misst immer eine Differenz zwischen seinen zwei Anschlüssen. „Die Spannung an Punkt X" ist sprachliche Abkürzung für „\(U\) zwischen X und der vereinbarten Masse".
• Zwei Geräte mit verschiedenen Massen zu verbinden heißt, zwei Konventionen kurzzuschließen -- Stichwort Masseschleifen, und der Grund, warum im H-Brücken-Projekt die erdfreien Signale auf die Differenzkanäle gehören.
• Der Vogel auf der Hochspannungsleitung sitzt auf 380 kV Potential -- und zwar komplett, mit beiden Füßen. Ohne Differenz kein Strom.

Alessandro Volta (1745--1827) lieferte mit der Voltaschen Säule (1800) die erste kontinuierliche Spannungsquelle der Geschichte -- und machte damit aus der Elektrostatik eine Wissenschaft der Ströme. Die Einheit der Spannung ehrt ihn. Mehr zu Volta →

Wo das in unseren Projekten steckt

• Eingebaute Spannung \(V_{bi}\) des pn-Übergangs: ein Potentialunterschied, der sich von selbst einstellt -- und den man trotzdem nicht an den Klemmen messen kann, weil die Kontaktspannungen der Zuleitungen ihn exakt kompensieren. Das schönste Beispiel dafür, dass Potentiale subtiler sind als Spannungen.
• Banddiagramme: Bandverbiegung in der Raumladungszone ist \(-q\,\phi(x)\) im Ortsprofil -- wer Potential-Landschaften lesen kann, liest Banddiagramme.
• Referenzspannungen, Level-Shifter, „floatende" Knoten: Der Schaltknoten der H-Brücke ist ein Bezugspunkt, der selbst herumspringt -- die ganze High-Side-Treiberei ist angewandte „0-V-ist-Verhandlungssache"-Physik.

Ausblick

Potential verstanden heißt: Wir können jetzt Ladung speichern und wissen, was dabei energetisch passiert. Zwei Leiter, eine Spannung dazwischen, Ladung drauf -- der Kondensator. Und mit ihm die Frage, was das Dielektrikum dazwischen eigentlich leistet.

Weiter mit Teil 5: Kondensator und Dielektrika →

Weiterführendes

• Teil 3: Der Gauß'sche Satz -- woher die Felder kommen, die wir hier integrieren
• Mathe-Anhang: Nabla, Divergenz, Rotation -- Gradient und Wegunabhängigkeit sauber
• Elektrodynamik-Serie -- Übersicht und Fahrplan