Potential und Spannung
Teil 4 der Elektrodynamik-Serie, Kapitel I: Elektrostatik. Feldstärken in V/m misst im Labor niemand -- gemessen wird die Spannung. Zeit zu klären, was das Voltmeter da eigentlich anzeigt.
Mit dem elektrischen Feld können wir Kräfte ausrechnen. Aber im Alltag der Elektronik redet kein Mensch über Felder -- sondern über 5 V am Pin, 12 V am Bus, 0,7 V über der Diode. Dieser Teil baut die Brücke: vom Feld über die Arbeit zum Potential -- und zur Spannung als dem, was übrig bleibt, wenn man Physik praktisch macht.
Arbeit im Feld
Schiebt man eine Ladung \(q\) gegen die Feldkraft \(\vec F = q\vec E\) von Punkt 1 nach Punkt 2, steckt man Arbeit hinein:
(Das Minuszeichen: gegen das Feld schieben kostet Energie, mit dem Feld gewinnt man sie zurück. \(d\vec s\) ist das Wegelement entlang der Bahn.)
Jetzt die entscheidende Beobachtung: In der Elektrostatik ist dieses Integral wegunabhängig -- ob man die Ladung direkt, im Zickzack oder mit Umweg über den Mond von 1 nach 2 bringt, die Arbeit ist dieselbe. Mathematisch ist das exakt die Aussage \(\nabla \times \vec E = 0\) (kein Wirbel, siehe Mathe-Anhang); physikalisch heißt es: Das elektrostatische Feld ist konservativ, wie die Gravitation. Wer im Zickzack den Berg hochsteigt, kommt genauso hoch an wie über die Direttissima.
Nur deshalb darf man jedem Punkt eine Art „elektrische Höhe" zuordnen. Ohne Wegunabhängigkeit gäbe es keine sinnvolle Spannungsangabe zwischen zwei Punkten -- und tatsächlich wird genau das später bei der Induktion zum Thema, wo wirbelnde E-Felder diese Idylle beenden.
Warum das so ist
„Entscheidende Beobachtung" wäre zu billig -- man kann genau angeben, woher die Wegunabhängigkeit kommt, und die Begründung ist kürzer als ihr Ruf.
Das Feld einer Punktladung ist ein Zentralfeld: Es zeigt überall radial vom Ladungsort weg, und sein Betrag hängt nur vom Abstand ab.
Jetzt schaut man sich an, was im Wegintegral eigentlich passiert. Das Skalarprodukt \(\vec E \cdot \mathrm{d}\vec s\) pickt aus dem Wegelement nur die Komponente in Feldrichtung heraus -- und die Feldrichtung ist radial. Der radiale Anteil eines Wegstücks ist aber genau die Änderung des Abstands, also \(\hat r \cdot \mathrm{d}\vec s = \mathrm{d}r\):
Und damit ist die Sache erledigt. Von der ganzen Bahn überlebt nur, wie sich der Abstand ändert. Alles, was seitlich passiert -- Umwege, Schlenker, Kreisbögen um die Ladung herum --, steht senkrecht auf dem Feld und trägt exakt null bei. Das Integral
kennt nur noch Anfangs- und Endradius. Der Weg dazwischen ist herausgefallen.
Bleibt der Schritt von einer Ladung zu beliebig vielen: Jede reale Ladungsverteilung ist nach dem Superpositionsprinzip die Summe vieler Punktladungen. Jeder einzelne Beitrag ist nach dem Obigen wegunabhängig, und eine Summe wegunabhängiger Größen ist es auch. Deshalb hat jedes elektrostatische Feld ein Potential -- ausnahmslos.
Eine Feinheit, die man dabei mitnehmen sollte: Für dieses Argument war der Exponent völlig egal. Ein Zentralfeld mit \(1/r^3\) oder \(1/r^{1{,}7}\) wäre genauso konservativ. Das \(1/r^2\) steckt an einer ganz anderen Stelle -- es ist das, was den Gauß'schen Satz gelten lässt. Zwei verschiedene Eigenschaften, zwei verschiedene Ursachen: Weil das Feld zentral ist, gibt es ein Potential. Weil es mit \(1/r^2\) fällt, gilt der Gauß'sche Satz.
Der Vergleich, der alles klarmacht: die Gravitation
Dass die Wegunabhängigkeit nichts spezifisch Elektrisches ist, sieht man am besten an einem Feld, für das jeder eine Anschauung hat. Newtons Gravitationsgesetz ist strukturell dasselbe:
| Elektrostatik | Gravitation (Newton) | |
|---|---|---|
| Kraftgesetz | \(F = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{q_1 q_2}{r^2}\) | \(F = G\dfrac{m_1 m_2}{r^2}\) |
| „Ladung" | elektrische Ladung, zwei Vorzeichen | Masse, nur ein Vorzeichen |
| Feld | \(\vec E = \vec F/q\) | \(\vec g = \vec F/m\) |
| Potential | \(\phi\) in Volt (J/C) | Gravitationspotential (J/kg) |
| Potentielle Energie | \(W = q\,\phi\) | \(W = m\,g\,h\) (nahe der Erdoberfläche) |
| Zentralfeld? | ja | ja |
| Abschirmbar? | ja (Faraday-Käfig) | nein |
Die vorletzte Zeile ist der Grund für die Wegunabhängigkeit in beiden Fällen. Wer einen Berg besteigt, hat am Gipfel dieselbe potentielle Energie gewonnen, ob er die Direttissima genommen hat oder die Serpentinen -- niemand findet das erstaunlich. Beim elektrischen Feld gilt es aus exakt demselben Grund, und die Spannung ist nichts anderes als die „elektrische Höhe".
Der Vergleich zeigt aber auch, wo er endet. Die Gravitation kennt nur ein Vorzeichen -- deshalb gibt es keinen Gravitationskäfig, und deshalb kann man Massen nicht kompensieren wie Ladungen. Und in Newtons Fassung bleibt es dauerhaft bei der Wegunabhängigkeit: Es gibt dort kein Gegenstück zum Magnetfeld, das die Idylle stört. Beim elektrischen Feld gibt es das sehr wohl -- siehe unten.
Und wenn es nicht so wäre?
Ein Argument, das ohne jede Rechnung auskommt: Wäre das Integral nicht wegunabhängig, könnte man eine Ladung auf einem geschlossenen Weg herumführen und käme mit mehr Energie zurück, als man hineingesteckt hat. Bei jedem Umlauf aufs Neue. Das wäre ein Perpetuum mobile -- dasselbe Argument, das auch hinter der Lenzschen Regel und hinter der Unmöglichkeit von Magnetmotoren steckt.
Aber Vorsicht mit diesem Argument -- es trägt nur für statische Felder. Bei der Induktion ist \(\oint \vec E \cdot \mathrm{d}\vec s\) tatsächlich ungleich null, und trotzdem entsteht kein Perpetuum mobile: Dort liefert die Energie, wer immer das Magnetfeld ändert. Wegunabhängigkeit ist also nicht dasselbe wie Energieerhaltung -- sie ist das, was aus der Energieerhaltung folgt, solange sich nichts ändert.
Daraus folgt die Maschenregel
Läuft man einen geschlossenen Weg ab, ist Start gleich Ziel -- die Arbeit muss also null sein:
Und das ist bereits die Kirchhoffsche Maschenregel: In jedem geschlossenen Umlauf einer Schaltung ergibt die Summe aller Spannungen null. Sie ist kein eigenständiges Schaltungsgesetz, sondern nichts anderes als die Wegunabhängigkeit von oben, in der Sprache der Elektrotechnik.
Ihr Gegenstück, die Knotenregel \(\sum I_k = 0\), folgt genauso zwanglos aus der Ladungserhaltung -- hergeleitet in Teil 6. Beide zusammen sind das Handwerkszeug, mit dem jede Schaltung berechnet wird, vom LED-Vorwiderstand bis zum Spannungsteiler.
Gustav Robert Kirchhoff (1824--1887) stellte beide Regeln 1845 auf -- als Student, mit einundzwanzig Jahren. Später begründete er mit Robert Bunsen die Spektralanalyse und prägte den Begriff des schwarzen Körpers, an dem sich die klassische Physik die Zähne ausbeißen sollte. Mehr zu Kirchhoff →
Das Potential: elektrische Höhe
Man wählt einen Bezugspunkt (dazu gleich mehr) und definiert das Potential \(\phi\) an jedem Ort als Arbeit pro Ladung, um eine Probeladung vom Bezugspunkt dorthin zu bringen:
Die potentielle Energie einer Ladung \(q\) am Ort \(\vec r\) ist dann einfach \(E_\text{pot} = q\,\phi(\vec r)\) -- das perfekte Gegenstück zu \(m g h\) im Schwerefeld: Ladung ↔ Masse, Potential ↔ „\(g h\)", elektrische Höhe eben.
Und die Spannung ist schlicht die Potentialdifferenz zwischen zwei Punkten:
Eine Spannung von 1 V bedeutet: Pro Coulomb Ladung, die von 1 nach 2 fließt, wird 1 Joule Energie frei. Deshalb ist \(P = U \cdot I\) eine Leistung -- Energie pro Ladung mal Ladung pro Zeit.
Nebenbei fällt hier die Lieblingseinheit der Halbleiterphysik ab: Das Elektronenvolt (1 eV = \(1{,}602 \times 10^{-19}\) J) ist die Energie, die ein Elektron beim Durchlaufen von einem Volt aufnimmt. Jedes Banddiagramm, jede Bandlücke (\(E_g(\text{Si}) \approx 1{,}12\) eV) ist in dieser Einheit beschriftet -- Banddiagramme sind Potentialverläufe für Elektronen.
Rückwärts: vom Potential zum Feld
Die Integral-Definition lässt sich umkehren. Das Feld ist der negative Gradient des Potentials (Mathe-Anhang):
Das Feld zeigt bergab in der Potential-Landschaft -- von Plus nach Minus, so wie die Kugel den Hang hinunterrollt. Damit wird das Landkarten-Bild komplett:
- Äquipotentialflächen sind die Höhenlinien: Flächen gleichen Potentials. Entlang ihnen kostet Verschieben keine Arbeit.
- Feldlinien stehen senkrecht auf den Äquipotentialflächen (der Gradient steht senkrecht auf Höhenlinien) -- eng beieinander, wo es steil ist.
- Jede Leiteroberfläche ist im Gleichgewicht eine Äquipotentialfläche (Teil 2: innen feldfrei, Feldlinien senkrecht darauf). Ein Metallgehäuse hat ein Potential -- deshalb darf man „die Masse" als einen einzigen Punkt denken, obwohl sie ein ganzes Blech ist.
Zwei Klassiker
Punktladung. Integration des Coulomb-Felds von unendlich (Bezugspunkt \(\phi(\infty) = 0\)) nach \(r\):
Fällt mit \(1/r\) -- eine Potenz langsamer als das Feld (\(1/r^2\)), weil einmal integriert wurde. Die Äquipotentialflächen sind Kugelschalen.
Plattenkondensator. Im homogenen Feld (Teil 3: \(E = \sigma/\varepsilon_0\)) ist das Integral trivial:
Das ist die Formel, die in Teil 2 schon die Gateoxid-Feldstärken lieferte -- jetzt sauber begründet. Die Äquipotentialflächen sind Ebenen parallel zu den Platten, gleichmäßig gestapelt wie Blätterteig.
0 V ist Verhandlungssache
Dem Potential sieht man seine wichtigste Eigenschaft leicht an: Nur Differenzen sind messbar. Der Bezugspunkt ist reine Konvention -- die Physik ändert sich nicht, wenn man überall 100 V addiert (nur die Gradienten, also die Felder, zählen).
Genau das ist die tiefe Wahrheit hinter „GND": Die Masse einer Schaltung ist der Punkt, den man per Beschluss auf 0 V setzt. Ob der gegen die Erde des Stromnetzes, das Gehäuse oder gar nichts referenziert ist, ist eine Design-Entscheidung -- und die Quelle vieler Praxisprobleme:
- Ein Voltmeter (und jeder Oszi-Tastkopf) misst immer eine Differenz zwischen seinen zwei Anschlüssen. „Die Spannung an Punkt X" ist sprachliche Abkürzung für „\(U\) zwischen X und der vereinbarten Masse".
- Zwei Geräte mit verschiedenen Massen zu verbinden heißt, zwei Konventionen kurzzuschließen -- Stichwort Masseschleifen, und der Grund, warum im H-Brücken-Projekt die erdfreien Signale auf die Differenzkanäle gehören.
- Der Vogel auf der Hochspannungsleitung sitzt auf 380 kV Potential -- und zwar komplett, mit beiden Füßen. Ohne Differenz kein Strom.
Alessandro Volta (1745--1827) lieferte mit der Voltaschen Säule (1800) die erste kontinuierliche Spannungsquelle der Geschichte -- und machte damit aus der Elektrostatik eine Wissenschaft der Ströme. Die Einheit der Spannung ehrt ihn. Mehr zu Volta →
Wo das in unseren Projekten steckt
- Eingebaute Spannung \(V_{bi}\) des pn-Übergangs: ein Potentialunterschied, der sich von selbst einstellt -- und den man trotzdem nicht an den Klemmen messen kann, weil die Kontaktspannungen der Zuleitungen ihn exakt kompensieren. Das schönste Beispiel dafür, dass Potentiale subtiler sind als Spannungen.
- Banddiagramme: Bandverbiegung in der Raumladungszone ist \(-q\,\phi(x)\) im Ortsprofil -- wer Potential-Landschaften lesen kann, liest Banddiagramme.
- Referenzspannungen, Level-Shifter, „floatende" Knoten: Der Schaltknoten der H-Brücke ist ein Bezugspunkt, der selbst herumspringt -- die ganze High-Side-Treiberei ist angewandte „0-V-ist-Verhandlungssache"-Physik.
Ausblick
Potential verstanden heißt: Wir können jetzt Ladung speichern und wissen, was dabei energetisch passiert. Zwei Leiter, eine Spannung dazwischen, Ladung drauf -- der Kondensator. Und mit ihm die Frage, was das Dielektrikum dazwischen eigentlich leistet.
Weiter mit Teil 5: Kondensator und Dielektrika →
Weiterführendes
- Teil 3: Der Gauß'sche Satz -- woher die Felder kommen, die wir hier integrieren
- Mathe-Anhang: Nabla, Divergenz, Rotation -- Gradient und Wegunabhängigkeit sauber
- Elektrodynamik-Serie -- Übersicht und Fahrplan