Herleitung: Wellenwiderstand und Reflexion
Ergebnis (verwendet in Teil 15: Elektromagnetische Wellen):
Der Freiraumwellenwiderstand
Warum ein Widerstand, wo nichts ist?
Der Name führt in die Irre: \(Z_0\) beschreibt keinen Verbraucher, der Energie in Wärme umsetzt. Er ist ein Verhältnis -- nämlich das von elektrischer zu magnetischer Feldstärke in einer freien Welle. Dass dieses Verhältnis die Einheit Ohm trägt, ist eine Konsequenz der Einheiten und der Grund für den etwas unglücklichen Namen.
Die Rechnung
Aus der Wellengleichung folgt für eine ebene Welle im Vakuum \(E = c\,B\). Mit der magnetischen Feldstärke \(H = B/\mu_0\) ist:
Und mit \(c = 1/\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}\):
Zwei Konstanten, ein Wurzelzeichen, und heraus kommt eine Zahl, die in jedem Antennen- und EMV-Datenblatt auftaucht.
Wozu man ihn braucht
Mit \(Z_0\) lässt sich die Leistungsdichte einer Welle allein aus der elektrischen Feldstärke ausrechnen -- praktisch, weil in der EMV-Messtechnik genau die gemessen wird:
Beispiel Sonnenlicht: \(\bar S \approx 1361\) W/m² am oberen Rand der Atmosphäre ergibt \(E_0 = \sqrt{2 Z_0 \bar S} \approx 1{,}0\) kV/m. Ein Kilovolt pro Meter, den ganzen Tag, und niemand merkt etwas davon -- weil kein Leiter da ist, in dem sich daraus ein Strom bilden könnte.
Abgrenzung: welche Größe wovon spricht
Bevor es weitergeht, die Unterscheidung, an der die meisten Missverständnisse hängen. In der Elektrotechnik tragen vier verschiedene Größen die Einheit Ohm:
| Größe | Definition | Bezieht sich auf |
|---|---|---|
| Ohmscher Widerstand \(R\) | \(U/I\) am Bauteil | ein Bauteil |
| Impedanz \(\underline{Z} = R + \mathrm{j}X\) | Verhältnis der Zeiger bei einer Frequenz | ein Bauteil, bei genau dieser Frequenz |
| Leitungswellenwiderstand \(Z_{\text{Ltg}} = \sqrt{L'/C'}\) | \(U/I\) einer laufenden Welle | eine Welle auf einer Leitung |
| Feldwellenwiderstand \(Z_0 = \sqrt{\mu_0/\varepsilon_0}\) | \(E/H\) in einer freien Welle | eine Welle im Raum |
Die Trennlinie verläuft in der Mitte der Tabelle. Die oberen beiden beschreiben, was ein Bauteil an seinen Klemmen tut -- man kann sie messen, indem man Spannung anlegt und Strom misst. Die unteren beiden beschreiben eine Welle; sie sagen nichts über Verluste und tauchen an keinen Klemmen auf.
Daraus folgen drei Dinge, die häufig überraschen:
Ein Ohmmeter misst den Wellenwiderstand nicht. An einem 50-Ω-Kabel zeigt es Kurzschluss oder Unterbrechung, je nach Abschluss. Die 50 Ω gelten nur für eine Welle, und auch für die nur, solange sie das Ende noch nicht gesehen hat.
Weder \(Z_{\text{Ltg}}\) noch \(Z_0\) setzen Energie um. Sie beschreiben ein Verhältnis, keine Senke. Anders als beim Blindwiderstand, der Energie speichert und zurückgibt, läuft sie hier einfach weiter.
Und die schönste Konsequenz: Für die ankommende Welle ist ein angepasster Abschlusswiderstand von einer unendlich langen Leitung nicht zu unterscheiden. In beiden Fällen kommt nichts zurück. Dass die Energie im einen Fall in Wärme endet und im anderen ewig weiterläuft, ist am Übergang nicht feststellbar -- die Welle „weiß" erst davon, wenn eine Reflexion zurückkäme, und genau die bleibt aus.
Der Leitungswellenwiderstand
Dieselbe Idee mit Kupfer
Eine Leitung hat pro Längeneinheit eine Induktivität \(L'\) und eine Kapazität \(C'\). Läuft eine Spannungsfront entlang, muss sie fortlaufend die Kapazität vor sich aufladen und den Strom durch die Induktivität aufbauen. Aus dieser Kopplung folgt für die verlustlose Leitung:
Formal dieselbe Struktur wie \(\sqrt{\mu_0/\varepsilon_0}\) -- und das ist kein Zufall: \(L'\) und \(C'\) sind nichts anderes als \(\mu\) und \(\varepsilon\), übersetzt in die Geometrie der Leitung.
Für das Koaxialkabel lassen sich \(L'\) und \(C'\) vollständig ausrechnen -- inklusive der beiden Integrale, die dabei stehen bleiben. Das steht in das Koaxialkabel durchgerechnet.
Wichtig zum Verständnis: Dieser Widerstand hat nichts mit dem ohmschen Widerstand des Kupfers zu tun. Eine 50-Ω-Leitung zeigt am Ohmmeter einen Kurzschluss oder eine Unterbrechung, je nachdem, was am anderen Ende hängt. Die 50 Ω sieht nur eine Welle, die gerade unterwegs ist -- und auch die nur, solange sie das Ende noch nicht erreicht hat.
Was am Ende passiert
Trifft die Welle auf einen Abschluss \(Z_L\), muss an dieser Stelle sowohl die Spannung als auch der Strom stetig sein. Beides zusammen geht nur, wenn ein Teil der Welle zurückläuft. Der Reflexionsfaktor ist:
Drei Fälle lohnen den Blick:
| Abschluss | \(\Gamma\) | Was passiert |
|---|---|---|
| \(Z_L = Z_0\) (angepasst) | 0 | keine Reflexion, die gesamte Energie geht in die Last |
| \(Z_L = \infty\) (offen) | \(+1\) | vollständige Reflexion, Spannung verdoppelt sich am Ende |
| \(Z_L = 0\) (kurzgeschlossen) | \(-1\) | vollständige Reflexion mit Vorzeichenwechsel |
Warum eine Leiterbahn klingelt
Ein CMOS-Eingang ist praktisch ein offenes Ende (\(\Gamma \approx +1\)), der Treiberausgang niederohmig (\(\Gamma \approx -1\)). Eine Flanke läuft also hin, wird am Eingang mit gleichem Vorzeichen reflektiert, läuft zurück, wird am Treiber mit umgekehrtem Vorzeichen reflektiert, und so weiter. Was man am Oszilloskop als Klingeln sieht, ist dieses Hin und Her, gedämpft durch die Leitungsverluste.
Ob es stört, hängt vom Verhältnis von Laufzeit zu Flankenzeit ab. Als Faustregel gilt eine Leitung als „elektrisch lang", wenn die Signallaufzeit größer ist als etwa ein Sechstel der Anstiegszeit. Auf FR4 läuft ein Signal mit rund 15 cm/ns; bei einer Anstiegszeit von 1 ns ist damit ab wenigen Zentimetern Vorsicht geboten.
Die Gegenmittel folgen direkt aus \(\Gamma\): Serienterminierung am Treiber (Widerstand so wählen, dass Ausgangswiderstand plus Widerstand gleich \(Z_0\) ist) oder Parallelterminierung am Empfänger. Beides macht dasselbe -- es sorgt dafür, dass die Welle am Ende nichts mehr zum Zurücklaufen hat.
Weiterführendes
- Elektromagnetische Wellen -- Teil 15
- Herleitung: Wellengleichung -- woher \(E = cB\) kommt
- Herleitung: Skin-Effekt -- warum bei hohen Frequenzen die Oberfläche zählt