Herleitung: Plattenkondensator aus dem Gauß-Satz

Ergebnis (verwendet in Teil 5: Kondensator und Dielektrika):

Voraussetzungen

• Zwei parallele, ebene Platten der Fläche \(A\) im Abstand \(d\), entgegengesetzt geladen mit \(\pm Q\)
• Randeffekte vernachlässigt: Das Feld gilt als homogen zwischen den Platten und null außerhalb. Das ist zulässig, solange \(d\) klein gegen die Plattenabmessungen ist -- die Näherung, die diese ganze Rechnung trägt.
• Das Dielektrikum füllt den Zwischenraum vollständig aus.

Schritt 1: Das Feld aus dem Gauß-Satz

Der Gauß'sche Satz verknüpft den Fluss durch eine geschlossene Fläche mit der eingeschlossenen Ladung:

Als Hüllfläche wählen wir eine flache Dose, die eine Platte umschließt: eine Deckfläche \(A\) im feldfreien Innern des Leiters, die andere im Zwischenraum, die Mantelfläche parallel zu \(\vec E\).

Damit trägt nur eine Deckfläche zum Integral bei -- im Leiter ist \(\vec E = 0\), und durch den Mantel geht kein Fluss, weil dort \(\vec E \perp \mathrm{d}\vec A\) steht. Mit der Flächenladungsdichte \(\sigma = Q/A\) bleibt:

Schritt 2: Von der Feldstärke zur Spannung

Die Spannung ist das Wegintegral des Feldes von einer Platte zur anderen. Weil \(\vec E\) homogen ist und parallel zum Weg liegt, wird daraus eine Multiplikation:

Schritt 3: Die Kapazität

Kapazität ist definiert als Ladung pro Spannung, und das \(Q\) kürzt sich heraus:

Dass \(Q\) verschwindet, ist der eigentliche Punkt: Die Kapazität ist eine reine Geometrieeigenschaft. Sie sagt, wie viel Ladung pro Volt hineinpasst, unabhängig davon, wie viel gerade drin ist.

Schritt 4: Das Dielektrikum

Ein Isolator im Feld polarisiert sich -- die gebundenen Ladungen verschieben sich und erzeugen ein Gegenfeld. Das Feld im Innern sinkt dadurch um den Faktor \(\varepsilon_r\):

Bei gleicher Ladung ist die Spannung also kleiner, und damit die Kapazität größer:

Zugabe: die Feldenergie

Beim Laden muss jede weitere Ladungsportion gegen die schon vorhandene Spannung geschoben werden. Mit \(u = q/C\) ergibt die Integration:

Setzt man \(C = \varepsilon_0 A/d\) und \(U = E d\) ein, wird daraus:

Die Energie ist also proportional zum Volumen zwischen den Platten. Pro Kubikmeter:

Das ist der rechnerische Beleg für die Aussage aus Teil 5: Die Energie sitzt im Feld, nicht auf den Platten. Die exakte Entsprechung auf der magnetischen Seite steht in der Herleitung der Spuleninduktivität.

Weiterführendes

• Kondensator und Dielektrika -- Teil 5, wo das Ergebnis gebraucht wird
• Gauß'scher Satz: Fluss und Ladung -- Teil 3, das Werkzeug aus Schritt 1