Herleitung: Von der Integral- zur Differentialform

Ergebnis: Die vier Maxwell-Gleichungen in beiden Gestalten -- und die Begründung, warum es dieselben Aussagen sind.

Voraussetzungen

Zwei Sätze aus dem Mathe-Anhang und sonst nichts:

Der Gaußsche Integralsatz übersetzt zwischen einem Volumen und seiner Hülle, der Satz von Stokes zwischen einer Fläche und ihrem Rand.

Carl Friedrich Gauß (1777--1855), der princeps mathematicorum, entwickelte den Integralsatz im Rahmen seiner Potentialtheorie. Dass in dieser Serie zwei verschiedene Aussagen seinen Namen tragen -- ein mathematischer Satz und ein physikalisches Gesetz --, liegt schlicht daran, dass beide von ihm stammen. Mehr zu Gauß →

Und der zweite Namensgeber, dessen Satz gar nicht seiner ist:

George Gabriel Stokes (1819--1903) hielt den Lucasischen Lehrstuhl in Cambridge 54 Jahre lang und arbeitete vor allem über Strömungen -- die Navier-Stokes-Gleichungen tragen seinen Namen zu Recht. Der Satz von Stokes dagegen nicht: Lord Kelvin teilte ihn ihm 1850 brieflich mit, Stokes machte eine Prüfungsaufgabe daraus, und weil Generationen von Studenten ihn so kennenlernten, blieb der Name an ihm hängen. Mehr zu Stokes →

Der Trick, auf dem alles beruht

Bevor es losgeht, lohnt sich der eine logische Schritt, den viele Darstellungen überspringen -- denn ohne ihn wirkt die Überführung wie Zauberei.

Beide Sätze liefern zunächst nur eine Gleichheit zweier Integrale. Daraus folgt noch nicht, dass die Integranden gleich sind: Zwei verschiedene Funktionen können über einem bestimmten Gebiet dasselbe Integral haben.

Entscheidend ist deshalb, dass die Maxwell-Gleichungen für jedes beliebige Volumen und jede beliebige Fläche gelten. Und dafür gibt es ein Standardargument:

Wenn \(\int_V f\,\mathrm{d}V = 0\) für jedes Volumen \(V\) gilt, dann ist \(f \equiv 0\).

Warum? Angenommen, \(f\) wäre an irgendeinem Punkt positiv. Da \(f\) stetig ist, wäre es dann auch in einer kleinen Umgebung dieses Punktes positiv -- und legt man das Volumen genau um diese Umgebung, wäre das Integral größer als null. Widerspruch. Dasselbe gilt für negative Werte.

Die Beliebigkeit des Integrationsgebiets ist also der eigentliche Hebel. Sie erlaubt den Sprung von einer Aussage über Bilanzen zu einer Aussage über jeden einzelnen Punkt im Raum.

Gleichung 1: Das Gaußsche Gesetz

Die Integralform aus Teil 3:

Schritt 1 -- die linke Seite mit dem Gaußschen Integralsatz in ein Volumenintegral verwandeln:

Schritt 2 -- auch die rechte Seite als Volumenintegral schreiben. Dafür braucht es die Ladungsdichte \(\rho\), also Ladung pro Volumen:

Schritt 3 -- beides zusammen und alles auf eine Seite:

Schritt 4 -- das gilt für jedes Volumen, also muss der Integrand verschwinden:

In Worten: Die Quellstärke des elektrischen Feldes an einem Punkt ist die Ladungsdichte an diesem Punkt. Aus „umschlossene Ladung" ist „Ladung genau hier" geworden.

Gleichung 2: Keine magnetischen Quellen

Dieselben vier Schritte, nur mit null auf der rechten Seite:

Das Magnetfeld hat nirgends eine Quelle -- nicht nur netto über eine Hülle, sondern an keinem einzigen Punkt.

Gleichung 3: Das Induktionsgesetz

Jetzt der Satz von Stokes. Die Integralform aus Teil 11:

Schritt 1 -- links Stokes anwenden:

Schritt 2 -- die Zeitableitung nach innen ziehen. Das ist erlaubt, weil wir eine ruhende, feste Fläche betrachten; nur dann wird aus \(\mathrm{d}/\mathrm{d}t\) die partielle Ableitung \(\partial/\partial t\):

Schritt 3 -- zusammenfassen und die Beliebigkeit der Fläche nutzen:

Hier zeigt sich übrigens sauber, was in Teil 11 als „zwei Mechanismen, ein Gesetz" auftauchte: Die Differentialform beschreibt nur den Fall des veränderlichen Feldes bei ruhender Fläche. Der bewegte Leiter steckt nicht darin -- er kommt über die Lorentzkraft ins Spiel. Die Integralform fasst beide Fälle zusammen, die Differentialform trennt sie sauber. Das ist kein Mangel, sondern Präzision.

Gleichung 4: Durchflutung plus Verschiebungsstrom

Wieder Stokes links, und rechts der Strom als Flächenintegral der Stromdichte \(\vec J\) aus Teil 6, \(I = \int_A \vec J \cdot \mathrm{d}\vec A\):

Und damit:

Die Übersetzungstabelle

Die Faustregel lautet: Die Integralform rechnet mit Symmetrie, die Differentialform rechnet mit Randbedingungen. Wo eine Kugel-, Zylinder- oder Ebenensymmetrie vorliegt, ist die Integralform in drei Zeilen fertig. Sobald die Geometrie unregelmäßig wird, hilft sie nicht mehr weiter -- dann braucht man die lokale Fassung, und genau die steckt in jedem Feldsimulationsprogramm.

Drei Rechnungen in Differentialform

1. Die Poisson-Gleichung und die Raumladungszone

Setzt man \(\vec E = -\nabla \phi\) in Gleichung 1 ein -- das Feld ist der negative Gradient des Potentials --, entsteht die Poisson-Gleichung:

Siméon Denis Poisson (1781--1840) verallgemeinerte die nach Laplace benannte Gleichung auf den Fall mit Quellen -- also genau auf den Fall, in dem Ladung vorhanden ist. Aus einfachen Verhältnissen stammend, wurde er von Laplace und Lagrange gefördert und hinterließ neben der Gleichung auch die Poisson-Verteilung der Statistik. Mehr zu Poisson →

Eindimensional, mit konstanter Dotierung \(N_D\) auf der n-Seite eines pn-Übergangs (\(\rho = q N_D\)):

Einmal integrieren liefert das Feld, zweimal das Potential:

Das Feld ist linear, das Potential parabolisch -- die charakteristische Dreiecksform des Feldverlaufs in der Raumladungszone, aus zwei Integrationen einer Differentialgleichung. Mit der Integralform wäre man hier nicht weit gekommen, weil die Ladungsdichte ortsabhängig ist. Die vollständige Rechnung bis zur Zonenbreite steht in der Halbleiterphysik.

2. Wie schnell ein Leiter Ladung loswird

Diese Rechnung kombiniert zwei lokale Gleichungen und liefert ein Ergebnis, das man kaum glaubt.

Ausgangspunkt sind die Kontinuitätsgleichung aus Teil 6, das ohmsche Gesetz in Feldform und Gleichung 1:

Einsetzen: \(\nabla\cdot\vec J = \sigma\,\nabla\cdot\vec E = \sigma\rho/\varepsilon\), also

Eine Ladungsanhäufung im Innern eines Leiters zerfällt also exponentiell. Für Kupfer (\(\sigma = 5{,}96\cdot10^7\) S/m):

Das ist der rechnerische Grund für die Aussage „im Leiterinneren ist das Feld null": Jede Ladung, die dort hineingerät, verteilt sich praktisch instantan auf die Oberfläche.

Ehrlicherweise gehört ein Vorbehalt dazu: \(10^{-19}\) Sekunden sind kürzer als die mittlere Stoßzeit der Elektronen von etwa \(10^{-14}\) s. Damit ist die Voraussetzung \(\vec J = \sigma\vec E\) selbst nicht mehr gültig -- das Drude-Modell setzt voraus, dass zwischen den Stößen gemittelt werden darf. Die reale Zeitkonstante liegt bei der Stoßzeit. Die Rechnung sagt also nicht „\(10^{-19}\) Sekunden", sondern: so schnell, dass die Grenze woanders liegt.

3. Das Magnetfeld im Leiter selbst

Gleichung 4 im statischen Fall, \(\nabla \times \vec B = \mu_0 \vec J\), angewandt auf einen zylindrischen Draht mit Radius \(R\) und gleichmäßiger Stromdichte \(J = I/\pi R^2\):

Innerhalb des Leiters wächst das Feld also linear mit dem Abstand von der Achse -- außen fällt es bekanntlich mit \(1/r\). Auf der Oberfläche treffen sich beide Verläufe beim selben Wert.

Der Verlauf hat eine handfeste Folge: Er ist der Grund, warum die Kraftwirkung zwischen den Litzen eines dicken Leiters bei Kurzschlussströmen nach innen wirkt -- der sogenannte Pinch-Effekt, der Sammelschienen zusammendrückt und in der Fusionsforschung gezielt genutzt wird.

Warum die Differentialform meistens gewinnt

Drei Gründe, in der Reihenfolge ihrer praktischen Bedeutung:

Sie ist lokal. Eine Aussage über jeden Punkt lässt sich mit Materialgrenzen, ortsabhängiger Dotierung oder unregelmäßiger Geometrie kombinieren. Eine Bilanz über eine Hülle nicht.

Sie ist rechenbar. Jedes Feldsimulationsprogramm -- ob für Antennen, Motoren oder Halbleiter -- diskretisiert die Differentialform. Die Integralform braucht eine Symmetrie, die der Computer nicht voraussetzen kann.

Sie ist präzise. Wie oben bei Gleichung 3 gesehen, trennt sie Fälle, die die Integralform zusammenwirft. Wer wissen will, warum etwas gilt, kommt an ihr nicht vorbei.

Die Integralform bleibt trotzdem unersetzlich -- für die Fälle mit Symmetrie, und weil sie sich anschaulich lesen lässt. Man sollte beide können und wissen, wann welche dran ist.

Weiterführendes

• Mathe-Anhang: Nabla, Divergenz, Rotation -- die Operatoren und die zwei Integralsätze
• Maxwell-Gleichungen -- Teil 14, beide Formen nebeneinander
• Herleitung: Wellengleichung -- eine Rechnung, die nur in Differentialform funktioniert
• Herleitung: Poynting-Satz -- ebenfalls
• Persönlichkeiten -- die Biografien zu Gauß, Stokes und Poisson