Helmholtz-Spulen: Herleitung, Formeln und Rechner

Eintrag in der Formelsammlung. Die Herleitung setzt auf Biot-Savart und Ampère aus der Elektrodynamik-Serie auf.

Wer ein bekanntes, gleichmäßiges Magnetfeld braucht, landet fast zwangsläufig bei der Helmholtz-Anordnung: zwei gleiche Spulen auf gemeinsamer Achse, gleichsinnig vom selben Strom durchflossen, im Abstand ihres eigenen Radius. Das Ergebnis ist ein Feld, das im Bereich zwischen den Spulen erstaunlich konstant ist -- und sich aus Geometrie und Strom ohne Kalibrierung ausrechnen lässt.

Genau das macht sie im Labor so nützlich: Hall-Sensoren vermessen, Magnetometer prüfen, das Erdmagnetfeld gezielt kompensieren oder eine definierte Störung aufprägen. Der Aufbau ist simpel genug, dass man ihn an einem Nachmittag wickelt.

Ausgangspunkt: das Feld einer einzelnen Spule

Biot-Savart liefert für eine Kreisschleife mit Radius \(R\) und \(N\) Windungen, durchflossen vom Strom \(I\), das Feld auf der Symmetrieachse im Abstand \(x\) vom Spulenmittelpunkt:

\[B(x) = \frac{\mu_0\, N\, I\, R^2}{2\left(R^2 + x^2\right)^{3/2}}\]

Dabei ist \(\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7}\ \mathrm{Vs/(Am)}\) die magnetische Feldkonstante. Für \(x = 0\) ergibt sich der bekannte Sonderfall \(B = \mu_0 N I / (2R)\) im Spulenzentrum.

Diese Kurve hat ein Maximum in der Spulenebene und fällt nach beiden Seiten ab. Eine Spule liefert also nirgends ein homogenes Feld -- direkt im Zentrum ist die Steigung zwar null, die Krümmung aber deutlich negativ.

Zwei Spulen: die Krümmung wegkonstruieren

Der Trick besteht darin, eine zweite, identische Spule so zu platzieren, dass ihre Krümmung die der ersten aufhebt. Beide Spulen stehen koaxial im Abstand \(d\) und werden gleichsinnig bestromt. Zählt man \(z\) ab der Mitte zwischen beiden, addieren sich die Beiträge:

\[B(z) = \frac{\mu_0 N I R^2}{2}\left[\frac{1}{\left(R^2 + \left(z-\tfrac{d}{2}\right)^2\right)^{3/2}} + \frac{1}{\left(R^2 + \left(z+\tfrac{d}{2}\right)^2\right)^{3/2}}\right]\]

Aus Symmetriegründen verschwinden in der Mitte alle ungeraden Ableitungen -- die Anordnung ist spiegelsymmetrisch zu \(z = 0\). Die erste nicht automatisch verschwindende Größe ist die zweite Ableitung. Und genau die kann man durch geschickte Wahl von \(d\) zu null machen.

Die Helmholtz-Bedingung

Mit der Abkürzung \(a = d/2\) betrachten wir den Beitrag einer Spule, \(f(z) = \left(R^2 + (z-a)^2\right)^{-3/2}\). Zweimal ableiten:

\[f'(z) = -3(z-a)\left(R^2 + (z-a)^2\right)^{-5/2}\]
\[f''(z) = -3\left(R^2 + (z-a)^2\right)^{-5/2} + 15(z-a)^2\left(R^2 + (z-a)^2\right)^{-7/2}\]

An der Stelle \(z = 0\) zusammengefasst:

\[f''(0) = \left(R^2 + a^2\right)^{-7/2}\left(12a^2 - 3R^2\right)\]

Die zweite Spule liefert aus Symmetriegründen denselben Wert. Die Summe verschwindet also genau dann, wenn die Klammer null wird:

\[12a^2 = 3R^2 \quad\Longrightarrow\quad a = \frac{R}{2} \quad\Longrightarrow\quad \boxed{d = R}\]

Der Spulenabstand muss gleich dem Spulenradius sein. Das ist die gesamte Helmholtz-Bedingung -- eine erstaunlich einfache Regel für ein Ergebnis, das man ihr nicht ansieht.

Das Feld im Zentrum

Setzt man \(d = R\) und \(z = 0\) in die Summenformel ein:

\[B_0 = \mu_0 N I R^2 \left(R^2 + \tfrac{R^2}{4}\right)^{-3/2} = \left(\frac{4}{5}\right)^{3/2}\frac{\mu_0 N I}{R} \approx 0{,}7155\,\frac{\mu_0 N I}{R}\]

Dabei ist \(N\) die Windungszahl pro Spule. Zur Einordnung: 100 Windungen bei 1 A auf 10 cm Radius ergeben rund 0,9 mT -- etwa das Achtzehnfache des Erdmagnetfelds von circa 50 µT.

Wie homogen ist das Feld wirklich?

Da die zweite Ableitung verschwindet und alle ungeraden Ordnungen aus Symmetriegründen ohnehin wegfallen, ist der erste störende Term vierter Ordnung:

\[\frac{B(z)}{B_0} \approx 1 - \frac{144}{125}\left(\frac{z}{R}\right)^4\]

Weil \(z/R\) mit der vierten Potenz eingeht, bleibt die Abweichung lange winzig und wächst dann rasch. Konkret auf der Achse:

Abstand von der Mitte Abweichung
\(z = 0{,}1\,R\) rund 0,01 %
\(z = 0{,}2\,R\) rund 0,2 %
\(z = 0{,}3\,R\) rund 0,8 %
\(z = 0{,}5\,R\) rund 5 %

Als Faustregel: Innerhalb eines Bereichs von etwa \(\pm 0{,}3\,R\) um die Mitte bleibt das Feld auf besser als 1 % konstant. Bei 10 cm Spulenradius ist das ein nutzbarer Bereich von rund 6 cm Länge -- reichlich Platz für einen Sensor auf einer Platine.

Quer zur Achse verhält es sich ähnlich; das brauchbare Volumen ist grob kugelförmig. Der Rechner unten gibt die 1-%- und die 0,1-%-Grenze für deine Geometrie direkt aus.

Rechner

Helmholtz-Spulenpaar auslegen
Spulenabstand d = R—
Feld in der Mitte B0—
… im Vergleich zum Erdfeld (50 µT)—
homogen auf 1 %—
homogen auf 0,1 %—
Drahtlänge (beide Spulen)—
Widerstand (beide, in Reihe)—
nötige Spannung—
Verlustleistung—
Stromdichte im Draht—
dafür nötiger Strom: —
Feldverlauf auf der Achse, bezogen auf die Mitte:

Widerstand für Kupfer bei 20 °C (ρ = 1,68·10−8 Ωm). Der Rechner nimmt dünne Wicklungen an, also Wickelquerschnitt klein gegen R.

Praktischer Aufbau

Windungszahl statt Strom. Die Feldstärke steigt linear mit \(N\) und mit \(I\) -- die Verlustleistung dagegen mit \(I^2\). Mehr Windungen sind deshalb fast immer die bessere Wahl als mehr Strom, solange der Wickelraum es hergibt. Der Rechner zeigt den Effekt sofort: Wer \(N\) verdoppelt und \(I\) halbiert, behält dasselbe Feld bei einem Viertel der Verlustleistung.

Der Wickelquerschnitt sollte klein bleiben. Die Formeln oben gelten für dünne Ringe. Wickelt man einen dicken Wulst, ist nicht mehr klar, welcher Radius und welcher Abstand eigentlich gemeint sind, und die Homogenität leidet. Als Richtwert: Wickelbreite und -höhe zusammen deutlich unter \(0{,}1\,R\) halten.

Beide Spulen in Reihe schalten. Dann fließt garantiert derselbe Strom. Bei Parallelschaltung sorgen schon kleine Widerstandsunterschiede für unterschiedliche Ströme -- und damit für ein unsymmetrisches, schiefes Feld, das genau die Homogenität zerstört, wegen der man die Anordnung gewählt hat.

Auf den Wickelsinn achten. Falsch herum angeschlossen, subtrahieren sich die Felder statt sich zu addieren, und in der Mitte bleibt fast nichts übrig. Diese Anti-Helmholtz-Anordnung ist übrigens kein Fehler, sondern selbst ein Werkzeug: Sie erzeugt einen sehr linearen Feldgradienten durch den Nullpunkt.

Erdfeld nicht vergessen. Die 50 µT des Erdmagnetfelds sind immer dabei und addieren sich vektoriell. Bei kleinen Feldern ist das der dominierende Fehler -- entweder man misst es vorher aus und rechnet es heraus, oder man kompensiert es mit einem zweiten Spulenpaar. Ebenso stören Stahlmöbel, Netztrafos und Lautsprecher in der Nähe.

Wärme im Auge behalten. Die Verlustleistung heizt den Draht, der Widerstand von Kupfer steigt um rund 0,4 % pro Kelvin, und bei konstanter Spannung sinkt dadurch der Strom -- das Feld driftet also während der Messung weg. Wer es genau braucht, speist aus einer Stromquelle statt aus einer Spannungsquelle. Als Faustwert für frei liegende Luftspulen gelten 2 bis 4 A/mm² als unkritisch.

Was bleibt hängen

Weiterführendes

Erstellt: 30.07.2026