Gegenkopplung als Regelkreis

Teil 3 der Serie Operationsverstärker. Voraussetzung: Teil 1 und Teil 2.

In Teil 2 haben wir mit dem idealen OPV gerechnet: unendliche Verstärkung, \(U_+ = U_-\) exakt. Echte OPVs haben eine endliche, schwankende Verstärkung. Trotzdem stimmen die Formeln aus Teil 2 am Steckbrett auf drei, vier Stellen. Wie kann eine Schaltung genauer sein als das Bauteil, aus dem sie besteht?

Die Antwort ist die Gegenkopplung – und dieser Teil schaut sie sich genau an. Er ist der wichtigste der Serie: Alles, was später über Bandbreite, Stabilität und Regler kommt, baut darauf auf.

Das Blockschaltbild

Jede gegengekoppelte Schaltung lässt sich auf dasselbe Bild reduzieren:

Regelkreis: Eingang minus rückgeführter Anteil ergibt die Differenz, die mit A verstärkt wird; der Ausgang wird über beta zurückgeführt

Die Grundgleichung

Zwei Gleichungen beschreiben das Bild vollständig:

\[U_a = A \cdot U_d \qquad\text{und}\qquad U_d = U_e - \beta \cdot U_a\]

Die zweite in die erste eingesetzt:

\[U_a = A \cdot (U_e - \beta U_a) \quad\Rightarrow\quad U_a \cdot (1 + A\beta) = A \cdot U_e\]
\[\boxed{G = \frac{U_a}{U_e} = \frac{A}{1 + A\beta}}\]

\(G\) ist die Verstärkung der ganzen Schaltung, die Verstärkung mit Gegenkopplung (englisch closed-loop gain). Das Produkt im Nenner bekommt einen eigenen Namen.

Die Schleifenverstärkung

\[T = A \cdot \beta\]

heißt Schleifenverstärkung (englisch loop gain). Man kann sie sich anschaulich vorstellen: Schneide die Rückführung an irgendeiner Stelle auf, schicke ein Signal hinein und verfolge es einmal im Kreis – durch \(\beta\), durch den Summierpunkt, durch \(A\). Es kommt um den Faktor \(T\) verstärkt (und invertiert) wieder an. \(T\) sagt, wie stark sich die Schleife gegen Abweichungen wehrt.

Mit \(T\) lässt sich die Grundgleichung so umformen, dass ihre Bedeutung sichtbar wird:

\[G = \frac{A}{1 + A\beta} = \frac{1}{\beta} \cdot \frac{A\beta}{1 + A\beta} = \underbrace{\frac{1}{\beta}}_{\text{Ideal}} \cdot \underbrace{\frac{T}{1 + T}}_{\text{Korrektur}}\]

Der erste Faktor \(1/\beta\) hängt nur vom Rückführnetzwerk ab – also von Widerständen. Das ist genau die Formel aus Teil 2: Für den nichtinvertierenden Verstärker ist \(1/\beta = (R_1 + R_2)/R_1 = 1 + R_2/R_1\).

Der zweite Faktor \(T/(1+T)\) ist die Korrektur für den realen OPV. Ist \(T\) groß, liegt er sehr nahe an 1.

Wie groß ist der Fehler?

Für große \(T\) gilt \(\frac{T}{1+T} = 1 - \frac{1}{1+T} \approx 1 - \frac{1}{T}\). Der relative Fehler gegenüber der idealen Formel ist also

\[\boxed{\varepsilon \approx \frac{1}{T} = \frac{1}{A\beta}}\]

Beispiel: LM324 mit \(A = 100\,000\) als nichtinvertierender Verstärker mit \(V = 10\), also \(\beta = 0{,}1\):

\[T = 100\,000 \cdot 0{,}1 = 10\,000 \qquad\Rightarrow\qquad \varepsilon \approx 0{,}01\,\%\]

Statt 10,000 verstärkt die Schaltung 9,999. Das ist genauer als jeder Widerstand, den wir einbauen – die Toleranz der Widerstände dominiert, nicht der OPV.

Man sieht hier auch den ersten Preis der Gegenkopplung: Je mehr Verstärkung man der Schaltung abverlangt, desto kleiner wird \(\beta\) und damit \(T\). Ein Verstärker mit \(V = 1000\) hätte nur noch \(T = 100\) und einen Fehler von 1 %.

Unempfindlich gegen den OPV

Die eigentliche Stärke zeigt sich, wenn \(A\) schwankt – mit der Temperatur, von Chip zu Chip, mit der Aussteuerung. Wie stark ändert sich dann \(G\)?

Wir leiten \(G = A/(1 + A\beta)\) nach \(A\) ab (Quotientenregel):

\[\frac{dG}{dA} = \frac{(1 + A\beta) - A\beta}{(1 + A\beta)^2} = \frac{1}{(1 + A\beta)^2}\]

Interessant ist nicht die absolute, sondern die relative Änderung. Dazu multiplizieren wir mit \(A/G = 1 + A\beta\):

\[\frac{dG / G}{dA / A} = \frac{dG}{dA} \cdot \frac{A}{G} = \frac{1}{(1 + A\beta)^2} \cdot (1 + A\beta) = \frac{1}{1 + A\beta} \quad\Rightarrow\quad \boxed{\frac{dG}{G} = \frac{1}{1 + T} \cdot \frac{dA}{A}}\]

Eine relative Änderung von \(A\) kommt in \(G\) um den Faktor \(1 + T\) abgeschwächt an. Halbiert sich \(A\) (−50 %), ändert sich \(G\) bei \(T = 10\,000\) nur um 0,005 %.

Verstärkung mit Gegenkopplung über der Leerlaufverstärkung: Oberhalb von A ≈ 10/β bleibt sie praktisch konstant

Das Diagramm zeigt dasselbe grafisch: \(A\) läuft über vier Zehnerpotenzen, aber sobald \(A\) deutlich größer als \(1/\beta\) ist, bleibt die Verstärkung der Schaltung stehen. Englisch heißt dieser Effekt treffend desensitivity: Die Schaltung wird gegenüber dem Verstärker unempfindlich.

Das war Harold Blacks Ziel 1927. Telefonverstärker auf Fernleitungen brauchten Röhren, deren Verstärkung mit Alter und Heizspannung driftete. Black opferte bewusst Verstärkung – er baute Röhren mit viel zu viel Verstärkung und koppelte das meiste wieder zurück – und bekam dafür Verstärker, die sich über Jahre nicht änderten.

Was Gegenkopplung sonst noch kann

Dieselbe Rechnung funktioniert nicht nur für \(A\). Jede Störung, die innerhalb der Schleife entsteht, wird um \(1 + T\) unterdrückt.

Verzerrungen

Angenommen, die Ausgangsstufe des Verstärkers ist nicht linear: Sie addiert zum idealen Ausgang eine Fehlerspannung \(U_v\) hinzu, etwa weil ein Transistor erst ab 0,65 V leitet. Dann gilt

\[U_a = A \cdot U_d + U_v \qquad\text{mit}\qquad U_d = U_e - \beta U_a\]
\[\Rightarrow\quad U_a = \frac{A \cdot U_e + U_v}{1 + A\beta} = G \cdot U_e + \frac{U_v}{1 + T}\]

Die Störung kommt am Ausgang durch \(1 + T\) geteilt an. Bei \(T = 10\,000\) werden aus 0,65 V Fehler 65 µV. Das ist der Grund, warum man die Endstufe eines Leistungsverstärkers in die Gegenkopplung legt – Versuch 6 unten zeigt es am Steckbrett.

Wichtig: Das gilt nur für Störungen, die innerhalb der Schleife entstehen. Ein Fehler im Rückführnetzwerk selbst – ein falscher Widerstand – wird nicht korrigiert, sondern exakt übernommen. Die Gegenkopplung macht die Schaltung so genau wie \(\beta\), nicht genauer.

Ausgangswiderstand

Ein realer OPV hat einen Ausgangswiderstand \(R_o\) von einigen 10 Ω: Wird er belastet, sinkt die Ausgangsspannung um \(I_L \cdot R_o\). Das ist eine Störung am Ausgang wie eben, mit \(U_v = -I_L \cdot R_o\):

\[U_a = G \cdot U_e - I_L \cdot \frac{R_o}{1 + T}\]

Die Schaltung wirkt nach außen wie eine Spannungsquelle mit dem Innenwiderstand

\[\boxed{R_{a,\text{eff}} = \frac{R_o}{1 + T}}\]

Beim Folger (\(\beta = 1\), \(T = 100\,000\)) werden aus 50 Ω etwa 0,5 mΩ. Das ist der Grund, warum der Folger in Teil 1 seine 3 V auch mit 1 kΩ Last unverändert hielt.

Eingangswiderstand

Beim nichtinvertierenden Verstärker ist der Effekt umgekehrt. Zwischen den Eingängen des OPV liegt ein (sehr großer) Widerstand \(R_d\), durch den der Strom \(I_e = U_d / R_d\) fließt. Weil die Gegenkopplung \(U_d\) auf einen winzigen Bruchteil der Eingangsspannung drückt, nämlich \(U_d = U_e / (1 + T)\), fließt auch fast kein Strom:

\[R_{e,\text{eff}} = \frac{U_e}{I_e} = \frac{U_e}{U_d / R_d} = R_d \cdot (1 + T)\]

Der Eingang wird um den Faktor \(1 + T\) hochohmiger.

Vier Arten, rückzukoppeln

Ob die Gegenkopplung einen Widerstand verkleinert oder vergrößert, hängt davon ab, was sie am Ausgang misst und wie sie es am Eingang einspeist:

am Ausgang wird gemessen … Wirkung am Ausgang Beispiel
die Spannung (Teiler parallel zum Ausgang) \(R_a\) wird kleiner → Spannungsquelle alle Schaltungen aus Teil 2
der Strom (Shunt in Reihe zur Last) \(R_a\) wird größer → Stromquelle Konstantstromquelle, Stromverstärker für Spulen
am Eingang wird eingespeist … Wirkung am Eingang Beispiel
in Reihe zur Quelle (Plus-Eingang, Spannungsvergleich) \(R_e\) wird größer nichtinvertierender Verstärker
parallel zur Quelle (Stromsumme am Knoten) \(R_e\) wird kleiner → virtuelle Masse invertierender Verstärker, Transimpedanz

Die Regel dahinter: Die Gegenkopplung hält die Größe konstant, die sie misst. Misst sie die Ausgangsspannung, verteidigt sie die Spannung gegen jede Last – der Ausgang wird niederohmig. Misst sie den Strom, verteidigt sie den Strom – der Ausgang wird hochohmig, wie es sich für eine Stromquelle gehört.

Der invertierende Verstärker im Regelkreis

Beim nichtinvertierenden Verstärker passt das Blockbild eins zu eins. Beim invertierenden ist es etwas verzwickter, weil Eingangssignal und Rückführung beide über Widerstände am Minus-Eingang ankommen. Rechnen wir es ohne die goldenen Regeln, nur mit endlichem \(A\).

Am Minus-Eingang überlagern sich (kein Strom in den OPV) zwei Spannungsteiler:

\[U_- = U_e \cdot \frac{R_2}{R_1 + R_2} + U_a \cdot \frac{R_1}{R_1 + R_2}\]

Der Plus-Eingang liegt auf Masse, also \(U_a = -A \cdot U_-\). Mit \(\beta = R_1/(R_1 + R_2)\):

\[U_a = -A \cdot \left( U_e \cdot \frac{R_2}{R_1 + R_2} + \beta U_a \right) \quad\Rightarrow\quad U_a \cdot (1 + A\beta) = -A \cdot \frac{R_2}{R_1 + R_2} \cdot U_e\]
\[G = -\frac{R_2}{R_1 + R_2} \cdot \frac{A}{1 + A\beta} = -\frac{R_2}{R_1 + R_2} \cdot \frac{1}{\beta} \cdot \frac{T}{1+T} = -\frac{R_2}{R_1} \cdot \frac{T}{1 + T}\]

Für großes \(T\) ist das die bekannte Formel \(-R_2/R_1\). Bemerkenswert ist aber: \(\beta\) ist für beide Verstärker gleich, nämlich \(R_1/(R_1 + R_2)\). Der invertierende Verstärker mit \(V = -10\) und der nichtinvertierende mit \(V = 11\) haben dasselbe \(\beta = 1/11\) und damit dieselbe Schleifenverstärkung.

Signalverstärkung und Rauschverstärkung

Daraus folgt eine Unterscheidung, die in Datenblättern ständig auftaucht:

Das erklärt die Beobachtung aus Versuch 3: Der invertierende Verstärker mit \(V = -10\) verstärkt sein Signal 10-fach, seinen Offset aber 11-fach. Und es ist der Grund, warum ein invertierender Verstärker mit \(V = -1\) eine Rauschverstärkung von 2 hat und damit in Bandbreite und Stabilität eher einem Verstärker mit \(V = 2\) gleicht (Teil 5 und Teil 6).

Der Haken

Bisher klingt Gegenkopplung nach einem Geschenk ohne Gegenleistung. Es gibt zwei Haken.

Erstens kostet sie Verstärkung. Von \(A = 100\,000\) bleiben bei \(\beta = 0{,}1\) nur 10 übrig. Die übrigen Faktor 10 000 werden als Schleifenverstärkung „verbraucht“ – sie sind es, die die Genauigkeit erkaufen. Will man mehr Verstärkung, hat man weniger Genauigkeit.

Zweitens ist \(A\) nicht konstant über der Frequenz. Bei jedem OPV fällt die Leerlaufverstärkung schon ab wenigen Hertz ab, beim LM324 auf 1 bei etwa 1 MHz. Damit sinkt auch \(T\) – und mit \(T\) alle Vorteile dieses Teils: Genauigkeit, Linearität, niedriger Ausgangswiderstand. Bei hohen Frequenzen ist ein gegengekoppelter Verstärker weniger perfekt als bei Gleichspannung. Wie viel weniger, rechnet Teil 5 aus.

Und mit dem Abfall kommt eine Phasenverschiebung. Wird sie so groß, dass das zurückgeführte Signal nicht mehr abgezogen, sondern addiert wird, wird aus der Gegenkopplung eine Mitkopplung – und der Verstärker schwingt. Das ist das Thema von Teil 6.

Versuch 6: Die Endstufe in der Schleife

Dieser Versuch zeigt den wichtigsten praktischen Nutzen der Gegenkopplung: Sie bügelt die Fehler einer nichtlinearen Stufe glatt – aber nur, wenn die Stufe innerhalb der Schleife sitzt.

Ein OPV liefert nur wenige 10 mA. Für mehr Strom setzt man eine Gegentaktstufe aus einem NPN- und einem PNP-Transistor dahinter: Der obere liefert positiven Strom, der untere negativen. Das Problem: Ein Bipolartransistor leitet erst, wenn zwischen Basis und Emitter etwa 0,65 V liegen. Um den Nullpunkt herum gibt es eine Totzone, in der keiner der beiden leitet.

Versuchsaufbau: OPV mit BC337/BC327-Gegentaktstufe und 1-kΩ-Last; die Rückführung zum Minus-Eingang kommt entweder vom OPV-Ausgang (A) oder von den Emittern (B)

Aufbau: LM324 an ±9 V, Poti-Schleifer an den Plus-Eingang. Vom OPV-Ausgang (Punkt A) direkt auf beide Basen. Kollektor des BC337 an +9 V, Kollektor des BC327 an −9 V, beide Emitter verbunden (Punkt B), von dort 1 kΩ gegen Masse.

Versuch 6 auf dem Steckbrett, Variante B: OPV-Ausgang (A) auf die Basen, BC337 oben und BC327 unten mit Brücken über den Graben verbunden, Emitter (B) über den orangefarbenen Draht auf den Minus-Eingang, 1 kΩ Last gegen Masse

Die Transistoren richtig herum stecken: Im Bild kommen von links nach rechts E, B, C (Emitter, Basis, Kollektor). Beim BC337 und BC327 heißt das: die flache Seite zeigt von dir weg, nach hinten. Von der flachen Seite aus gesehen ist die Reihenfolge C, B, E. Der BC337 steckt oben, der BC327 unten; je eine kurze Brücke über den Mittelgraben verbindet die beiden Basen und die beiden Emitter. Ein falsch herum gesteckter Transistor geht hier nicht kaputt, die Schaltung funktioniert dann nur nicht.

Variante A – Transistoren außerhalb der Schleife: Minus-Eingang mit Punkt A verbinden. Auf dem Brett: den orangefarbenen Draht von B entfernen und stattdessen eine kurze Brücke vom Minus-Eingang (Spalte 8) zum Ausgang (Spalte 9) stecken. Der OPV arbeitet als Folger, die Transistoren hängen nur hinten dran.

  1. Stell nacheinander −2 V, −1 V, −0,5 V, 0 V, +0,5 V, +1 V, +2 V am Eingang ein und miss \(U_{aus}\) an Punkt B.
  2. Erwartet: Zwischen etwa −0,65 V und +0,65 V bleibt der Ausgang bei 0 V. Darüber hinkt er dem Eingang um 0,65 V hinterher: Bei +2 V Eingang stehen nur etwa +1,35 V am Ausgang.

Variante B – Transistoren in der Schleife: Minus-Eingang jetzt mit Punkt B verbinden.

  1. Dieselben Messpunkte. Jetzt folgt \(U_{aus}\) dem Eingang auf Millivolt genau, auch bei ±0,5 V.
  2. Miss zusätzlich Punkt A. Der OPV-Ausgang steht jetzt 0,65 V über dem Eingang (bei positiven Spannungen) bzw. darunter (bei negativen). Der OPV hat die Totzone erkannt und gleicht sie aus, ohne dass ihm jemand gesagt hat, wie groß sie ist.

Gemessene Kennlinie: Mit Rückführung von A hat die Stufe eine Totzone von ±0,65 V, mit Rückführung von B folgt der Ausgang dem Eingang exakt

Mit Oszilloskop und Funktionsgenerator (Sinus, 100 Hz, ±2 V) sieht man in Variante A deutliche Knicke in jedem Nulldurchgang – die Übernahmeverzerrung, die frühe Transistorverstärker berüchtigt machte. In Variante B ist der Sinus sauber. Bei einigen kHz tauchen auch in Variante B kleine Spitzen in den Nulldurchgängen auf: Der LM324 braucht einige Mikrosekunden, um seinen Ausgang über die 1,3 V Totzone zu schieben. Das ist der Frequenzgang aus Teil 5, der sich hier zum ersten Mal zeigt.

Genau dieses Prinzip steckt im Stromverstärker für Spulen: Seine Darlington-Endstufe hat sogar eine Totzone von rund ±1,3 V und keinerlei Ruhestrom – und trotzdem folgt der Spulenstrom dem Sollwert, weil die Endstufe in der Schleife liegt.

Was bleibt hängen

Ausblick

Offset, Biasströme und Aussteuerbereich: was die goldenen Regeln verschweigen.

Weiter mit Teil 4: Gleichspannungsfehler →

Weiterführendes

Erstellt: 19.10.2026