Frequenzgang: wie schnell ist ein OPV?

Teil 5 der Serie Operationsverstärker. Voraussetzung: Teil 3 (Schleifenverstärkung, Rauschverstärkung).

Bisher haben wir die Leerlaufverstärkung \(A\) als feste Zahl behandelt: 100 000 beim LM324. Das stimmt nur für Gleichspannung und sehr langsame Signale. Schon ab etwa 12 Hz beginnt \(A\) zu fallen, und bei 1,2 MHz ist sie auf 1 gesunken. Dieser Teil erklärt, warum das so gebaut ist, was es für die Bandbreite einer Schaltung bedeutet – und warum große Signale noch eine zweite, härtere Grenze haben.

Kurz zur Mathematik: der Tiefpass erster Ordnung

Alles in diesem Teil beruht auf einer einzigen Formel, dem Tiefpass erster Ordnung. Wir leiten sie am einfachsten Beispiel her, dem RC-Glied: Widerstand \(R\) in Reihe, Kondensator \(C\) gegen Masse, Ausgang am Kondensator.

Für Wechselspannung rechnet man mit komplexen Widerständen: Der Kondensator hat bei der Kreisfrequenz \(\omega = 2\pi f\) den Widerstand \(Z_C = \frac{1}{j\omega C}\), wobei \(j\) die imaginäre Einheit ist (\(j^2 = -1\)). Das \(j\) trägt die Information, dass Strom und Spannung am Kondensator um 90° gegeneinander verschoben sind. Mit der Spannungsteilerformel:

\(f_g\) heißt Grenzfrequenz. Aus der komplexen Zahl \(H\) lesen wir zwei reelle Größen ab:

• den Betrag – um welchen Faktor die Amplitude schrumpft: \(|H| = \dfrac{1}{\sqrt{1 + (f/f_g)^2}}\)
• die Phase – um wie viel die Ausgangsschwingung der Eingangsschwingung hinterherläuft: \(\varphi = -\arctan(f/f_g)\)

Für \(f \gg f_g\) wird \(|H| \approx f_g/f\): Pro Zehnfachem der Frequenz fällt der Betrag auf ein Zehntel, also um 20 dB pro Dekade, und die Phase nähert sich −90°. Trägt man Betrag (in dB) und Phase über einer logarithmischen Frequenzachse auf, heißt das ein Bode-Diagramm – benannt nach Hendrik Bode, der bei den Bell Labs die Theorie der Gegenkopplung weiterentwickelte, die Harold Black dort begonnen hatte.

Die Leerlaufverstärkung fällt – absichtlich

Ein OPV verhält sich genau wie ein solcher Tiefpass, nur mit riesiger Verstärkung davor:

\(A_0\) ist die Gleichspannungsverstärkung (100 000), \(f_p\) die Grenzfrequenz des OPV selbst. Beim LM324 liegt sie bei etwa 12 Hz.

Warum baut man einen Verstärker, der schon bei 12 Hz nachlässt? Das ist kein Mangel, sondern Absicht. Im Chip sitzt ein kleiner Kondensator, der die Verstärkung gezielt so abfallen lässt (wie, zeigt Teil 11). Ohne ihn hätte der OPV mehrere Grenzfrequenzen dicht beieinander, ihre Phasendrehungen würden sich auf über 180° addieren, und jede gegengekoppelte Schaltung würde schwingen. Mit einer dominanten Grenzfrequenz weit unten bleibt die Phase bis weit hinauf bei −90°. Das ist das Thema von Teil 6; hier nehmen wir es als gegeben hin.

Das Verstärkungs-Bandbreite-Produkt

Oberhalb von \(f_p\) gilt \(|A| \approx A_0 f_p / f\). Das Produkt im Zähler ist eine Konstante des OPV:

Verstärkungs-Bandbreite-Produkt (englisch gain-bandwidth product). Beim LM324: \(100\,000 \cdot 12\,\text{Hz} = 1{,}2\) MHz. Bei dieser Frequenz ist \(|A| = 1\), der OPV verstärkt überhaupt nicht mehr; deshalb heißt sie auch Transitfrequenz. Für jede Frequenz dazwischen gilt einfach

Bei 10 kHz hat der LM324 also nur noch eine Leerlaufverstärkung von 120 – nicht 100 000.

Bandbreite mit Gegenkopplung

Was bedeutet das für eine Schaltung? Setzen wir \(A(f)\) in die Grundgleichung aus Teil 3 ein:

Zähler und Nenner mit \((1 + jf/f_p)\) multiplizieren:

Jetzt durch \((1 + A_0\beta)\) teilen, damit vorne wieder eine 1 steht:

Das ist wieder ein Tiefpass erster Ordnung, mit

• der Verstärkung bei tiefen Frequenzen \(G_0 = \frac{A_0}{1 + A_0\beta} \approx \frac{1}{\beta}\) – die bekannte Formel aus Teil 2 –
• und der Grenzfrequenz \(f_g = f_p\,(1 + A_0\beta) \approx f_p A_0 \beta\):

Verstärkung mal Bandbreite bleibt konstant. Was man an Verstärkung gewinnt, verliert man an Bandbreite. Im Bode-Diagramm sieht man es direkt: Die Kurve mit Gegenkopplung läuft flach bei \(1/\beta\), bis sie auf die fallende Leerlaufkurve trifft, und folgt ihr dann.

Mit dem TLV9062 (GBW 10 MHz) liegen alle Bandbreiten zehnmal höher: 10 MHz als Folger, 1 MHz bei \(V = 10\).

Die zweite Zeile ist der Grund, warum Teil 3 so auf der Rauschverstärkung bestand: Ein Inverter mit \(V = -1\) hat nur die halbe Bandbreite eines Folgers, obwohl beide „Verstärkung 1“ haben.

Will man 100-fach verstärken und 100 kHz Bandbreite, braucht man ein GBW von 10 MHz – oder zwei Stufen mit je 10-facher Verstärkung, jede mit 120 kHz Bandbreite. Zwei Stufen hintereinander haben zusammen etwas weniger als jede einzelne (bei zwei gleichen Tiefpässen etwa 64 %), aber immer noch deutlich mehr als eine Stufe mit \(V = 100\).

Die Anstiegszeit

Auf einen kleinen Sprung am Eingang antwortet ein Tiefpass erster Ordnung mit einer e-Funktion, \(U_a(t) = U_\infty\,(1 - e^{-t/\tau})\) mit der Zeitkonstante \(\tau = \frac{1}{2\pi f_g}\). Die Zeit von 10 % auf 90 % des Endwerts ist \(\tau \cdot \ln 9 \approx 2{,}2\,\tau\), also

Der LM324 mit \(V = 101\) braucht damit rund 30 µs, um einen Sprung nachzuvollziehen.

Was die schwindende Schleifenverstärkung kostet

In Teil 3 haben wir gesehen: Alle Vorteile der Gegenkopplung – Genauigkeit, Linearität, niedriger Ausgangswiderstand – hängen an der Schleifenverstärkung \(T = A\beta\). Mit \(A\) fällt auch \(T\):

Weit unterhalb der Bandbreite ist \(T\) groß, bei der Bandbreite selbst nur noch 1. Beispiel: ein LM324 als Audio-Vorverstärker mit \(V = 10\) (\(f_g\) = 120 kHz). Bei 20 kHz ist \(|T| = 6\) – Verzerrungen der Ausgangsstufe werden nur noch etwa siebenfach unterdrückt statt zehntausendfach wie bei Gleichspannung. Die Amplitude stimmt dort noch auf gut 1 %, aber die Linearität hat schon gelitten. Deshalb haben Audio-OPVs ein GBW von 10 MHz und mehr.

Die Slew Rate: die Grenze für große Signale

Alles bisher gilt für kleine Signale. Bei großen kommt eine zweite, ganz andere Grenze dazu: Der Ausgang eines OPV kann sich nur mit einer höchsten Geschwindigkeit ändern, der Slew Rate (deutsch auch Anstiegsrate). Beim LM324 sind es 0,5 V/µs, beim TL072 13 V/µs.

Die Ursache sitzt wieder im Chip: Derselbe Kompensationskondensator, der die Verstärkung fallen lässt, muss bei jeder Änderung umgeladen werden, und dafür steht nur ein begrenzter Strom zur Verfügung. \(\text{SR} = I/C\) – mehr dazu in Teil 11.

Die Leistungsbandbreite

Ein Sinus \(U_a(t) = \hat U \sin(2\pi f t)\) ändert sich am schnellsten in seinen Nulldurchgängen. Die Steigung dort ist die Ableitung bei \(t = 0\):

Damit der OPV folgen kann, muss das kleiner sein als die Slew Rate. Daraus folgt die größte Frequenz, bei der ein Sinus mit voller Amplitude noch unverzerrt herauskommt, die Leistungsbandbreite:

Überraschend: Der LM324 hat zwar 1,2 MHz GBW, kann aber einen Sinus mit voller Amplitude nur bis 11 kHz liefern – nicht einmal das ganze Hörband. Darüber wird aus dem Sinus ein Dreieck:

Klein- oder Großsignal?

Ab welcher Signalgröße bestimmt die Slew Rate und nicht mehr die Bandbreite? Ein Sprung der Höhe \(\Delta U\) startet beim Tiefpass mit der Steigung \(\Delta U/\tau = \Delta U \cdot 2\pi f_g\). Ist das größer als die Slew Rate, wird der Anstieg zur Rampe. Für den LM324 als Folger (\(f_g\) = 1,2 MHz):

Schon Sprünge ab etwa 70 mV sind also slew-begrenzt. Bei Datenblattangaben lohnt deshalb immer der Blick, ob ein Diagramm für kleine oder große Signale gilt.

Versuch 8: Bandbreite messen

Für diesen und den nächsten Versuch braucht es einen Funktionsgenerator und ein Oszilloskop. Ein Multimeter reicht nicht: Die meisten messen Wechselspannung nur bis wenige 100 Hz richtig.

Aufbau: Nichtinvertierender Verstärker mit \(R_2\) = 100 kΩ und \(R_1\) = 1 kΩ (\(V = 101\)). Damit der Ausgang nicht übersteuert, teilt ein Spannungsteiler aus 10 kΩ und 100 Ω das Generatorsignal vorher durch 101.

1. Generator auf Sinus, 100 Hz, 2 V Amplitude. Am Plus-Eingang kommen etwa 20 mV an, am Ausgang etwa 2 V. Diese Amplitude ist die Referenz.
2. Frequenz langsam erhöhen. Die Grenzfrequenz ist erreicht, wo der Ausgang auf 71 % der Referenz gefallen ist, also etwa 1,4 V. Erwartet: um 12 kHz (1,2 MHz / 101).
3. Wer zwei Kanäle hat, legt den zweiten auf den Generator: Bei der Grenzfrequenz läuft der Ausgang 45° hinterher, eine Achtelperiode.
4. \(R_1\) gegen 10 kΩ tauschen (\(V = 11\)) und wiederholen. Die Grenzfrequenz sollte etwa zehnmal so hoch liegen, um 110 kHz. Verstärkung mal Bandbreite bleibt gleich.

Versuch 9: Slew Rate sehen

Aufbau: Spannungsfolger, Generator direkt an den Plus-Eingang.

1. Rechteck, 1 kHz, ±2 V. Die Flanken am Ausgang sind keine senkrechten Sprünge, sondern schräge Rampen. 4 V Hub bei 0,5 V/µs dauern 8 µs. Miss die Steigung mit den Cursorn des Oszilloskops – das ist die Slew Rate deines Exemplars.
2. Rechteck, ±50 mV. Jetzt sind die Flanken gerundet statt gerade – eine e-Funktion mit \(\tau = 1/(2\pi \cdot 1{,}2\,\text{MHz}) \approx 0{,}13\) µs. Hier bestimmt die Bandbreite, nicht die Slew Rate.
3. Sinus, 5 V Amplitude. Frequenz erhöhen. Ab etwa 16 kHz (\(0{,}5\,\text{V/µs} / (2\pi \cdot 5\,\text{V})\)) wird der Sinus zum Dreieck, und seine Amplitude bricht ein.

Was bleibt hängen

• Die Leerlaufverstärkung fällt absichtlich ab einer niedrigen Grenzfrequenz (LM324: 12 Hz), mit 20 dB pro Dekade. Das hält gegengekoppelte Schaltungen stabil.
• \(|A(f)| \approx \text{GBW}/f\). Das Verstärkungs-Bandbreite-Produkt ist die wichtigste Wechselspannungsgröße eines OPV.
• Mit Gegenkopplung: Bandbreite = GBW / Rauschverstärkung. Verstärkung und Bandbreite lassen sich gegeneinander tauschen.
• Die Schleifenverstärkung schrumpft mit der Frequenz, \(|T| \approx f_g/f\) – mit ihr Linearität und Genauigkeit.
• Große Signale begrenzt die Slew Rate: \(f_{max} = \text{SR}/(2\pi\hat U)\). Beim LM324 sind das bei voller Amplitude nur 11 kHz.

Ausblick

Was passiert, wenn zur Phasendrehung des OPV noch weitere dazukommen.

Weiter mit Teil 6: Stabilität →

Weiterführendes

• Teil 4: Gleichspannungsfehler – der vorige Teil
• Operationsverstärker – die Serie – Übersicht und Reihenfolge
• Analog Devices, MT-033: Voltage Feedback Op Amp Gain and Bandwidth
• Analog Devices, MT-045: Op Amp Noise Gain
• Texas Instruments, LM324 Datasheet – Abschnitt „Typical Characteristics“: Leerlaufverstärkung über der Frequenz