Komparator und Schmitt-Trigger mit OPV

Teil 9 der Serie Operationsverstärker. Voraussetzung: Teil 1 (Komparator-Versuch) und Teil 2 (die Landkarte der Rückkopplung).

Acht Teile lang hat die Gegenkopplung den OPV gezähmt: Sie hält die Eingänge gleich, macht die Verstärkung genau und den Ausgang linear. In diesem Teil lassen wir sie weg – und drehen sie dann sogar um. Auf der Landkarte aus Teil 2 sind das die beiden rechten Spalten: keine Rückkopplung und Mitkopplung. Aus dem Verstärker wird ein Entscheider, und mit Mitkopplung bekommt er ein Gedächtnis.

Der Komparator und sein Problem

Ohne Rückkopplung kennt der OPV nur zwei Zustände. Ist \(U_+\) auch nur um einige 10 µV größer als \(U_-\), steht der Ausgang an der oberen Grenze, sonst an der unteren. Das ist der Komparator aus Versuch 1 in Teil 1: ein Poti an einem Eingang, eine Referenz am anderen, zwei LEDs zeigen, welche Spannung größer ist.

Das funktioniert, solange das Eingangssignal sauber und schnell ist. Ein reales Signal ist beides oft nicht – ein Temperaturfühler, der langsam durch den Schaltpunkt wandert, ein Lichtsensor in der Dämmerung, ein Hall-Sensor mit Rauschen. In der Nähe des Schaltpunkts schwankt es durch Rauschen mehrfach hin und her, und der Komparator schaltet jedes Mal mit:

Ein Relais würde klappern, ein Zähler würde zehnmal zählen, ein Mikrocontroller bekäme einen Schwall von Interrupts. Das Mittel dagegen ist eine Hysterese: zwei verschiedene Schwellen, eine zum Einschalten, eine darüber oder darunter zum Ausschalten. Liegt das Rauschen innerhalb dieses Abstands, schaltet der Ausgang genau einmal.

Mitkopplung: der Schmitt-Trigger

Die Hysterese entsteht, indem man einen Teil der Ausgangsspannung auf den Plus-Eingang zurückführt – Mitkopplung statt Gegenkopplung. Otto Schmitt hat die Schaltung 1934 mit Elektronenröhren erfunden, um Nervenimpulse von Tintenfischen sauber zu erfassen; heute steckt sie in jedem Logikeingang mit Hysterese, etwa im 74HCT14.

Warum Mitkopplung umschaltet statt regelt: Bei Gegenkopplung bewegt eine Änderung am Ausgang den Minus-Eingang so, dass sie sich selbst bremst (Teil 3). Bei Mitkopplung bewegt sie den Plus-Eingang in dieselbe Richtung: Beginnt der Ausgang zu steigen, steigt \(U_+\), die Differenz wird größer, der Ausgang steigt schneller. Der Vorgang läuft von selbst bis zum Anschlag. Deshalb schaltet ein Schmitt-Trigger auch bei einem sehr langsamen Eingangssignal mit voller Flankensteilheit. Und weil der Plus-Eingang danach vom Ausgangszustand abhängt, ist die Schwelle für den Rückweg eine andere – die Schaltung merkt sich, in welchem Zustand sie ist.

Nichtinvertierender Schmitt-Trigger

Herleitung. \(R_1\) und \(R_2\) bilden einen Spannungsteiler: Am einen Ende liegt der Eingang \(U_e\), am anderen der Ausgang \(U_a\), in der Mitte sitzt der Plus-Eingang. Weil in den Eingang eines OPV kein Strom fließt (Teil 1), fließt durch \(R_1\) und \(R_2\) derselbe Strom \(I\). Nach dem ohmschen Gesetz ist er jeweils die Spannung über dem Widerstand geteilt durch den Widerstand:

Mit \(R_1 R_2\) malnehmen, damit die Brüche verschwinden:

Ausmultiplizieren und alles mit \(U_+\) auf eine Seite bringen ergibt \(R_2 U_e + R_1 U_a = U_+\,(R_1 + R_2)\). Durch \((R_1 + R_2)\) geteilt:

Zur Kontrolle: Ist \(U_a = 0\), bleibt der gewöhnliche Spannungsteiler übrig, \(U_e\) geteilt über \(R_1\) und \(R_2\). Ist \(U_e = 0\), ist es derselbe Teiler, von der anderen Seite her gespeist. Die Formel ist also einfach die Summe der beiden Teiler. Das ist der Überlagerungssatz: In einer linearen Schaltung darf man die Wirkung jeder Quelle getrennt ausrechnen und die Ergebnisse addieren. In Teil 2 haben wir den Differenzverstärker genauso hergeleitet.

Zahlenprobe: \(U_e = 1\) V, \(U_a = -8\) V, \(R_1 = 100\) kΩ, \(R_2 = 1\) MΩ:

Obwohl am Eingang 1 V anliegt, steht der Plus-Eingang nur knapp über null. Der Ausgang zieht ihn über \(R_2\) nach unten.

Wann wird umgeschaltet? Sobald \(U_+\) die Referenz \(U_{ref}\) am Minus-Eingang erreicht. Wir setzen also \(U_+ = U_{ref}\) und fragen, bei welchem \(U_e\) das passiert. Die Gleichung von oben mit \((R_1 + R_2)\) malnehmen:

\(U_a R_1\) auf die linke Seite bringen und durch \(R_2\) teilen:

Der Ausgang steht entweder bei \(U_{a,max}\) oder bei \(U_{a,min}\). Das ergibt zwei Schwellen:

• Einschalten (Ausgang war unten, \(U_a = U_{a,min}\)): \(U_{ein} = U_{ref}(1 + R_1/R_2) - U_{a,min}\,R_1/R_2\)
• Ausschalten (Ausgang war oben, \(U_a = U_{a,max}\)): \(U_{aus} = U_{ref}(1 + R_1/R_2) - U_{a,max}\,R_1/R_2\)

Die Breite der Hysterese ist ihre Differenz:

Zahlenbeispiel wie in Versuch 13: \(U_{ref} = 0\), \(R_1 = 100\) kΩ, \(R_2 = 1\) MΩ, der LM324 an ±9 V schwingt zwischen etwa \(+7{,}5\) V und \(-8\) V (Teil 1). Dann ist

Die Hysterese ist 1,55 V breit und nicht ganz symmetrisch, weil der LM324 nach oben weniger weit aussteuert als nach unten.

Invertierender Schmitt-Trigger

Hier geht das Signal an den Minus-Eingang, und der Plus-Eingang hängt nur am Teiler zwischen Referenz und Ausgang. Es ist derselbe Teiler wie eben, nur liegt jetzt \(U_{ref}\) an der Stelle von \(U_e\). Wir können die Formel also direkt übernehmen:

Umgeschaltet wird, wenn \(U_e\) diese Spannung erreicht. Die beiden Schwellen sind also einfach \(U_+\) für die beiden Ausgangszustände. Ihr Abstand ist die Hysterese, und weil der \(U_{ref}\)-Term in beiden Schwellen gleich ist, fällt er bei der Differenz heraus:

Mit \(U_{ref} = 0\) und \(R_1 = R_2\) liegen die Schwellen bei der halben Ausgangsspannung: \(+3{,}75\) V und \(-4{,}0\) V. Der Vorteil dieser Variante: Der Eingang ist hochohmig, die Quelle wird nicht belastet. Beim nichtinvertierenden Schmitt-Trigger fließt dagegen beim Umschalten ein Strom über \(R_1\) in die Quelle zurück.

Wie viel Hysterese? So viel wie nötig, so wenig wie möglich. Sie muss größer sein als das Rauschen samt Störungen auf dem Eingang, sonst nützt sie nichts. Jedes Millivolt mehr verschiebt aber den tatsächlichen Schaltpunkt vom gewünschten weg. Bei sauberen Signalen reichen einige Millivolt bis einige zehn Millivolt, bei einem Dämmerungsschalter gern deutlich mehr – dort ist der Abstand zwischen Ein und Aus sogar erwünscht.

Rechteckgenerator: der Schmitt-Trigger schwingt

Gibt man einem invertierenden Schmitt-Trigger ein RC-Glied vom Ausgang auf den eigenen Eingang, schwingt er von selbst:

Steht der Ausgang oben, lädt er \(C\) über \(R\) auf. Erreicht \(U_C\) die obere Schwelle, kippt der Ausgang nach unten, und \(C\) entlädt sich, bis die untere Schwelle erreicht ist. Und so weiter:

Herleitung der Periode. Zuerst: Wie lädt sich ein Kondensator über einen Widerstand auf? Der Ladestrom ist \(I = (U_a - U_C)/R\), also umso kleiner, je näher \(U_C\) schon an \(U_a\) liegt. Am Anfang geht es schnell, dann immer langsamer, und ganz erreicht wird \(U_a\) nie. Diesen Verlauf beschreibt die e-Funktion:

Zur Kontrolle: Bei \(t = 0\) ist \(e^0 = 1\), und es kommt \(U_{start}\) heraus. Für große \(t\) geht \(e^{-t/RC}\) gegen null, und \(U_C\) läuft auf \(U_a\) zu. Nach einer Zeitkonstante \(RC\) ist der Rest auf \(e^{-1} = 37\) % geschrumpft.

Jetzt unser Fall. Mit symmetrischer Aussteuerung \(\pm U_s\) und dem Teilerverhältnis \(\beta = R_1/(R_1 + R_2)\) liegen die Schwellen bei \(\pm\beta U_s\). Der Ausgang ist gerade nach oben gekippt, also startet \(U_C\) bei \(-\beta U_s\) und läuft auf \(+U_s\) zu. Gesucht ist die Zeit \(t_1\), zu der \(U_C\) die obere Schwelle \(+\beta U_s\) erreicht. Eingesetzt:

\(U_s\) nach links bringen und durch \(-(U_s + \beta U_s)\) teilen:

Den natürlichen Logarithmus nehmen. Weil \(-\ln x = \ln(1/x)\) ist, dreht sich dabei der Bruch um:

Die zweite Halbperiode ist genauso lang, also

Mit \(R_1 = R_2\) ist \(\beta = 0{,}5\) und \(T = 2RC\ln 3 = 2{,}2\,RC\). Bemerkenswert: Die Versorgungsspannung kürzt sich heraus. Die Frequenz hängt nur an \(R\), \(C\) und dem Widerstandsverhältnis. Beim LM324 mit seiner asymmetrischen Aussteuerung sind die beiden Hälften ein wenig verschieden (1,12 s und 1,08 s bei \(RC = 1\) s), die Summe bleibt bei 2,2 s.

Das ist der einfachste Oszillator, den man mit einem OPV bauen kann. Er heißt auch Relaxationsoszillator, weil der Kondensator sich jedes Mal „entspannt", bis die Schwelle erreicht ist. Das Prinzip steckt im NE555 und in vielen Mikrocontroller-Taktgebern.

Funktionsgenerator: Rechteck und Dreieck

Ersetzt man das RC-Glied durch einen Integrator aus Teil 7, wird aus dem Exponentialbogen eine gerade Rampe. Ein nichtinvertierender Schmitt-Trigger und ein Integrator im Kreis ergeben einen Generator für Rechteck und Dreieck:

Die Schwellen des Schmitt-Triggers kennen wir schon: In die Formel für den nichtinvertierenden Schmitt-Trigger setzen wir \(U_{ref} = 0\) (der Minus-Eingang liegt an Masse) und \(U_a = \pm U_s\) ein. Es bleibt \(U_e = \mp U_s R_1/R_2\), also Schwellen bei \(\pm U_s R_1/R_2\).

Steht das Rechteck auf \(+U_s\), fließt durch \(R\) der konstante Strom \(U_s/R\) in den Kondensator, und der Integratorausgang fällt mit der konstanten Steigung \(U_s/(RC)\) (Teil 7). Er fällt, bis er die untere Schwelle bei \(-U_s R_1/R_2\) erreicht. Dann kippt das Rechteck, und das Dreieck läuft wieder hoch. Das Dreieck pendelt also zwischen \(\pm U_s R_1/R_2\). Eine Halbperiode ist der Weg von einer Schwelle zur anderen, geteilt durch die Steigung:

\(U_s\) kürzt sich auch hier heraus.

Mit \(R_1 = 100\) kΩ, \(R_2 = 1\) MΩ, \(R = 10\) kΩ und \(C = 100\) nF: \(f = 2{,}5\) kHz, Dreieck mit ±0,75 V. Mit den zwei freien OPVs eines LM324 ist das ein brauchbarer Signalgenerator für die Filterversuche aus Teil 8. Für einen Sinus kann man das Dreieck noch durch einen Tiefpass schicken oder mit Dioden „rund biegen" – so arbeiteten die klassischen Funktionsgenerator-ICs.

Fensterkomparator

Manchmal ist die Frage nicht „größer oder kleiner?", sondern „innerhalb oder außerhalb?". Liegt die Batteriespannung im zulässigen Bereich? Ist der Sensorwert plausibel? Dafür nimmt man zwei Komparatoren mit zwei Schwellen:

Der obere Komparator geht hoch, wenn \(U_e\) die obere Schwelle überschreitet, der untere, wenn \(U_e\) unter die untere fällt. Die beiden Dioden bilden ein ODER: Der Ausgang ist hoch, sobald einer der beiden anspricht, also außerhalb des Fensters. Mit echten Komparatoren mit Open-Collector-Ausgang (siehe unten) spart man sich die Dioden und verbindet die Ausgänge direkt.

OPV oder echter Komparator?

Ein OPV als Komparator funktioniert, aber er ist dafür nicht gebaut. Es gibt eigene Komparator-ICs, und die Unterschiede sind deutlich:

Geschwindigkeit. Ein OPV ist für die Gegenkopplung kompensiert – mit dem dominanten Pol aus Teil 5, der ihn langsam macht. Seine Slew Rate (LM324: 0,5 V/µs) braucht für einen Hub von 15 V schon 30 µs. Dazu kommt die Erholung aus der Sättigung: Ein OPV, dessen Ausgang am Anschlag klebt, braucht nach dem Umschalten einige Mikrosekunden, bis seine inneren Stufen wieder arbeiten. Ein Komparator hat keinen Kompensationskondensator und ist für den Betrieb am Anschlag ausgelegt.

Ausgang. Viele Komparatoren (LM393, LM339) haben einen Open-Collector-Ausgang: einen Transistor, der nur nach Masse ziehen kann. Nach oben braucht er einen Pull-up-Widerstand, und der darf an einer ganz anderen Spannung hängen als der Komparator selbst – ein Komparator an 12 V kann so direkt einen 3,3-V-Mikrocontroller ansteuern. Mehrere Open-Collector-Ausgänge lassen sich außerdem direkt zusammenschalten: Sobald einer nach unten zieht, ist die Leitung unten (Wired-AND).

Umgekehrt gilt: Einen Komparator als Verstärker zu beschalten, geht schief. Ohne Kompensation ist er mit Gegenkopplung instabil (Teil 6) und schwingt.

Fallstricke beim OPV als Komparator:

• Differenzeingangsspannung. Manche OPVs haben zum Schutz zwei antiparallele Dioden zwischen den Eingängen. Als Komparator mit großer Differenz leiten diese Dioden, die Eingänge ziehen Strom und belasten die Signalquelle. Das Datenblatt verrät es unter „Differential Input Voltage". Beim LM324 ist die volle Versorgungsspannung erlaubt.
• Phasenumkehr. Einige OPVs (bekannt ist der TL07x) kehren ihren Ausgang um, wenn ein Eingang zu nah an die negative Versorgung kommt – aus „größer" wird plötzlich „kleiner". Teil 4 hat die Gleichtaktgrenzen behandelt.
• Hysterese trotzdem einplanen. Auch ein echter Komparator braucht sie bei langsamen Signalen; manche haben einige Millivolt eingebaut, sonst gehört ein Mitkopplungswiderstand dazu.

Und wer einen Mikrocontroller in der Schaltung hat: Viele haben einen Analogkomparator schon eingebaut, oft mit interner Referenz – der ATtiny85 etwa mit 1,1 V.

Versuch 13: Schaltschwellen messen

Aufbau: wie Versuch 1 mit dem 50-kΩ-Poti zwischen ±9 V und den zwei antiparallelen LEDs am Ausgang. Neu: Der Schleifer geht nicht direkt an den Plus-Eingang, sondern über \(R_1 = 100\) kΩ, und \(R_2 = 1\) MΩ führt vom Ausgang auf den Plus-Eingang zurück. Minus-Eingang an Masse.

1. Ausgangsspannungen messen. Poti ganz nach unten: rote LED an. Ausgang messen (\(U_{a,min}\), etwa −8 V). Poti ganz nach oben: grüne LED, Ausgang messen (\(U_{a,max}\), etwa +7,5 V). Mit diesen Werten die Schwellen nach den Formeln oben ausrechnen.
2. Einschaltschwelle. Multimeter an den Schleifer. Poti von unten langsam hochdrehen, bis die grüne LED angeht. Die Spannung kurz davor notieren. Erwartet: \(+0{,}80\) V.
3. Ausschaltschwelle. Jetzt langsam zurückdrehen. Die grüne LED bleibt an – auch unter +0,8 V, auch bei 0 V, auch bei −0,5 V. Erst bei etwa \(-0{,}75\) V springt sie auf Rot.
4. Vergleich mit Teil 1. \(R_2\) herausziehen und \(R_1\) durch eine Drahtbrücke ersetzen: Das ist wieder der Komparator aus Versuch 1, der in beiden Richtungen bei fast genau 0 V schaltet.

Warum 100 kΩ und 1 MΩ und nicht 10 kΩ und 100 kΩ? Das Verhältnis und damit die Schwellen wären gleich. Aber das Poti hat in der Mitte selbst einen Innenwiderstand von 12,5 kΩ. Beim Umschalten ändert sich der Strom durch \(R_1\) und \(R_2\), und mit kleinen Widerständen würde die Schleiferspannung dabei um rund 1,6 V springen. Mit den großen Werten sind es nur 0,17 V – der Innenwiderstand der Quelle, wieder einmal.

Versuch 14: der Blinker

Ein Rechteckgenerator, langsam genug zum Zusehen.

Aufbau: Minus-Eingang über 1 µF nach Masse und über 1 MΩ an den Ausgang. Plus-Eingang über 100 kΩ nach Masse und über 100 kΩ an den Ausgang. Die LEDs wie gehabt am Ausgang.

1. Zusehen. Die LEDs wechseln sich ab, jede etwa 1,1 s lang. Mit Stoppuhr zehn Perioden messen: Erwartet sind 22 s. Abweichungen von 10 bis 20 % liegen am 1-µF-Keramikkondensator, dessen Kapazität toleranzbehaftet ist und mit der Spannung sinkt (Teil 7).
2. Kondensatorspannung. Multimeter an den Minus-Eingang: Die Anzeige wandert zwischen etwa −4 V und +3,75 V hin und her und kehrt genau dann um, wenn die LEDs wechseln. Das Multimeter belastet den Knoten mit 10 MΩ ein wenig; die Periode wird dadurch einige Prozent länger.
3. Schneller. 1 MΩ durch 100 kΩ ersetzen: 0,22 s Periode, ein hektisches Blinken. Dann zusätzlich 1 µF durch 100 nF: 22 ms, also 45 Hz. Jetzt scheinen beide LEDs gleichzeitig zu leuchten – das Auge mittelt. Mit einem Oszilloskop am Ausgang sieht man das Rechteck.
4. Versorgung ändern. Eine der beiden 9-V-Batterien durch eine halb leere ersetzen oder beide gegen frische tauschen: Die Periode ändert sich kaum. Die Versorgungsspannung kürzt sich aus der Formel heraus.

Was bleibt hängen

• Ohne Rückkopplung ist der OPV ein Komparator. Bei langsamen, verrauschten Signalen schaltet er am Schaltpunkt mehrfach hin und her.
• Mitkopplung macht daraus einen Schmitt-Trigger: zwei Schwellen, eine Hysterese von \(\Delta U = (U_{a,max} - U_{a,min})\,R_1/R_2\) (nichtinvertierend) bzw. \(\cdot\,R_1/(R_1 + R_2)\) (invertierend), und ein Gedächtnis für den letzten Zustand.
• Ein invertierender Schmitt-Trigger mit RC-Rückführung schwingt: Rechteckgenerator mit \(T = 2RC\ln\frac{1+\beta}{1-\beta}\), unabhängig von der Versorgung. Mit einem Integrator statt RC wird daraus ein Funktionsgenerator für Rechteck und Dreieck.
• Der Fensterkomparator prüft „innerhalb oder außerhalb" mit zwei Schwellen.
• Echte Komparatoren sind schneller, haben oft Open-Collector-Ausgänge für beliebige Logikpegel und dürfen nicht gegengekoppelt werden. Beim OPV als Komparator auf Differenzeingangsspannung und Phasenumkehr achten.

Ausblick

Ein Schmitt-Trigger schützt vor Rauschen auf einem Signal. Was aber, wenn das Nutzsignal winzig ist und auf einer großen Gleichtaktspannung sitzt – wie bei einer Messbrücke oder einem Shunt in der Plusleitung? Dann braucht es einen Verstärker, der nur die Differenz sieht, und zwar sehr genau.

Weiter mit Teil 10: Instrumentenverstärker →

Weiterführendes

• Teil 8: Aktive Filter – der vorige Teil
• Operationsverstärker – die Serie – Übersicht und Reihenfolge
• 74HCT14 – sechs Schmitt-Trigger als Logikbaustein
• NE555 – Komparatoren, Flipflop und RC als Timer in einem Gehäuse
• O. H. Schmitt: A Thermionic Trigger, Journal of Scientific Instruments 15, 24–26 (1938), doi:10.1088/0950-7671/15/1/305 – die Originalveröffentlichung