Aktive Filter: Tiefpass und Hochpass mit OPV

Teil 8 der Serie Operationsverstärker. Voraussetzung: Teil 5 (Bode-Diagramm, komplexe Widerstände) und Teil 7 (Kondensator im OPV-Netzwerk).

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Ein Filter lässt bestimmte Frequenzen durch und sperrt andere. Vor jedem Analog-Digital-Wandler sitzt einer, damit keine Frequenzen über der halben Abtastrate ankommen (das Aliasing aus der Festkörperphysik hat hier sein Gegenstück in der Signalverarbeitung). Hinter jedem Hall-Sensor sitzt einer, der das Rauschen wegnimmt, und in jedem Audiogerät ein ganzer Satz.

Mit Spulen und Kondensatoren lassen sich Filter auch passiv bauen. Unterhalb von einigen hundert Kilohertz sind Spulen aber groß, teuer und weit vom Ideal entfernt. Der OPV erlaubt es, Filter nur aus Widerständen und Kondensatoren zu bauen, die sich trotzdem wie ein LC-Schwingkreis verhalten – und die man belasten kann, ohne dass sich die Kennlinie verschiebt.

Erste Ordnung: RC und ein Puffer

Der einfachste Tiefpass ist ein RC-Glied. Seine Grenzfrequenz, bei der die Ausgangsspannung auf \(1/\sqrt2\) (−3 dB) gefallen ist, kennen wir aus Teil 5:

\[f_c = \frac{1}{2\pi RC}\]

Oberhalb davon fällt der Betrag mit 20 dB pro Dekade. Das Problem des nackten RC-Glieds: Jede Last am Ausgang liegt parallel zum Kondensator und verschiebt die Grenzfrequenz. Ein Spannungsfolger dahinter löst das:

RC-Tiefpass mit nachgeschaltetem Spannungsfolger: Widerstand R vom Eingang zum Plus-Eingang des OPV, Kondensator C von dort nach Masse, Minus-Eingang mit dem Ausgang verbunden

Die zweite Variante bekommt man geschenkt: Ein Kondensator parallel zum Rückführwiderstand eines invertierenden Verstärkers macht ihn zum Tiefpass mit Verstärkung.

Invertierender Tiefpass: R1 vom Eingang an den Minus-Eingang, R2 und C parallel in der Rückführung

Mit \(Z_2 = R_2 \parallel \frac{1}{j\omega C}\) wird

\[G = -\frac{Z_2}{R_1} = -\frac{R_2}{R_1}\cdot\frac{1}{1 + j\omega R_2 C}\]

Bei tiefen Frequenzen die Verstärkung \(-R_2/R_1\), Grenzfrequenz \(1/(2\pi R_2 C)\). Das ist derselbe Baustein wie der Integrator mit \(R_p\) aus Teil 7, nur von der anderen Seite betrachtet.

Warum zweite Ordnung?

20 dB pro Dekade ist wenig. Soll ein 1-kHz-Signal durch und ein Störer bei 3 kHz um den Faktor 100 gedämpft werden, schafft ein RC-Glied gerade den Faktor 3. Zwei Stufen hintereinander fallen mit 40 dB pro Dekade, vier mit 80:

Betragsfrequenzgang von Tiefpässen erster, zweiter und vierter Ordnung, alle mit −3 dB bei 1 kHz; die Flanke wird mit jeder Ordnung steiler

Jeder Tiefpass zweiter Ordnung lässt sich in derselben Form schreiben:

\[\boxed{G(j\omega) = \frac{G_0}{1 - \left(\dfrac{\omega}{\omega_0}\right)^2 + j\,\dfrac{1}{Q}\,\dfrac{\omega}{\omega_0}}}\]

Zwei Zahlen beschreiben ihn vollständig:

die Eigenfrequenz \(f_0 = \omega_0 / 2\pi\), um die herum der Übergang passiert, und
die Güte \(Q\), die bestimmt, wie er passiert: weich und gedämpft oder mit einer Resonanzspitze.

Betragsfrequenzgang eines Tiefpasses zweiter Ordnung für Q = 0,5, 0,707, 1, 2 und 5: Bei kleinem Q biegt die Kurve früh und weich ab, ab Q = 0,707 entsteht eine Resonanzüberhöhung bei f0, die mit steigendem Q immer höher und schmaler wird

Genau bei \(f_0\) ist der Betrag \(|G| = G_0 \cdot Q\). Bei \(Q = 5\) verstärkt der „Tiefpass" ein Signal bei \(f_0\) also um den Faktor 5 – er ist dort ein Resonanzkreis.

Warum nicht einfach zwei RC-Glieder? Zwei gepufferte RC-Glieder mit gleicher Grenzfrequenz ergeben \(Q = 0{,}5\), ungepuffert sogar nur etwa \(0{,}33\). Mehr geht mit Widerständen und Kondensatoren allein nicht: Eine passive RC-Schaltung hat immer reelle Pole und damit \(Q \le 0{,}5\). Für höhere Güten braucht es Energiespeicher, die Energie hin und her schieben – Spule und Kondensator – oder einen Verstärker, der Mitkopplung liefert.

Der Sallen-Key-Tiefpass

Die bekannteste Schaltung dafür haben R. P. Sallen und E. L. Key 1955 am MIT veröffentlicht. Sie braucht einen OPV als Folger, zwei Widerstände und zwei Kondensatoren:

Sallen-Key-Tiefpass: R1 und R2 in Reihe vom Eingang zum Plus-Eingang, dazwischen der Knoten X; C1 vom Knoten X zum Ausgang, C2 vom Plus-Eingang nach Masse; der OPV arbeitet als Spannungsfolger

Der Trick ist \(C_1\): Er geht nicht nach Masse, sondern an den Ausgang. In der Nähe von \(f_0\) hebt der Ausgang über \(C_1\) den Knoten X an – eine gezielte Mitkopplung, die die Flanke aufsteilt und die Güte über 0,5 hinaushebt.

Herleitung

Der OPV ist ein Folger, also ist die Spannung am Plus-Eingang gleich \(U_a\). Wir rechnen mit \(s = j\omega\) und gehen von hinten nach vorn.

Knoten am Plus-Eingang. In den OPV fließt kein Strom, also fließt der Strom durch \(R_2\) vollständig in \(C_2\):

\[\frac{U_X - U_a}{R_2} = s C_2\,U_a \quad\Rightarrow\quad U_X = U_a\,(1 + sR_2C_2)\]

Knoten X. Was durch \(R_1\) hereinkommt, fließt über \(C_1\) zum Ausgang und über \(R_2\) weiter:

\[\frac{U_e - U_X}{R_1} = sC_1\,(U_X - U_a) + \frac{U_X - U_a}{R_2}\]

Aus der ersten Gleichung ist \(U_X - U_a = sR_2C_2\,U_a\). Eingesetzt:

\[\frac{U_e - U_a(1 + sR_2C_2)}{R_1} = s^2 R_2 C_1 C_2\,U_a + sC_2\,U_a\]

Mit \(R_1\) multiplizieren und nach \(U_e\) auflösen:

\[U_e = U_a\left(1 + s\,C_2(R_1 + R_2) + s^2 R_1 R_2 C_1 C_2\right)\]

\[\boxed{G(s) = \frac{1}{1 + s\,C_2(R_1 + R_2) + s^2\,R_1 R_2 C_1 C_2}}\]

Ein Vergleich mit der Normalform (\(s = j\omega\), also \(s^2 = -\omega^2\)) liefert

\[\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{R_1 R_2 C_1 C_2}}, \qquad Q = \frac{\sqrt{R_1 R_2 C_1 C_2}}{C_2\,(R_1 + R_2)}\]

Bemessung mit gleichen Widerständen

Die bequemste Wahl ist \(R_1 = R_2 = R\). Dann wird

\[Q = \frac12\sqrt{\frac{C_1}{C_2}}, \qquad f_0 = \frac{1}{2\pi R\sqrt{C_1C_2}}\]

Die Güte hängt nur am Verhältnis der Kondensatoren. Für \(Q = 0{,}707\) braucht man \(C_1 = 2\,C_2\) – zum Beispiel zwei gleiche Kondensatoren parallel für \(C_1\) und einen einzelnen für \(C_2\). Allgemein:

\[C_1 = 4Q^2\,C_2, \qquad R = \frac{1}{2\pi f_0\sqrt{C_1C_2}}\]

Butterworth, Bessel, Tschebyscheff

Welche Güte ist die richtige? Das hängt davon ab, was das Filter tun soll. Drei Klassiker haben Namen:

Links der Betrag von Bessel-, Butterworth- und Tschebyscheff-Tiefpass zweiter Ordnung, alle auf −3 dB bei derselben Frequenz normiert; Tschebyscheff hat eine Welligkeit von 1 dB und die steilste Flanke, Bessel die flachste. Rechts die Sprungantworten: Bessel steigt ohne Überschwingen an, Butterworth schwingt 4 Prozent über, Tschebyscheff 15 Prozent

Typ	\(Q\)	\(f_{-3\,\text{dB}}/f_0\)	Überschwingen	Eigenschaft
kritisch gedämpft (zwei RC)	0,500	0,644	0 %	weich, langsam
Bessel	0,577	0,786	0,4 %	konstante Laufzeit: Pulse behalten ihre Form
Butterworth	0,707	1,000	4,3 %	maximal flacher Durchlass, der Allrounder
Tschebyscheff 1 dB	0,957	1,246	14,6 %	steilste Flanke, dafür 1 dB Welligkeit

Butterworth ist im Durchlassbereich so flach wie möglich, ohne Überhöhung. Wenn nichts anderes gefordert ist, nimmt man ihn.
Bessel verzögert alle Frequenzen im Durchlassbereich gleich lang. Ein Rechteck kommt als verrundetes, aber unverzerrtes Rechteck heraus, ohne Überschwinger. Vor einem ADC, der Pulse oder Sprünge erfassen soll, ist das die richtige Wahl.
Tschebyscheff erkauft die steilere Flanke mit Welligkeit im Durchlass und deutlichem Überschwingen. Gut, wenn ein Störer nah am Nutzsignal liegt und die Form egal ist.

Höhere Ordnungen baut man durch Hintereinanderschalten von Stufen zweiter Ordnung, jede mit ihrer eigenen Güte. Ein Butterworth-Filter vierter Ordnung besteht aus zwei Stufen mit \(Q = 0{,}541\) und \(Q = 1{,}307\) bei derselben \(f_0\), ein Bessel-Filter vierter Ordnung aus zwei Stufen mit \(Q = 0{,}522\) und \(0{,}806\) bei verschiedenen \(f_0\). Die Tabellen dafür stehen in jedem Filterbuch und in den Applikationsschriften der OPV-Hersteller.

Hochpass

Tauscht man im Sallen-Key-Tiefpass die Widerstände gegen Kondensatoren und umgekehrt, wird ein Hochpass daraus:

Sallen-Key-Hochpass: C1 und C2 in Reihe vom Eingang zum Plus-Eingang, R1 vom Knoten X zum Ausgang, R2 vom Plus-Eingang nach Masse

Dieselbe Rechnung ergibt

\[G(s) = \frac{s^2 R_1R_2C_1C_2}{1 + s\,R_1(C_1 + C_2) + s^2 R_1R_2C_1C_2}\]

Mit gleichen Kondensatoren \(C_1 = C_2 = C\) wird \(Q = \tfrac12\sqrt{R_2/R_1}\) – jetzt bestimmt das Widerstandsverhältnis die Güte, und Butterworth heißt \(R_2 = 2R_1\). Einen Bandpass erhält man am einfachsten, indem man Hochpass und Tiefpass hintereinanderschaltet.

Die Alternative: Multiple Feedback

Der Sallen-Key-Tiefpass hat eine Schwäche, die im Bode-Diagramm des idealen Filters nicht auftaucht: Bei hohen Frequenzen ist \(C_1\) fast ein Kurzschluss, und das Eingangssignal läuft über \(R_1\) und \(C_1\) direkt zum Ausgang. Dort soll der OPV es eigentlich wegregeln, aber bei hohen Frequenzen hat er dafür keine Schleifenverstärkung mehr (Teil 5), und sein Ausgangswiderstand lässt das Signal durch. Die Dämpfung erreicht ein Minimum und steigt dann wieder an.

Die Multiple-Feedback-Struktur (MFB) vermeidet das. Sie arbeitet invertierend, mit dem Plus-Eingang an Masse:

Multiple-Feedback-Tiefpass: R1 vom Eingang zum Knoten X, C1 von X nach Masse, R3 von X zum Minus-Eingang, C2 vom Minus-Eingang zum Ausgang, R2 von X zum Ausgang, Plus-Eingang an Masse

Mit derselben Knotenrechnung ergibt sich

\[G(s) = -\frac{R_2/R_1}{1 + s\,C_2\left(R_2 + R_3 + \dfrac{R_2R_3}{R_1}\right) + s^2 R_2R_3C_1C_2}\]

Mit gleichen Widerständen ist die Verstärkung −1 und \(Q = \tfrac13\sqrt{C_1/C_2}\); für Butterworth also \(C_1 = 4{,}5\,C_2\), praktisch 47 nF zu 10 nF (\(Q = 0{,}72\)).

Simulierter Frequenzgang von Sallen-Key und Multiple Feedback mit realem OPV (1 MHz Verstärkungs-Bandbreite-Produkt, 100 Ω Ausgangswiderstand): Beide folgen bis 50 kHz der idealen Kurve, dann steigt der Sallen-Key wieder auf etwa −40 dB an, während der MFB weiter fällt

	Sallen-Key	Multiple Feedback
Phasenlage	nicht invertierend	invertierend
Bauteile	2 R, 2 C	3 R, 2 C
Güte einstellen	Kondensatorverhältnis	Kondensatorverhältnis
Sperrbereich weit oben	steigt wieder an	bleibt gedämpft
Empfindlichkeit gegen Toleranzen	etwas höher	etwas geringer

Für ein Anti-Aliasing-Filter vor einem schnellen ADC, bei dem es auf die Dämpfung weit oberhalb der Grenzfrequenz ankommt, ist MFB die bessere Wahl. Für einen Tiefpass bei 1 kHz mit einem langsamen OPV ist Sallen-Key einfacher und völlig ausreichend.

Was der reale OPV dazu sagt

Bandbreite. Die Formeln setzen einen idealen Folger voraus. Faustregel: Das Verstärkungs-Bandbreite-Produkt sollte mindestens das 100-Fache von \(Q \cdot f_0\) sein, dann liegen Güte und Grenzfrequenz im Prozentbereich richtig. Der LM324 mit 1 MHz reicht also für Filter bis etwa 10 kHz bei \(Q = 1\). Darüber verschiebt sich die Kennlinie, und Filter mit hoher Güte können sogar schwingen.
Kondensatoren. Keramikkondensatoren mit X7R- oder Y5V-Dielektrikum ändern ihre Kapazität mit der Spannung (wie der 1-µF-Kondensator in Teil 7) und erzeugen so Verzerrungen. Für Filter nimmt man C0G/NP0-Keramik (bis einige nF) oder Folienkondensatoren. Die 10-nF-Keramikkondensatoren aus dem Versuchsset genügen für den Versuch.
Toleranzen. Mit 5-%-Kondensatoren liegt die Güte beim Sallen-Key auf etwa 3,5 % genau, die Grenzfrequenz auf 5 %. Für Filter mit hoher Güte (über 2) werden die Abweichungen schnell größer – dort lohnen sich 1-%-Bauteile.
Widerstandswerte. Zwischen 1 kΩ und 100 kΩ. Darunter belastet das Netzwerk den OPV, darüber werden Rauschen, Biasströme und Streukapazitäten spürbar.

Rechner

Gib die gewünschte −3-dB-Grenzfrequenz, die Filtercharakteristik und einen Kondensatorwert vor. Der Rechner bemisst einen Sallen-Key-Tiefpass mit gleichen Widerständen oder einen Sallen-Key-Hochpass mit gleichen Kondensatoren, rundet auf Normwerte (Kondensatoren E12, Widerstände E24) und zeigt, was mit den gerundeten Werten tatsächlich herauskommt.

⚠️ Nicht blind verlassen — nachrechnen und gegenprüfen.

Der Rechner führt die Formeln oben aus, mehr nicht. Er rechnet mit einem idealen OPV. Vor dem Aufbau gehören geprüft:

Bandbreite des OPV: mindestens das 100-Fache von Q · f₀.
Toleranzen: Kondensatoren haben oft 5 bis 10 %, und davon hängen Güte und Grenzfrequenz direkt ab.
Dielektrikum: C0G/NP0 oder Folie, keine X7R/Y5V-Keramik im Signalweg.

Zum ausführlichen Hinweis in der Formelsammlung

Grenzfrequenz (−3 dB) in Hz

Filter

Charakteristik

C (Tiefpass: C₂, Hochpass: beide)

Bauteil	exakt	Normwert

Versuch 12: ein 1-kHz-Tiefpass

Ein Sallen-Key-Tiefpass nach Butterworth, nur aus Teilen der Materialliste.

Aufbau: Grundaufbau wie in den bisherigen Versuchen, OPV 1 als Folger (Minus-Eingang an den Ausgang). \(R_1 = R_2 = 10\) kΩ, \(C_2 = 10\) nF vom Plus-Eingang nach Masse, \(C_1\) aus zwei 10-nF-Kondensatoren parallel vom Knoten X zum Ausgang. Damit ist \(C_1 = 2C_2\), also \(Q = 0{,}707\), und

\[f_0 = \frac{1}{2\pi \cdot 10\,\text{k}\Omega \cdot \sqrt{20\,\text{nF} \cdot 10\,\text{nF}}} = 1{,}13\,\text{kHz}\]

Versuch 12 auf dem Steckbrett: Eingang über 10 kΩ an Spalte 12 (Knoten X), weiter über 10 kΩ an den Plus-Eingang, 10 nF vom Plus-Eingang an die Masseschiene, zwei 10-nF-Kondensatoren parallel zwischen Knoten X und dem Ausgang, Minus-Eingang mit dem Ausgang verbunden

Signalquelle: ein Funktionsgenerator mit Sinus, etwa 1 V Spitze-Spitze. Wer keinen hat: Eine Tongenerator-App auf dem Handy liefert über den Kopfhörerausgang einen sauberen Sinus von einigen hundert Millivolt. Masse des Kopfhörersteckers (der Ring am Schaft) an 0 V, einen Kanal an den Eingang.

Messen: Am einfachsten mit dem Oszilloskop, Eingang und Ausgang gleichzeitig. Mit einem Multimeter auf Wechselspannung geht es auch, mit einem Trick: Viele Multimeter messen über einige hundert Hertz nicht mehr genau. Misst man aber Eingang und Ausgang bei derselben Frequenz mit demselben Gerät und bildet das Verhältnis, kürzt sich der Fehler des Multimeters heraus.

Frequenz	100 Hz	500 Hz	800 Hz	1 kHz	1,5 kHz	2 kHz	5 kHz
\(U_a/U_e\) erwartet	1,00	0,98	0,89	0,79	0,49	0,30	0,05
in dB	0	−0,2	−1,0	−2,1	−6,2	−10,4	−25,9

Zwischen 2 und 5 kHz fällt die Kurve um gut 15 dB – das ist die Steigung von 40 dB pro Dekade. Ein RC-Glied hätte auf derselben Strecke nur 8 dB geschafft.

Variante: die Güte sehen. Nimm für \(C_1\) statt zwei einen, dann drei Kondensatoren parallel. Damit wird \(Q = 0{,}5\), \(0{,}707\) und \(0{,}866\):

\(C_1\)	\(Q\)	500 Hz	1 kHz	2 kHz
1 × 10 nF	0,500	0,91	0,72	0,39
2 × 10 nF	0,707	0,98	0,79	0,30
3 × 10 nF	0,866	1,06	0,79	0,22

Mit drei Kondensatoren ist der Ausgang bei 500 Hz größer als der Eingang – die Resonanzüberhöhung, die aus der Mitkopplung über \(C_1\) kommt. Dafür fällt die Kurve danach steiler ab. Das ist der Tausch, der Butterworth von Tschebyscheff unterscheidet, am eigenen Steckbrett.

Was bleibt hängen

Ein RC-Glied mit Puffer ist der einfachste aktive Tiefpass: \(f_c = 1/(2\pi RC)\), 20 dB pro Dekade, unabhängig von der Last.
Jeder Tiefpass zweiter Ordnung ist durch \(f_0\) und \(Q\) beschrieben. Passive RC-Netzwerke schaffen höchstens \(Q = 0{,}5\); mehr braucht Mitkopplung.
Sallen-Key-Tiefpass: \(G = 1/(1 + sC_2(R_1+R_2) + s^2R_1R_2C_1C_2)\). Mit gleichen Widerständen ist \(Q = \tfrac12\sqrt{C_1/C_2}\), Butterworth heißt \(C_1 = 2C_2\).
Butterworth für flachen Durchlass, Bessel für formtreue Pulse, Tschebyscheff für steile Flanken. Höhere Ordnungen aus Stufen zweiter Ordnung mit verschiedenen Güten.
Der Hochpass entsteht durch Tauschen von R und C. Multiple Feedback dämpft weit oben besser, weil kein Signal am OPV vorbeiläuft.
Der OPV braucht etwa die 100-fache Bandbreite von \(Q \cdot f_0\), und in den Signalweg gehören C0G- oder Folienkondensatoren.

Ausblick

Bisher hat der OPV immer gegengekoppelt gearbeitet, nur hier und da mit einer Prise Mitkopplung. Was passiert, wenn man die Gegenkopplung ganz weglässt oder sie durch Mitkopplung ersetzt? Dann wird aus dem Verstärker ein Entscheider, der nur noch „größer" oder „kleiner" kennt.

Weiter mit Teil 9: Komparator und Schmitt-Trigger →

Weiterführendes

Teil 7: Integrator, Differenzierer und PI-Regler – der vorige Teil
Operationsverstärker – die Serie – Übersicht und Reihenfolge
Teil 5: Frequenzgang – Bode-Diagramm und Verstärkungs-Bandbreite-Produkt
R. P. Sallen, E. L. Key: A Practical Method of Designing RC Active Filters, IRE Transactions on Circuit Theory 2(1), 74–85 (1955), doi:10.1109/TCT.1955.6500159
Texas Instruments: Active Low-Pass Filter Design (Application Report SLOA049) – Tabellen für höhere Ordnungen, auch für MFB

Aktive Filter: Tiefpass und Hochpass mit OPV

Erstellt: 19.10.2026 · Zuletzt geändert: 20.10.2026