Innenwiderstand
Eine ideale Spannungsquelle liefert ihre Spannung, egal wieviel Strom man ihr entnimmt. Eine ideale Stromquelle liefert ihren Strom, egal welche Spannung dabei entsteht. Beide gibt es nicht.
Jede reale Quelle bricht unter Last ein, und das Maß dafür ist ihr Innenwiderstand \(R_i\). Er erklärt, warum eine frische Batterie im Multimeter 1,6 V zeigt und die Lampe trotzdem nur schwach leuchtet, warum ein hochohmiger Spannungsteiler mit dem Messgerät zusammenbricht, und warum eine Konstantstromquelle mit einem möglichst hohen Innenwiderstand wirbt, während ein Netzteil mit einem möglichst niedrigen wirbt.
Das Ersatzbild
Man denkt sich jede reale Quelle als ideale Quelle mit einem Widerstand daneben. Bei einer Spannungsquelle sitzt er in Reihe, bei einer Stromquelle parallel:
Für die Spannungsquelle heißt das: Sobald ein Strom \(I\) fließt, fällt an \(R_i\) die Spannung \(I \cdot R_i\) ab, und was an den Klemmen A--B übrigbleibt, ist
\(U_0\) ist die Leerlaufspannung -- die Spannung ohne angeschlossene Last. Genau die misst man mit einem hochohmigen Multimeter, und genau deshalb sieht eine müde Batterie im Leerlauf noch gut aus.
Wichtig: \(R_i\) ist kein Bauteil, das man aufschrauben und finden könnte. Es ist eine Rechengröße, die das äußere Verhalten der Quelle zusammenfasst -- bei einer Batterie steckt darin der Elektrolytwiderstand, der Widerstand der Elektroden und die Trägheit der elektrochemischen Reaktion.
Die Belastungskennlinie
Trägt man die Klemmenspannung über dem entnommenen Strom auf, ergibt sich eine Gerade:
Zwei Punkte auf dieser Geraden haben eigene Namen. Bei \(I = 0\) steht die Leerlaufspannung \(U_0\), bei \(U_{kl} = 0\) fließt der Kurzschlussstrom
Die Steigung der Geraden ist \(-R_i\). Damit hat man auch gleich die Anschauung: Je flacher die Kennlinie, desto besser die Quelle. Die ideale Spannungsquelle wäre eine Waagerechte.
Der Kurzschlussstrom ist übrigens der Grund, warum ein Kurzschluss an einem Li-Ion-Akku so gefährlich ist. Bei 3,7 V und 30 mΩ Innenwiderstand rechnet sich \(I_k\) zu über 120 A -- die Zelle begrenzt sich nur noch selbst, und zwar über ihre Erwärmung.
Thévenin und Norton
Beide Ersatzbilder beschreiben von außen dasselbe. Man kann sie ineinander umrechnen:
Das ist mehr als eine Formelspielerei. Der Satz von Thévenin besagt, dass sich jedes beliebig komplizierte Netzwerk aus Quellen und Widerständen, von zwei Klemmen aus betrachtet, durch genau diese zwei Größen ersetzen lässt. Ein Spannungsteiler aus \(R_1\) und \(R_2\) an \(U_e\) sieht von außen aus wie eine Quelle mit
Deshalb steht der Innenwiderstand auch im Spannungsteiler-Artikel: Er ist die Kennzahl, mit der man beurteilt, ob ein Teiler die angehängte Last verkraftet.
Merkregel für \(R_i\) eines Netzwerks: Alle idealen Spannungsquellen durch Kurzschlüsse ersetzen, alle idealen Stromquellen durch Unterbrechungen, und dann den Widerstand zwischen den Klemmen ausrechnen. Beim Teiler liegen \(R_1\) und \(R_2\) dadurch parallel.
Innenwiderstand messen
Man braucht zwei Betriebszustände. Am einfachsten: einmal im Leerlauf, einmal mit einem bekannten Lastwiderstand.
- Leerlaufspannung \(U_0\) hochohmig messen, ohne Last.
- Lastwiderstand \(R_L\) anschließen und die Klemmenspannung \(U_L\) messen.
- Der Strom ist \(I = U_L / R_L\), und damit
Zwei Dinge dabei beachten. Die Last sollte groß genug sein, dass ein deutlicher Einbruch entsteht -- bricht die Spannung nur um wenige Millivolt ein, misst man vor allem das Rauschen des Multimeters. Und sie sollte kurz genug anliegen, denn bei Batterien sinkt die Klemmenspannung unter Last weiter, sobald sich die Zelle erwärmt oder entlädt.
Rechner
Der Rechner führt die Formel oben aus. Er weiß nicht, wie du gemessen hast:
- Leitungs- und Kontaktwiderstände zählen mit. Bei kleinen \(R_i\) — Akkus liegen im Milliohm-Bereich — misst man leicht mehr die Krokodilklemmen als die Zelle. Dafür gibt es die Vierleitermessung.
- Der Lastwiderstand muss die Leistung aushalten. Der Rechner zeigt sie an, aber nicht, ob dein Widerstand sie verträgt.
- Batterien sind keine linearen Quellen. \(R_i\) hängt von Ladezustand, Temperatur und Stromhöhe ab. Ein Wert gilt für einen Betriebspunkt, nicht für alle.
| Laststrom \(I\) | — |
| Innenwiderstand \(R_i\) | — |
| Spannungseinbruch | — |
| Kurzschlussstrom \(I_k\) | — |
| Leistung in der Last | — |
| Verlust in \(R_i\) | — |
| Wirkungsgrad | — |
| max. Leistung bei \(R_L = R_i\) | — |
Typische Größenordnungen
| Quelle | \(R_i\) (Anhaltswert) |
|---|---|
| Labornetzteil, geregelt | < 10 mΩ |
| LiFePO4-Zelle | 10–30 mΩ |
| Li-Ion 18650 | 30–50 mΩ |
| Alkaline AA, frisch | 0,15–0,3 Ω |
| Zink-Kohle AA | 0,5–1 Ω |
| Alkaline 9-V-Block | 1–2 Ω |
| CR2032 Knopfzelle, frisch | 10–40 Ω |
| Funktionsgenerator-Ausgang | 50 Ω (per Norm) |
Der 9-V-Block ist der klassische Stolperstein: Er besteht aus sechs winzigen in Reihe geschalteten Zellen, deren Innenwiderstände sich addieren. Für einen Vorverstärker ist er ideal, für alles mit nennenswertem Strom untauglich.
Noch drastischer ist die CR2032. Bei 3 V und 30 Ω Innenwiderstand bricht die Spannung schon bei 20 mA um 0,6 V ein -- und mit zunehmender Entladung steigt \(R_i\) auf über 100 Ω. Dann sind es 2 V Einbruch, und die LED geht schlicht aus, obwohl das Multimeter im Leerlauf noch fast 3 V anzeigt. Deshalb geben Hersteller für Knopfzellen Dauerströme im Bereich von 0,2 mA an.
Der Funktionsgenerator ist ein Sonderfall: Seine 50 Ω sind kein Mangel, sondern Absicht. Sie sind genormt, damit sich Kabel und Abschlusswiderstand definiert verhalten.
Warum das Messgerät selbst stört
Ein Voltmeter mit Eingangswiderstand \(R_M\) bildet mit dem Innenwiderstand der Quelle einen Spannungsteiler. Angezeigt wird
Solange \(R_M \gg R_i\), ist der Fehler vernachlässigbar. Aber genau das ist nicht immer gegeben: Ein typisches Multimeter hat 10 MΩ Eingangswiderstand. Misst man damit an einem Spannungsteiler aus zwei 2-MΩ-Widerständen, ist dessen Innenwiderstand \(2\,\text{M}\Omega \parallel 2\,\text{M}\Omega = 1\,\text{M}\Omega\) -- und der Messwert liegt um
zu niedrig. Das Messgerät zeigt nicht die Spannung, die ohne es dagewesen wäre.
Leistungsanpassung -- und wann sie falsch ist
Die maximale Leistung entnimmt man einer Quelle, wenn \(R_L = R_i\) ist. Dann fließt der halbe Kurzschlussstrom, an den Klemmen steht die halbe Leerlaufspannung, und es gilt
Was dabei gern übersehen wird: In diesem Punkt fällt die Hälfte der erzeugten Leistung im Innenwiderstand an. Der Wirkungsgrad beträgt nur 50 %.
Für die Energietechnik ist Leistungsanpassung deshalb genau das Falsche -- ein Kraftwerk, das die Hälfte seiner Leistung in sich selbst verheizt, wäre eine Katastrophe. Dort will man \(R_L \gg R_i\) und einen Wirkungsgrad nahe 100 %. Leistungsanpassung lohnt nur dort, wo die verfügbare Leistung von vornherein winzig ist und es auf jedes Mikrowatt ankommt: Antennen, Sensoren, Energy Harvesting.
Wo das Modell endet
Das lineare Ersatzbild ist eine Näherung, und sie hat Grenzen.
Nichtlinearität. Der Innenwiderstand einer Batterie hängt vom Ladezustand ab, von der Temperatur und sogar von der Stromhöhe. Die Kennlinie ist dann keine Gerade mehr, sondern gekrümmt -- ein gemessener Wert gilt für einen Arbeitspunkt.
Frequenzabhängigkeit. Streng genommen ist es eine Innenimpedanz. Akkus haben kapazitive Anteile aus der Doppelschicht an den Elektroden; deshalb liefert eine Messung mit 1 kHz einen anderen, meist deutlich kleineren Wert als eine Gleichstrommessung. Batterietester nutzen genau das aus -- ihre Anzeige ist mit einem DC-Wert nicht direkt vergleichbar.
Zeitabhängigkeit. Unter Last sinkt die Klemmenspannung weiter, weil sich die Zelle entlädt und erwärmt. Wer sauber messen will, misst kurz.
Weiterführendes
- Spannungsteiler -- der häufigste Fall eines Netzwerks mit Innenwiderstand, mit Rechner für den belasteten Teiler
- Einstellbare Konstantstromquelle -- dort ist ein hoher Innenwiderstand das Ziel
- Elektrisches Potential und Maschenregel -- warum sich die Spannungen im Kreis zu null addieren
- Formelsammlung -- die Rechner im Überblick