Elektromigration

Teil der Rubrik Zuverlässigkeit.

HCI, NBTI und TDDB haben eines gemeinsam: Gelitten wird im Oxid oder an seiner Grenzfläche, getrieben von Feldern. Elektromigration ist die andere Familie. Hier altert die Metallisierung, und der Treiber ist nicht die Spannung, sondern die Stromdichte.

Der Mechanismus ist fast schon unverschämt anschaulich: Der Strom trägt die Leiterbahn Atom für Atom ab. Er nimmt Metall an einer Stelle weg und lagert es an einer anderen wieder an -- bis die eine reißt oder die andere zum Nachbarn durchwächst.

Elektronenwind gegen Feldkraft

Auf ein Metallion in einer stromdurchflossenen Leitung wirken zwei Kräfte.

• Die direkte Feldkraft. Das Ion ist positiv und sitzt im Feld \(E\), das den Strom treibt. Es wird also zur Kathode gezogen.
• Der Elektronenwind (engl. electron wind). Die Leitungselektronen driften zur Anode und streuen dabei an den Ionen. Jeder Stoß überträgt Impuls -- und zwar in Richtung Anode.

Für ein Ion auf seinem regulären Gitterplatz ist beides bedeutungslos, es sitzt fest. Interessant wird es für ein Atom, das gerade diffundiert, also auf dem Sattelpunkt zwischen zwei Plätzen hängt. Dort ist es ein gestörtes Gitterelement, streut die Elektronen besonders stark -- und bekommt besonders viel Impuls ab.

Zusammengefasst wird das in der effektiven Ladungszahl \(Z^*\), mit der Elementarladung \(e\):

Dabei ist \(\rho\) der spezifische Widerstand der Leitung und \(\vec j\) die Stromdichte -- dieselbe Größe wie in der Elektrodynamik-Serie, über \(\vec E = \rho\,\vec j\) mit dem Feld verknüpft. Huntington und Grone haben 1961 das Streumodell dazu formuliert.

Warum der Wind gewinnt: Die direkte Kraft wird von den umgebenden Leitungselektronen weitgehend abgeschirmt, das Ion „sieht" nur einen Bruchteil des Feldes. Der Windanteil dagegen skaliert mit der Zahl der Elektronen, die am aktivierten Atom streuen -- und davon gibt es in einem Metall sehr viele. Für Aluminium und Kupfer ist \(Z^*\) deshalb negativ und betragsmäßig deutlich größer als die Wertigkeit: Die Atome wandern mit den Elektronen, also zur Anode.

Aus der Kraft wird über die Einstein-Relation eine Driftgeschwindigkeit der Atome und daraus ein Atomfluss \(J_\text{at}\) (Atome pro Fläche und Zeit):

mit der Atomdichte \(N\), dem Diffusionskoeffizienten \(D\), seinem Vorfaktor \(D_0\), der Aktivierungsenergie \(E_a\), der Boltzmann-Konstante \(k_B\) und der absoluten Temperatur \(T\). Zwei Hebel stehen da: linear in \(j\), exponentiell in \(T\). Das wird die ganze Seite über so bleiben.

Wo die Atome laufen

Diffusion in einem polykristallinen Metallfilm hat mehrere parallele Pfade, und der mit der kleinsten Aktivierungsenergie gewinnt:

Typische Größenordnungen; die tatsächlichen Werte hängen von Gefüge, Deckschicht und Prozess ab.

Bei Aluminium laufen die Atome über die Korngrenzen. Bei Kupfer ist es die obere Grenzfläche zur dielektrischen Deckschicht (SiN, SiCN): Die Barriere aus Ta/TaN an Seitenwänden und Boden haftet gut, die Oberseite ist die Schwachstelle.

Daraus folgt der Trick mit der Bambusstruktur (engl. bamboo structure). Ist die Leitung schmaler als die mittlere Korngröße, laufen die Korngrenzen quer durch die Bahn wie die Knoten im Bambusrohr. Ein durchgehender Korngrenzenpfad existiert dann nicht mehr. Für Aluminium war das ein enormer Gewinn; für Kupfer hilft es wenig, weil dort die Grenzfläche ohnehin den Fluss trägt.

Flussdivergenz: Voids und Hillocks

Ein gleichmäßiger Atomfluss durch eine homogene Leitung richtet nichts an -- was hinten wegläuft, kommt vorne nach. Schaden entsteht erst, wo der Fluss sich ändert: \(\nabla \cdot J_\text{at} \neq 0\). Das ist dieselbe Kontinuitätslogik wie bei der Ladung, nur mit Atomen.

• Wo mehr hinaus- als hineinfließt, entstehen Leerstellen, die zu Voids (Hohlräumen) zusammenwachsen. Typisch am kathodenseitigen Ende.
• Wo mehr hinein- als hinausfließt, staut sich Material als Hillocks oder Extrusionen. Typisch auf der Anodenseite.

Divergenzorte sind Korngrenzen-Tripelpunkte, Temperaturgradienten -- und vor allem Vias. Ein Wolfram-Plug in der Aluminiumtechnik oder die Ta-Barriere am Kupfer-Via ist für die Metallatome eine Wand: Von dort fließt Material ab, aber nichts nach. Das Via ist deshalb fast immer der Ort, an dem es zuerst passiert, und die Lebensdauer einer Verdrahtung ist im Kern die Lebensdauer ihrer Vias.

Die beiden Ausfallbilder:

• Unterbrechung. Der Void wächst über den Querschnitt. Weil die Barriere als Nebenschluss weiterleitet, steigt meist zuerst nur der Widerstand -- daher sind Ausfallkriterien wie „+10 % oder +20 % Widerstand" üblich.
• Kurzschluss. Eine Extrusion bricht durch das Dielektrikum zur Nachbarbahn. Seltener, aber unangenehmer, weil plötzlich.

Ein Gegenmittel nutzt genau diese Geometrie: Ein überstehendes Metallstück hinter dem Via wirkt als Reservoir, aus dem Material nachfließen kann, bevor der kritische Void entsteht.

Blech-Effekt: unsterbliche Leitungen

Wenn Atome an der Anode angehäuft und an der Kathode abgezogen werden, baut sich im Metall eine mechanische Spannung auf -- Druck an der Anode, Zug an der Kathode. Dieser Spannungsgradient treibt die Atome zurück. Mit der Spannungsdifferenz \(\Delta\sigma\) über die Leitungslänge \(L\) und dem Atomvolumen \(\Omega\) stellt sich ein Gleichgewicht ein, wenn

Ilan Blech hat das 1976 an Aluminiumstreifen auf TiN gezeigt: Unterhalb einer kritischen Länge wandern die Atome nicht. Liegt das Produkt \(j\cdot L\) unter dem kritischen Wert, ist die Leitung unsterblich -- nicht langlebig, sondern tatsächlich immun gegen Elektromigration.

Für Kupfer liegt \((j\cdot L)_c\) in der Größenordnung von einigen 1000 A/cm. Bei \(j = 1\) MA/cm² heißt das:

Kurze Leitungsstücke zwischen zwei Vias sind also oft gar nicht gefährdet. Das ist ein echter Design-Hebel: Moderne Layout-Prüfungen erlauben kurzen Segmenten höhere Stromdichten als langen.

Die Black-Gleichung

James R. Black hat Ende der 1960er an Aluminiumleitungen die empirische Beziehung aufgestellt, die bis heute die Grundlage jeder Elektromigrationsqualifikation ist:

mit der mittleren Lebensdauer \(t_{50}\) (50 % der Leitungen ausgefallen, oft auch MTTF genannt), einer prozessabhängigen Konstante \(A\) und dem Stromdichteexponenten \(n\).

Der Exponent verrät, was die Lebensdauer begrenzt:

• \(n \approx 2\): Die Nukleation des Voids dominiert -- die Spannung muss erst bis zur kritischen Zugspannung aufgebaut werden.
• \(n \approx 1\): Das Wachstum dominiert -- der Void ist sofort da (typisch bei Kupfer am Via), und seine Wachstumsrate ist schlicht proportional zum Atomfluss, also zu \(j\).

Rechenbeispiel: vom Test zum Betrieb

Dieselbe Rechnung wie in der Arrhenius-Rechnung der Übersicht, nur kommt jetzt der Stromterm dazu. Kupferleitung, \(E_a = 0{,}85\) eV, \(n = 2\):

Fallen im Test die Hälfte der Leitungen nach 200 Stunden aus, rechnen wir auf rund \(2{,}3\cdot10^7\) Stunden im Betrieb -- über 2000 Jahre. Das klingt nach absurd viel Reserve, ist es aber nicht, und zwar aus drei Gründen.

Erstens zählt nicht der Median. Elektromigrationsausfälle folgen einer Lognormalverteilung. Interessant ist nicht \(t_{50}\), sondern der Zeitpunkt, an dem 0,1 % ausgefallen sind -- und bei einer Streuung \(\sigma = 0{,}5\) liegt der beim Faktor \(e^{-3{,}09\cdot0{,}5} \approx 0{,}21\) darunter. Ein Chip hat aber Millionen Leitungssegmente und Vias, und jedes einzelne muss halten. Dieselbe Logik des schwächsten Glieds wie bei der Flächenskalierung im TDDB frisst so noch eine Größenordnung.

Zweitens die Modellunsicherheit. Mit \(E_a = 0{,}75\) statt 0,85 eV schrumpft der thermische Faktor von 7150 auf rund 2500, mit 0,95 eV wächst er auf 20.000 -- wieder der Faktor 3 pro 0,1 eV. Und ob \(n = 1\) oder 2 gilt, macht beim Stromterm weitere Faktor 4 aus.

Drittens die Joule-Erwärmung. Die Leitung heizt sich selbst, die Leistungsdichte wächst mit \(\rho j^2\). Bei 2 MA/cm² im Test liegt die Leitung messbar über Ofentemperatur. Wer das nicht korrigiert (üblich: Temperatur über den Temperaturkoeffizienten des Widerstands der Leitung selbst bestimmen), rechnet mit der falschen Temperatur -- und die steht im Exponenten. Über die Joulesche Wärme koppelt die Stromdichte also doppelt ein: direkt über den Wind und indirekt über die Temperatur.

Technologiegeschichte: Al, Al-Cu, Kupfer

Reines Aluminium war die erste Metallisierung, billig und gut strukturierbar -- aber mit Korngrenzendiffusion bei rund 0,5 eV ein Elektromigrationsproblem, sobald die Leitungen schmal wurden.

Al-Cu war die Antwort: 0,5 bis 4 % Kupfer segregieren an die Korngrenzen und blockieren dort genau den schnellen Pfad. Das brachte Größenordnungen an Lebensdauer und blieb jahrzehntelang Standard, ergänzt um Ti/TiN-Lagen über und unter dem Aluminium, die bei einem Void den Strom übernehmen.

Kupfer-Damascene kam Ende der 1990er: Graben ins Dielektrikum ätzen, Barriere und Kupfer abscheiden, plan polieren. Kupfer hat den kleineren Widerstand und mit 1085 °C einen deutlich höheren Schmelzpunkt als Aluminium mit 660 °C -- und Diffusion skaliert grob mit dem Abstand zum Schmelzpunkt. Der Haken ist die Grenzfläche zur Deckschicht, an der seitdem gearbeitet wird: Kobalt-Deckschichten oder Legierungszusätze wie Mangan im Kupfer bremsen genau diesen Pfad.

Und die Skalierung macht alles schlimmer. Der Strom pro Leitung sinkt langsamer als ihr Querschnitt, also steigt \(j\) in den MA/cm²-Bereich. Gleichzeitig wird der kritische Void kleiner -- in einer schmalen Bahn genügt ein kleineres Loch für die Unterbrechung --, und der Anteil der Grenzfläche am Querschnitt wächst. Elektromigration ist heute einer der Mechanismen, die die zulässige Stromdichte im Back-End festlegen.

Gleichstrom, Wechselstrom, Pulse

Gleichstrom ist der Ernstfall. Der Atomfluss läuft immer in dieselbe Richtung.

Bei Wechselstrom heilt die Leitung sich selbst. Was in der einen Halbwelle verschoben wird, wandert in der anderen zurück. Echte bipolare Ströme verlängern die Lebensdauer um Größenordnungen; für Elektromigration zählt dann im Wesentlichen nur noch die Erwärmung.

Gepulster Gleichstrom in eine Richtung zählt in erster Näherung mit seinem Mittelwert \(\bar j\). Für die Erwärmung zählt dagegen der Effektivwert \(j_\text{rms}\). Layoutregeln führen deshalb getrennte Grenzwerte für \(\bar j\), \(j_\text{rms}\) und \(j_\text{peak}\) -- drei Zahlen für drei verschiedene Mechanismen.

Wie gemessen wird

Klassisch sind Package-Level-Tests: lange, gerade Leitungen oder Via-Ketten im Gehäuse, im Ofen bei 200 bis 350 °C, konstanter Strom, Widerstand per Vierleitermessung, bis das Ausfallkriterium erreicht ist. Mehrere Stromdichten und Temperaturen liefern \(n\) und \(E_a\), die Ausfallzeiten trägt man im Lognormal-Papier auf.

Daneben gibt es Wafer-Level-Schnelltests, bei denen die Leitung sich selbst per Joule-Erwärmung auf Testtemperatur bringt -- schnell genug für die Prozessüberwachung, aber wegen der unsicheren Temperatur kein Ersatz für die Qualifikation.

Praxis: Leistungselektronik und Gatetreiber

Hier wird es konkret, und die Antwort ist nicht die, die man zuerst erwartet.

Der Gatetreiber. Ein Treiber wie der TC4424A liefert 3 A Spitzenstrom. Läuft das durch eine Aluminiumbahn von 1 µm Dicke und 100 µm Breite, sind das 3 MA/cm² -- weit über jeder Gleichstromgrenze. Trotzdem stirbt der Treiber nicht daran, denn Elektromigration sieht den Mittelwert. Und der ist beim Gate klein:

mit der Gate-Ladung \(Q_G\) und der Schaltfrequenz \(f_\text{sw}\). 50 nC bei 100 kHz ergeben 5 mA -- drei Größenordnungen unter dem Spitzenwert. Am Ausgangspin fließt der Strom außerdem in beide Richtungen, Laden und Entladen, also wie Wechselstrom. Unipolar belastet sind die Versorgungs- und Masseleitungen der Endstufe: Die eine sieht nur Ladepulse, die andere nur Entladepulse. Kritisch wird es bei großen \(Q_G\) und hohen Frequenzen -- parallel geschaltete Leistungsmodule, MHz-Treiber für GaN --, und in der Endstufe über die Erwärmung durch \(j_\text{rms}\).

Die Leistungsmetallisierung. Ganz anders im Leistungshalbleiter selbst und in integrierten Leistungsstufen: Source- und Drain-Finger eines lateralen DMOS tragen den vollen Laststrom, unipolar und dauerhaft. Hier ist Elektromigration oft die Größe, die die Fingerbreite und die Zahl der Vias festlegt, und der Grund für dicke Kupfer-Top-Metalle in Smart-Power-Prozessen.

Bonddrähte liegen mit Stromdichten um \(10^4\) A/cm² weit unter der Elektromigrationsgrenze. Sie fallen thermomechanisch aus, durch Lastwechsel und Abheben, nicht durch den Elektronenwind.

Lötstellen und Flip-Chip-Bumps dagegen sind ein echtes Elektromigrationsthema -- schon bei rund \(10^4\) A/cm², also hundertmal weniger als auf dem Chip. Der Grund ist der Schmelzpunkt: Zinnbasiertes Lot schmilzt um 220 °C, bei 100 °C Betrieb ist es thermisch schon nahe am Fließen. Dazu kommt Stromverdrängung (engl. current crowding) dort, wo die schmale Leiterbahn in den breiten Bump mündet, und die Auflösung der Unterbumpmetallisierung in intermetallische Phasen.

Der Haupthebel ist in allen Fällen die Temperatur. Bei 0,85 eV kosten 10 K mehr am Hotspot rund die Hälfte der Lebensdauer. Wer Kühlung und Layout so auslegt, dass die heißeste Stelle nicht zugleich die mit der höchsten Stromdichte ist, gewinnt mehr als mit jeder breiteren Leiterbahn.

Zusammengefasst

Am Ende ist Elektromigration der einzige Mechanismus dieser Rubrik, bei dem der Strom selbst das Werkzeug ist, mit dem er sich den Weg abgräbt.

Weiterführendes

• Zuverlässigkeit: Übersicht -- alle Mechanismen nebeneinander, Arrhenius und FIT
• TDDB -- der harte Ausfall auf der Oxidseite, mit derselben Statistik des schwächsten Glieds
• Stromdichte und Kontinuität -- die Stromdichte \(\vec j\) und welche Werte Leiter vertragen
• Ohmsches Gesetz und Drude-Modell -- Elektronen, die am Gitter streuen, und die Joulesche Wärme
• Herleitung: Einstein-Relation -- die Brücke von Diffusion zu Drift, hier für Atome statt Elektronen
• TC4424A -- Spitzenstrom aus der Gate-Ladung, durchgerechnet