Herleitung: Tunnelwahrscheinlichkeit

Ergebnis (verwendet im Tunneleffekt) für eine rechteckige Barriere der Höhe $V_0$ und Breite $d$ bei einer Teilchenenergie $E < V_0$:

\[T \approx \exp\left(-\frac{2d}{\hbar}\sqrt{2m\left(V_0 - E\right)}\right)\]

Diese Formel steht in jedem Lehrbuch, meist ohne Herleitung und fast immer ohne den Vorfaktor, den sie eigentlich hat. Beides wird hier nachgeholt -- die Rechnung ist vollständig ausgeschrieben, von der Schrödingergleichung über die vier Anschlussbedingungen bis zum exakten Ergebnis. Danach die Verallgemeinerung auf beliebige Barrierenformen, aus der die Fowler-Nordheim-Formel für den Gate-Leckstrom folgt.

Die Herleitung ist so aufgebaut, dass sie auch ohne Halbleiterbezug lesbar ist: Wer im Physik- oder Chemiestudium an der Randwertaufgabe zur Schrödingergleichung sitzt, findet hier jeden Zwischenschritt.

Physikalisches Bild

Klassisch prallt ein Teilchen mit $E < V_0$ an der Barriere ab. Quantenmechanisch ist es keine Kugel, sondern eine Welle -- und Wellen enden nicht abrupt an einer Wand.

Innerhalb der Barriere ist die kinetische Energie formal negativ. Die Schrödingergleichung liefert dort keine schwingende Lösung mehr, sondern eine exponentiell abfallende. Ist die Barriere dünn genug, hat die Wellenfunktion am anderen Ende noch eine endliche Amplitude, und dahinter läuft sie als Welle weiter. Das Teilchen kann dort auftauchen.

Wichtig für das Verständnis: Das Teilchen hält sich nicht „in" der Barriere auf und leiht sich auch keine Energie. Es hat vorher und nachher dieselbe Energie $E$. Was durch die Barriere reicht, ist die Amplitude der Wellenfunktion -- und die legt fest, mit welcher Wahrscheinlichkeit es auf der anderen Seite gemessen wird.

Annahmen

Stationärer Fall, also zeitunabhängige Schrödingergleichung
Eindimensionale, rechteckige Barriere -- konstante Höhe $V_0$ zwischen $0$ und $d$, außerhalb null
$E < V_0$, sonst ist es kein Tunneln, sondern Transmission über die Barriere
Konstante effektive Masse $m$ in allen drei Bereichen. Im Festkörper ist das eine Vereinfachung: Die effektive Masse im Oxid unterscheidet sich von der im Halbleiter
Einlaufende Welle nur von links, rechts läuft nichts zurück

Schritt 1: Drei Bereiche, drei Lösungen

Die stationäre Schrödingergleichung lautet

\[-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\mathrm{d}^2\psi}{\mathrm{d}x^2} + V(x)\,\psi = E\,\psi\]

Mit $V = 0$ links und rechts wird daraus $\psi'' = -k^2\psi$ mit der Wellenzahl

\[k = \frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}\]

Innerhalb der Barriere ist $V = V_0 > E$, also $\psi'' = +\kappa^2\psi$ mit der Abklingkonstante

\[\kappa = \frac{\sqrt{2m\left(V_0 - E\right)}}{\hbar}\]

Der Vorzeichenwechsel ist der ganze Kern der Sache: Aus $-k^2$ wird $+\kappa^2$, und damit aus einer schwingenden eine exponentielle Lösung.

\[\psi_{\mathrm{I}} = \underbrace{A e^{ikx}}_{\text{einlaufend}} + \underbrace{B e^{-ikx}}_{\text{reflektiert}}, \qquad \psi_{\mathrm{II}} = C e^{-\kappa x} + D e^{+\kappa x}, \qquad \psi_{\mathrm{III}} = F e^{ikx}\]

Wellenfunktion an einer rechteckigen Potentialbarriere: oszillierend in Region I, exponentiell abfallend in Region II, oszillierend mit reduzierter Amplitude in Region III

Die drei Bereiche der Rechnung. Links läuft die Welle ein und wird teilweise reflektiert; innerhalb der Barriere gibt es keine Schwingung mehr, sondern reinen exponentiellen Abfall mit der Konstanten κ; rechts läuft sie mit reduzierter Amplitude weiter. Genau dieser Wechsel von schwingend zu exponentiell ist der Vorzeichenwechsel in der Differentialgleichung. © electronobotics.de

Gesucht ist $T = |F|^2/|A|^2$. Dass man hier einfach die Amplitudenquadrate ins Verhältnis setzen darf, liegt daran, dass die Wahrscheinlichkeitsstromdichte $j = \frac{\hbar k}{m}|\psi|^2$ links und rechts dieselbe Wellenzahl $k$ enthält -- sie kürzt sich heraus. Bei unterschiedlichen Potentialen links und rechts wäre das nicht so.

Schritt 2: Die vier Stetigkeitsbedingungen

Die Wellenfunktion und ihre Ableitung müssen an beiden Sprungstellen stetig sein. Für $\psi$ ist das die Forderung, dass die Aufenthaltswahrscheinlichkeit keinen Sprung macht; für $\psi'$ folgt es daraus, dass ein Knick eine unendliche zweite Ableitung und damit unendliche Energie bedeuten würde. (Bei einem unendlich hohen Potentialsprung gilt das nicht mehr -- dort darf $\psi'$ springen.)

Bei $x = 0$:

\[A + B = C + D \qquad (1)$$ $$ik\left(A - B\right) = \kappa\left(D - C\right) \qquad (2)\]

Bei $x = d$:

\[C e^{-\kappa d} + D e^{\kappa d} = F e^{ikd} \qquad (3)$$ $$\kappa\left(-C e^{-\kappa d} + D e^{\kappa d}\right) = ik\,F e^{ikd} \qquad (4)\]

Vier Gleichungen, fünf Amplituden -- das genügt, weil nur Verhältnisse gesucht sind. Die Gesamtnormierung bleibt offen und ist für $T$ auch bedeutungslos.

Schritt 3: Von rechts nach links -- $C$ und $D$ durch $F$

Der Trick ist, nicht bei $x=0$ anzufangen, sondern bei $x=d$. Gleichungen (3) und (4) enthalten nur $C$, $D$ und $F$, und man entkoppelt sie durch Addieren und Subtrahieren. Dazu (4) durch $\kappa$ teilen:

\[-C e^{-\kappa d} + D e^{\kappa d} = \frac{ik}{\kappa}\,F e^{ikd}\]

Addiert man das zu (3), fällt $C$ heraus; subtrahiert man es, fällt $D$ heraus:

\[D = \frac{F}{2}\,e^{ikd}\,e^{-\kappa d}\left(1 + \frac{ik}{\kappa}\right), \qquad C = \frac{F}{2}\,e^{ikd}\,e^{+\kappa d}\left(1 - \frac{ik}{\kappa}\right)\]

Schon hier sieht man, wohin die Reise geht: $C$ trägt den Faktor $e^{+\kappa d}$. Die abfallende Lösung im Inneren muss also groß anfangen, damit rechts überhaupt noch etwas ankommt.

Schritt 4: $A$ durch $C$ und $D$

Jetzt dieselbe Technik bei $x=0$. Gleichung (2) durch $ik$ teilen -- mit $1/i = -i$ wird daraus

\[A - B = i\,\frac{\kappa}{k}\left(C - D\right)\]

Addiert zu (1) fällt $B$ heraus:

\[2A = C\left(1 + i\frac{\kappa}{k}\right) + D\left(1 - i\frac{\kappa}{k}\right)\]

Einsetzen der Ausdrücke aus Schritt 3 und Ausmultiplizieren der beiden Klammerpaare:

\[\left(1 - \frac{ik}{\kappa}\right)\left(1 + \frac{i\kappa}{k}\right) = 2 + i\gamma, \qquad \left(1 + \frac{ik}{\kappa}\right)\left(1 - \frac{i\kappa}{k}\right) = 2 - i\gamma \qquad\text{mit}\quad \gamma \equiv \frac{\kappa}{k} - \frac{k}{\kappa}\]

(Die gemischten Terme geben jeweils $-i^2 = +1$, deshalb die 2.) Damit:

\[A = \frac{F}{4}e^{ikd}\left[2\left(e^{\kappa d} + e^{-\kappa d}\right) + i\gamma\left(e^{\kappa d} - e^{-\kappa d}\right)\right]\]

Die beiden Klammern sind die Definitionen von $\cosh$ und $\sinh$:

\[\frac{A}{F} = e^{ikd}\left[\cosh(\kappa d) + \frac{i\gamma}{2}\sinh(\kappa d)\right]\]

Schritt 5: Betragsquadrat -- das exakte Ergebnis

Real- und Imaginärteil stehen getrennt da, der Phasenfaktor $e^{ikd}$ hat den Betrag 1:

\[\left|\frac{A}{F}\right|^2 = \cosh^2(\kappa d) + \frac{\gamma^2}{4}\sinh^2(\kappa d) = 1 + \sinh^2(\kappa d)\left(1 + \frac{\gamma^2}{4}\right)\]

wobei $\cosh^2 = 1 + \sinh^2$ benutzt wurde. Der Klammerausdruck lässt sich zusammenfassen:

\[1 + \frac{\gamma^2}{4} = \frac{1}{4}\left(\frac{\kappa}{k} + \frac{k}{\kappa}\right)^2 = \frac{1}{4}\,\frac{\left(k^2+\kappa^2\right)^2}{k^2\kappa^2}\]

Und jetzt kommt der Schritt, der alles aufräumt -- einsetzen, was $k$ und $\kappa$ physikalisch sind:

\[k^2 + \kappa^2 = \frac{2mE}{\hbar^2} + \frac{2m\left(V_0-E\right)}{\hbar^2} = \frac{2mV_0}{\hbar^2}, \qquad k^2\kappa^2 = \frac{4m^2 E\left(V_0-E\right)}{\hbar^4}\]

Die Massen und $\hbar$ kürzen sich vollständig heraus, übrig bleibt $V_0^2 / \left(4E(V_0-E)\right)$. Mit $T = |F/A|^2$:

\[\boxed{\;T = \left[1 + \frac{V_0^2 \sinh^2(\kappa d)}{4E\left(V_0 - E\right)}\right]^{-1}\;}\]

Häufig steht dieselbe Formel in der Schreibweise mit $\varepsilon = E/V_0$, was die Struktur klarer zeigt:

\[T = \left[1 + \frac{\sinh^2(\kappa d)}{4\,\varepsilon\left(1-\varepsilon\right)}\right]^{-1}\]

Zur Methode: Was hier von Hand gerechnet wurde, ist der einfachste Fall der Transfermatrix-Methode. Man schreibt die Anschlussbedingungen an jeder Grenzfläche als $2\times2$-Matrix und multipliziert die Matrizen auf. Für eine Doppelbarriere, einen Übergitter-Stapel oder ein beliebig zerlegtes Potential ändert sich nur die Anzahl der Faktoren -- die Physik bleibt dieselbe. Für Studierende ist das der Punkt, an dem sich die mühsame Handrechnung auszahlt.

Diese exakte Form wird selten zitiert, ist aber die eigentliche Lösung. Zwei Grenzfälle machen sie plausibel:

$d \to 0$: $\sinh(0) = 0$, also $T = 1$. Keine Barriere, keine Behinderung.
$E \to V_0$: Der Nenner $4E(V_0-E) \to 0$ und $\kappa \to 0$; die Entwicklung liefert $T \to \left[1 + \frac{m V_0 d^2}{2\hbar^2}\right]^{-1}$, also einen endlichen Wert kleiner 1. Selbst bei genau der Barrierenhöhe kommt nicht alles durch -- auch das ist klassisch unmöglich.

Schritt 6: Die Näherung für dicke Barrieren

Für $\kappa d \gg 1$ -- der Fall, der praktisch immer vorliegt -- gilt $\sinh(\kappa d) \approx \tfrac{1}{2}e^{\kappa d}$. Der Term in der Klammer wird groß gegen 1, und man darf die 1 streichen:

\[T \approx \frac{16\,E\left(V_0-E\right)}{V_0^2}\;e^{-2\kappa d}\]

Der Vorfaktor liegt für typische Verhältnisse zwischen etwa 1 und 4 und ist gegen den Exponentialterm bedeutungslos -- der überstreicht viele Größenordnungen. Lässt man ihn weg, steht die Formel vom Anfang da:

\[T \approx e^{-2\kappa d} = \exp\left(-\frac{2d}{\hbar}\sqrt{2m\left(V_0-E\right)}\right)\]

Das ist der Grund für das $\approx$: Nicht Schlamperei, sondern das bewusste Weglassen eines Faktors der Größenordnung 1 neben einem Exponenten der Größenordnung 10 bis 100.

Daraus folgen unmittelbar die drei Abhängigkeiten:

Größe	geht ein als	Konsequenz
Breite $d$	im Exponenten linear	exponentielle Empfindlichkeit -- ein Nanometer entscheidet
Höhe $V_0 - E$	im Exponenten mit $\sqrt{\;}$	schwächer als die Breite, aber immer noch dramatisch
Masse $m$	im Exponenten mit $\sqrt{\;}$	schwere Teilchen tunneln praktisch nicht

Schritt 7: Beliebige Barrierenform -- die WKB-Näherung

Echte Barrieren sind nicht rechteckig. Zerlegt man eine beliebige Form $V(x)$ gedanklich in viele dünne Rechtecke, multiplizieren sich deren Transmissionen -- die Exponenten addieren sich also, und aus der Summe wird ein Integral:

\[T \approx \exp\left(-\frac{2}{\hbar}\int_{x_1}^{x_2}\sqrt{2m\left(V(x)-E\right)}\;\mathrm{d}x\right)\]

Das ist die WKB-Näherung, benannt nach Wentzel, Kramers und Brillouin. Sie gilt, solange sich $V(x)$ auf der Längenskala einer Wellenlänge nur wenig ändert. Die rechteckige Barriere ist der Spezialfall mit konstantem Integranden.

Die dreieckige Barriere: Fowler-Nordheim

Der praktisch wichtigste Fall im Halbleiter ist eine Barriere, die durch ein elektrisches Feld gekippt wird -- das Gateoxid eines MOSFET unter Spannung. Mit der Feldstärke $F$ und der Barrierenhöhe $\Phi_B$ am Ursprung:

\[V(x) - E = \Phi_B - qFx\]

Die Barriere endet dort, wo dieser Ausdruck null wird, also bei $x_2 = \Phi_B/(qF)$. Eingesetzt:

\[\int_0^{x_2}\sqrt{2m\left(\Phi_B - qFx\right)}\,\mathrm{d}x = \frac{2}{3}\,\frac{\sqrt{2m}\;\Phi_B^{3/2}}{qF}\]

und damit

\[T \approx \exp\left(-\frac{4\sqrt{2m}\;\Phi_B^{3/2}}{3\,\hbar\,q\,F}\right)\]

Das ist der Exponent der Fowler-Nordheim-Formel. Bemerkenswert daran: Die Oxiddicke kommt gar nicht mehr vor -- nur noch die Feldstärke.

Von der Wahrscheinlichkeit zur Stromdichte

$T$ allein ist noch kein Strom. Man muss abzählen, wie viele Elektronen pro Sekunde und Fläche überhaupt gegen die Barriere anlaufen, und über deren Energieverteilung integrieren. Daraus entsteht der Vorfaktor, und die vollständige Gleichung lautet

\[J = \underbrace{\frac{q^3}{8\pi h\,\Phi_B}\cdot\frac{m_0}{m^*}}_{A}\;F^2\;\exp\left(-\frac{B}{F}\right), \qquad B = \frac{4\sqrt{2m^*}\,\Phi_B^{3/2}}{3\hbar q}\]

Der Exponent ist genau der oben hergeleitete; neu ist nur das $F^2$ davor, das aus der Abzählung stammt.

Für SiO₂ mit $\Phi_B = 3{,}1$ eV und $m^* = 0{,}5\,m_0$ ergibt sich

\[B \approx 2{,}6\cdot10^{10}\ \frac{\mathrm{V}}{\mathrm{m}} = 264\ \frac{\mathrm{MV}}{\mathrm{cm}}\]

was gut zum Literaturwert von 240 bis 300 MV/cm passt.

Der Fowler-Nordheim-Plot

Aus der Form $J = A F^2 e^{-B/F}$ folgt unmittelbar

\[\ln\!\left(\frac{J}{F^2}\right) = \ln A - \frac{B}{F}\]

Trägt man also $\ln(J/F^2)$ über $1/F$ auf, muss eine Gerade herauskommen. Das ist die Standardauswertung in der Praxis, und sie leistet zweierlei:

Sie beweist den Mechanismus. Nur echtes Fowler-Nordheim-Tunneln liefert diese Gerade. Krümmt sich die Kurve, ist etwas anderes im Spiel -- direktes Tunneln, Leitung über Traps oder ein beginnender Durchbruch.
Sie misst die Barriere. Aus der Steigung folgt $B$ und daraus das Produkt $\sqrt{m^*}\,\Phi_B^{3/2}$. Weil beide Größen darin verkoppelt sind, braucht man eine unabhängige Annahme für eine von ihnen -- der Grund, warum $m^*$ im Oxid je nach Quelle zwischen 0,4 und 0,5 schwankt.

Wie steil das wirklich ist

Feldstärke	$e^{-B/F}$
6 MV/cm	$8\cdot10^{-20}$
8 MV/cm	$5\cdot10^{-15}$
10 MV/cm	$4\cdot10^{-12}$
12 MV/cm	$3\cdot10^{-10}$

Ein Megavolt pro Zentimeter mehr -- also zehn Prozent -- multipliziert den Strom mit rund 17. Deshalb gibt es beim Oxid keinen sanften Übergang von „dicht" zu „leitet": Man verschiebt die Spannung um wenige Zehntel Volt und wechselt zwischen Jahrzehnten Datenhaltung und Löschen in Millisekunden.

Wann Fowler-Nordheim, wann direktes Tunneln

Die dreieckige Barriere setzt voraus, dass sie innerhalb des Oxids endet, also $\Phi_B/(qF) < t_{ox}$:

Oxiddicke	FN-Tunneln ab
10 nm	3,1 MV/cm
5 nm	6,2 MV/cm
3 nm	10,3 MV/cm

Ist das Feld kleiner, sieht das Elektron ein Trapez statt eines Dreiecks und muss durch die volle Dicke -- direktes Tunneln, zurück im rechteckigen Fall von oben. Bei modernen Gateoxiden unter 2 nm ist praktisch immer dieser Fall gemeint, und er ist der Grund für den Gate-Leckstrom moderner Transistoren.

Schreiben und Löschen: zwei verschiedene Mechanismen

Hier wird oft zu grob zusammengefasst, deshalb sauber getrennt:

	Schreiben	Löschen
NOR-Flash	Hot-Carrier-Injektion (CHE)	Fowler-Nordheim
NAND-Flash	Fowler-Nordheim	Fowler-Nordheim

Beim klassischen NOR-Flash wird nicht getunnelt, sondern geschossen: Im Kanal beschleunigte Elektronen gewinnen genug Energie, um die 3,1-eV-Barriere über die Oxidkante zu überwinden -- Channel Hot Electron Injection. Gelöscht wird dagegen per Fowler-Nordheim.

Der Grund für die Aufteilung ist der Strom. Hot-Carrier-Injektion braucht einen kräftigen Kanalstrom, also grob hunderte Mikroampere pro Zelle -- damit lassen sich nicht Tausende Zellen gleichzeitig programmieren. Fowler-Nordheim fließt dagegen fast stromlos, weil nur Ladung auf das Floating Gate verschoben wird. Genau deshalb nutzt NAND-Flash für beides FN: Nur so lassen sich ganze Seiten parallel schreiben, und darauf beruht seine Schreibrate.

Der Preis dafür ist die Spannung: FN braucht rund 15 bis 20 V, die auf dem Chip erst per Ladungspumpe erzeugt werden müssen.

Und damit fängt die Zuverlässigkeitsfrage an. Beide Mechanismen beschädigen das Oxid: Fowler-Nordheim-Stress erzeugt Traps, die später als stressinduzierter Leckstrom (SILC) die Ladung wegtragen; Hot-Carrier-Injektion erzeugt Grenzflächenzustände und verschiebt die Schwellspannung. Deshalb ist die Zyklenfestigkeit einer Flash-Zelle begrenzt -- und deshalb ist „Hot Carrier" in der Bauelementetechnik zuallererst ein Zuverlässigkeitsthema. Mehr dazu in der Rubrik Zuverlässigkeit, insbesondere zur Hot-Carrier-Degradation.

Zahlenbeispiel: Gateoxid

Elektronen aus dem Silizium-Leitungsband sehen an SiO₂ eine Barriere von etwa $\Phi_B = 3{,}1$ eV, mit einer effektiven Masse im Oxid von rund $m \approx 0{,}5\,m_e$. Damit:

\[\kappa = \frac{\sqrt{2 \cdot 0{,}5 \cdot 9{,}11\cdot10^{-31}\,\mathrm{kg} \cdot 3{,}1 \cdot 1{,}602\cdot10^{-19}\,\mathrm{J}}}{1{,}055\cdot10^{-34}\,\mathrm{Js}} \approx 6{,}4\;\mathrm{nm}^{-1}\]

Eingesetzt in $T \approx e^{-2\kappa d}$:

Oxiddicke	$T$	wo das vorkommt
1 nm	$3\cdot10^{-6}$	Gate-Leckstrom moderner MOSFETs
2 nm	$8\cdot10^{-12}$	Grenze der SiO₂-Skalierung
3 nm	$2\cdot10^{-17}$	praktisch dicht
8 nm	$5\cdot10^{-45}$	Flash-Speicher: hält die Ladung jahrelang

Die eigentliche Aussage steckt im Verhältnis der Zeilen: Ein einziges zusätzliches Nanometer Oxid senkt die Tunnelwahrscheinlichkeit um den Faktor

\[e^{2\kappa \cdot 1\,\mathrm{nm}} = e^{12{,}8} \approx 3{,}5\cdot10^{5}\]

also auf ein Dreihunderttausendstel. Das erklärt zwei Dinge auf einmal: warum die Skalierung des Gateoxids bei etwa 1,5 nm an eine Wand lief und der Wechsel zu High-k-Dielektrika unvermeidlich war -- und warum ein Flash-Speicher mit 8 nm Oxid seine Ladung über Jahre hält, obwohl derselbe Mechanismus sie hineingeschrieben hat.

Warum makroskopische Objekte nicht tunneln

Dieselbe Formel, andere Zahlen. Eine Kugel von 1 g soll eine Barriere von 1 cm Dicke durchtunneln, die ihre Energie um 1 J übersteigt:

\[\kappa = \frac{\sqrt{2 \cdot 10^{-3}\,\mathrm{kg} \cdot 1\,\mathrm{J}}}{1{,}055\cdot10^{-34}\,\mathrm{Js}} \approx 4\cdot10^{32}\,\mathrm{m}^{-1} \qquad\Rightarrow\qquad T \approx e^{-8\cdot10^{30}}\]

Eine Zahl, deren Exponent selbst schon 31 Stellen hat. Das Verbot ist also kein prinzipielles -- die Formel liefert brav ein Ergebnis größer null. Es ist die Masse unter der Wurzel, die den Effekt erledigt: Ein Proton ist rund 1836-mal schwerer als ein Elektron, was den Exponenten bereits um den Faktor $\sqrt{1836} \approx 43$ vergrößert.

Grenzen dieser Herleitung

Wer damit reale Gate-Leckströme ausrechnen will, sollte drei Dinge wissen:

$T$ ist keine Stromdichte. Um zum Strom zu kommen, muss man über alle einlaufenden Elektronen integrieren -- also über die Zustandsdichte und die Besetzung. Dabei entsteht der Vorfaktor $F^2$ der vollständigen Fowler-Nordheim-Gleichung.
Bildladungseffekte runden die Barriere ab und senken sie; reale Barrieren sind niedriger als die nominellen 3,1 eV.
Die effektive Masse im Oxid ist keine saubere Größe, sondern ein Fitparameter zwischen etwa 0,4 und 0,5 $m_e$. Angesichts der exponentiellen Empfindlichkeit ist das die größte Unsicherheit der ganzen Rechnung.

Für Größenordnungen und für das Verständnis der Skalierungsgrenzen reicht die Näherung trotzdem völlig aus -- sie liefert genau die Faktoren, an denen die Halbleitertechnik tatsächlich entlanggelaufen ist.

Weiterführendes

Tunneleffekt -- wo das Ergebnis überall auftaucht: Zener-Durchbruch, Tunneldiode, Flash, GIDL
MOS-Kapazität -- die Struktur, durch die getunnelt wird
Effektive Masse -- warum $m$ hier nicht die Elektronenmasse ist
Herleitung: Schottky-Diodenstrom -- der Konkurrenzmechanismus: über die Barriere statt hindurch
Zuverlässigkeit -- was der Tunnelstrom im Oxid langfristig anrichtet
Alle Herleitungen

Zum Nachschlagen anderswo

Das exakte Ergebnis lässt sich gegen die Standardliteratur prüfen. Die Herleitung der TU Braunschweig (Physikalische Chemie III) schreibt dieselbe Formel in der $\varepsilon$-Notation und kommt auch bei der Näherung auf denselben Vorfaktor 16 -- ein nützlicher Gegencheck, wenn man die eigene Rechnung kontrollieren will. Ausführlich steht der Fall in Schwabl, Quantenmechanik, und in Sze, Physics of Semiconductor Devices, dort direkt mit dem Bezug zu Tunneldiode und Oxidtunneln.

Erstellt: 27.08.2026