Herleitung: Schottky-Diodenstrom

Ergebnis (verwendet im Metall-Halbleiter-Kontakt):

\[J = A^{**} T^2 \exp\left(-\frac{q\Phi_B}{k_B T}\right) \left(e^{qV/k_B T} - 1\right)\]

Physikalisches Bild

Am Metall-Halbleiter-Kontakt sehen Elektronen im Halbleiter eine Energiebarriere der Höhe \(q\Phi_B\) (Schottky-Barrierenhöhe). Nur Elektronen mit genug thermischer Energie in Richtung der Barriere können sie überwinden -- das ist thermionische Emission.

Der Unterschied zur Shockley-Gleichung (pn-Übergang): Dort bestimmt Diffusion der Minoritätsträger den Strom. Hier ist es die thermische Geschwindigkeitsverteilung am Bandrand -- ein ganz anderer Mechanismus, aber die gleiche \(e^{qV/k_B T} - 1\)-Charakteristik.

Annahmen

  1. Thermisches Gleichgewicht im Halbleiter -- Elektronen folgen der Maxwell-Boltzmann-Verteilung
  2. Barrierenhöhe \(\Phi_B\) ist unabhängig von der Spannung (keine Bildladungsabsenkung)
  3. Kein Tunneln -- nur Elektronen über der Barriere tragen zum Strom bei
  4. Quasi-freie Elektronen im Leitungsband mit effektiver Masse \(m^*\)

Schritt 1: Geschwindigkeitsverteilung

Die Elektronen im Leitungsband haben eine thermische Geschwindigkeitsverteilung. Die Wahrscheinlichkeit, ein Elektron mit Geschwindigkeitskomponenten \((v_x, v_y, v_z)\) zu finden, folgt der dreidimensionalen Maxwell-Boltzmann-Verteilung:

\[f(v_x, v_y, v_z) = n \left(\frac{m^*}{2\pi k_B T}\right)^{3/2} \exp\left(-\frac{m^*(v_x^2 + v_y^2 + v_z^2)}{2 k_B T}\right)\]

wobei \(n\) die Elektronendichte im Halbleiter an der Grenzfläche ist.

Schritt 2: Stromdichte als Integral

Uns interessiert nur die Geschwindigkeitskomponente \(v_x\) senkrecht zur Grenzfläche. Die Elektronen starten an der Leitungsbandkante \(E_C\) im Halbleiter-Inneren -- von dort aus gesehen ist die Barriere die Bandverbiegung \(q(V_{bi} - V)\), nicht die volle Barrierenhöhe \(q\Phi_B\) (die wird vom Fermi-Niveau aus gemessen). Ein Elektron überwindet die Barriere also, wenn:

\[\frac{1}{2} m^* v_x^2 \geq q(V_{bi} - V)\]

Die minimale Geschwindigkeit ist also:

\[v_{min} = \sqrt{\frac{2q(V_{bi} - V)}{m^*}}\]

Die Stromdichte ist das Integral über alle Elektronen, die schnell genug sind. Jedes Elektron trägt eine Ladung \(q\) und bewegt sich mit \(v_x\). Weil die 3D-Verteilung aus Schritt 1 separabel ist — das Exponential zerfällt in ein Produkt \(e^{-(v_x^2 + v_y^2 + v_z^2)} = e^{-v_x^2} \cdot e^{-v_y^2} \cdot e^{-v_z^2}\) — lässt sich \(f(v_x, v_y, v_z)\) als Produkt von drei unabhängigen 1D-Verteilungen schreiben:

\[f(v_x, v_y, v_z) = f_x(v_x) \cdot f_y(v_y) \cdot f_z(v_z), \qquad f_i(v_i) = \sqrt{\frac{m^*}{2\pi k_B T}} \exp\!\left(-\frac{m^* v_i^2}{2 k_B T}\right)\]

Damit wird die Stromdichte:

\[J_{HL \to M} = q \cdot n \int_{v_{min}}^{\infty} v_x \, f_x(v_x) \, dv_x \cdot \int_{-\infty}^{\infty} f_y(v_y) \, dv_y \cdot \int_{-\infty}^{\infty} f_z(v_z) \, dv_z\]

Die \(v_y\)- und \(v_z\)-Integrale laufen über den gesamten Geschwindigkeitsraum und ergeben jeweils 1 (Normierung der Gauss-Verteilung). Es bleibt:

\[J_{HL \to M} = q \cdot n \left(\frac{m^*}{2\pi k_B T}\right)^{1/2} \int_{v_{min}}^{\infty} v_x \exp\left(-\frac{m^* v_x^2}{2 k_B T}\right) dv_x\]

Schritt 3: Das Integral lösen

Wir substituieren \(u = \frac{m^* v_x^2}{2 k_B T}\), also \(du = \frac{m^* v_x}{k_B T} dv_x\):

\[\int_{v_{min}}^{\infty} v_x \exp\left(-\frac{m^* v_x^2}{2 k_B T}\right) dv_x = \frac{k_B T}{m^*} \exp\left(-\frac{m^* v_{min}^2}{2 k_B T}\right)\]

Einsetzen von \(\frac{1}{2} m^* v_{min}^2 = q(V_{bi} - V)\):

\[= \frac{k_B T}{m^*} \exp\left(-\frac{q(V_{bi} - V)}{k_B T}\right)\]

Schritt 4: Zusammensetzen

Einsetzen in die Stromdichteformel:

\[J_{HL \to M} = q \cdot n \left(\frac{m^*}{2\pi k_B T}\right)^{1/2} \cdot \frac{k_B T}{m^*} \exp\left(-\frac{q(V_{bi} - V)}{k_B T}\right)\]

Die Elektronendichte \(n\) im Leitungsband ist (aus Ladungsträgerdichten):

\[n = N_C \exp\left(-\frac{E_C - E_F}{k_B T}\right) = 2\left(\frac{2\pi m^* k_B T}{h^2}\right)^{3/2} \exp\left(-\frac{E_C - E_F}{k_B T}\right)\]

Wir setzen \(n\) ein. Die beiden Exponentialfaktoren fügen sich zusammen: \((E_C - E_F) + q(V_{bi} - V) = q\Phi_B - qV\), denn die volle Barrierenhöhe ist gerade \(q\Phi_B = qV_{bi} + (E_C - E_F)\) -- Bandverbiegung plus Abstand des Fermi-Niveaus zur Leitungsbandkante. Mit den Vorfaktoren (\(N_C\) liefert \(T^{3/2}\), das Integral \(T^{1/2} \cdot T\)) ergibt sich:

\[J_{HL \to M} = \frac{4\pi q m^* k_B^2}{h^3} \cdot T^2 \cdot \exp\left(-\frac{q\Phi_B}{k_B T}\right) \cdot e^{qV/k_B T}\]

Der Vorfaktor ist die Richardson-Konstante:

\[\boxed{A^{**} = \frac{4\pi q m^* k_B^2}{h^3}}\]

Owen Willans Richardson (1879--1959) erhielt 1928 den Nobelpreis für seine Arbeit zur thermionischen Emission aus heißen Metalloberflächen. Die nach ihm benannte Richardson-Gleichung beschrieb ursprünglich die Elektronenemission aus Glühkathoden (Vakuumröhren) -- dieselbe Physik gilt für Elektronen die eine Schottky-Barriere überwinden. Mehr zu Richardson →

Also:

\[J_{HL \to M} = A^{**} T^2 \exp\left(-\frac{q\Phi_B}{k_B T}\right) e^{qV/k_B T}\]

Schritt 5: Rückwärtsstrom und Nettostrom

Schottky-Barriere: Banddiagramm im Gleichgewicht und bei Vorwärtsspannung

© electronobotics.de

Im Gleichgewicht (\(V = 0\)) muss der Nettostrom Null sein. Also gibt es einen gleich großen Strom vom Metall in den Halbleiter:

\[J_{M \to HL} = A^{**} T^2 \exp\left(-\frac{q\Phi_B}{k_B T}\right)\]

Dieser Rückwärtsstrom hängt nicht von der angelegten Spannung ab -- die Elektronen im Metall sehen immer dieselbe Barriere \(q\Phi_B\) (gemessen vom Fermi-Niveau des Metalls). Das ist ein entscheidender Punkt: Die Spannung \(V\) verschiebt das Fermi-Niveau des Halbleiters relativ zum Metall und ändert damit \(v_{min}\) -- aber die Barriere vom Metall aus bleibt gleich.

Der Nettostrom ist die Differenz:

\[J = J_{HL \to M} - J_{M \to HL} = A^{**} T^2 \exp\left(-\frac{q\Phi_B}{k_B T}\right) \left(e^{qV/k_B T} - 1\right)\]
\[\boxed{J = J_0 \left(e^{qV/k_B T} - 1\right)}\]

mit dem Sättigungssperrstrom:

\[J_0 = A^{**} T^2 \exp\left(-\frac{q\Phi_B}{k_B T}\right)\]

Was steckt in \(J_0\)?

Größe Einfluss
\(A^{**}\) Richardson-Konstante, materialabhängig über \(m^*\)
\(T^2\) Polynomialer Beitrag -- aber schwach gegenüber dem Exponentialfaktor
\(\exp(-q\Phi_B / k_B T)\) Dominiert! Jede ~26 mV mehr Barrierenhöhe (\(= k_B T/q\) bei 300 K) reduzieren \(J_0\) um einen Faktor \(e \approx 2{,}7\) -- 60 mV mehr entsprechen schon etwa einem Faktor 10

Zahlenwerte für die Richardson-Konstante

Material \(m^*/m_0\) \(A^{**}\) [A/(cm²·K²)]
n-Si 1.081 110
n-GaAs 0.067 8.2
p-Si 0.56 32

Vergleich mit dem pn-Übergang

Schottky-Diode pn-Diode
Strommechanismus Thermionische Emission über Barriere Minoritätsdiffusion
\(J_0\) bestimmt durch \(\Phi_B\) und \(T\) \(\frac{D_n n_i^2}{L_n N_A} + \frac{D_p n_i^2}{L_p N_D}\)
Typisches \(J_0\) (Si, 300 K) \(10^{-5}\) bis \(10^{-8}\) A/cm² \(10^{-11}\) bis \(10^{-13}\) A/cm²
Schaltgeschwindigkeit Schnell (keine Minoritätsspeicherung) Langsam (Minoritätsträger müssen abgebaut werden)
Einschaltspannung ~0.3 V ~0.7 V

Der wesentlich größere Sperrstrom der Schottky-Diode -- und die kleinere Einschaltspannung -- folgen direkt daraus, dass \(J_0 \propto \exp(-q\Phi_B/k_B T)\) statt \(J_0 \propto n_i^2/N_{Dot}\). Die Barrierenhöhe \(\Phi_B\) (typisch 0.5--0.8 eV) führt zu einem größeren \(J_0\) als die Minoritätsdiffusion im pn-Übergang.

Was fehlt im Modell?

  1. Bildladungsabsenkung (Schottky-Effekt): Das Spiegelladungsfeld im Metall senkt die Barriere um \(\Delta\Phi \propto \sqrt{E}\) ab. Bei hohen Feldern (Sperrspannung) wird die effektive Barriere niedriger -- der Sperrstrom steigt.
  2. Tunneln: Bei hoher Dotierung (\(> 10^{17}\) cm\(^{-3}\)) wird die Barriere schmal genug für quantenmechanisches Tunneln. Das ist der Übergang zum ohmschen Kontakt.
  3. Rückstoßstreuung: Nicht alle Elektronen die die Barriere überwinden kommen auch im Metall an -- ein Teil wird an der Grenzfläche zurückgestreut. Das reduziert \(A^{**}\) zu einem effektiven Wert.
  4. Grenzflächenzustände: Oberflächenzustände können das Fermi-Niveau an der Grenzfläche pinnen und die effektive Barriere ändern.

Weiterführendes

  1. Hier geht die Zustandsdichte-effektive-Masse ein, nicht die Leitfähigkeits-effektive-Masse. Siehe Effektive Masse. ↩

Erstellt: 16.04.2026 · Zuletzt geändert: 08.08.2026