Der Kirk-Effekt

Vorwissen: Bipolartransistor und pn-Übergang (Raumladungszone, Poisson-Gleichung).

Ein schneller Bipolartransistor wird mit steigendem Strom zunächst immer schneller. Dann, ab einem bestimmten Strom, bricht seine Transitfrequenz innerhalb einer halben Dekade auf einen Bruchteil ein, und die Stromverstärkung sinkt mit. Den Grund hat C. T. Kirk Jr. 1962 angegeben: Bei hoher Stromdichte tragen die Elektronen, die durch die Kollektor-Raumladungszone fließen, so viel Ladung, dass sie das Feld dort umbauen. Die Raumladungszone wandert von der Basis weg zum Subkollektor, und die Basis wird elektrisch breiter, ohne dass sich an der Dotierung etwas geändert hat.

C. T. Kirk Jr. arbeitete in den 1950er-Jahren am MIT Lincoln Laboratory an Transistorschaltungen; 1957 ist dort ein Bericht von ihm über Sperrschichttransistoren in Schaltkreisen verzeichnet. Seine Arbeit von 1962 erklärte den Einbruch der Transitfrequenz bei hohen Stromdichten mit der Aufweitung der Basis in den Kollektor hinein – der Effekt trägt seither seinen Namen. Lebensdaten sind nicht bekannt. Mehr zu Kirk →

Der Effekt ist älter als die meisten Bauelemente, in denen er heute stört. Er begrenzt die Hochfrequenz-Bipolartransistoren und SiGe-HBTs, und er taucht in ganz anderer Verkleidung wieder auf: als Grenze der sicheren Arbeitsfläche im LDMOS, als Ursache von Stromfäden bei ESD, als Quasi-Sättigung in Leistungstransistoren. Überall dort, wo Strom durch ein schwach dotiertes Gebiet mit hohem Feld fließt.

Das Ergebnis vorweg

Fließen Elektronen mit der Sättigungsgeschwindigkeit $v_{sat}$ durch eine Raumladungszone, tragen sie die Ladungsdichte $-q\,n = -J/v_{sat}$. Sie ziehen von der positiven Raumladung der Donatoren ab.
Bei der Stromdichte $J_0 = q\,N_C\,v_{sat}$ heben sich beide auf, das Feld wird konstant. Darüber dreht sich die Raumladung um, die Feldspitze springt vom Basis-Übergang an den Subkollektor.
Ab der Kirk-Stromdichte

$$J_K = q\,v_{sat}\left(N_C + \frac{2\,\varepsilon_{Si}\,(V_{CB}+\phi)}{q\,W_C^2}\right)$$

reicht das Feld an der Basisseite nicht mehr bis null herunter, sondern ist dort null. Die Basis dehnt sich in den Kollektor aus. - Die Aufweitung $W_{CIB}$ wächst schnell: schon bei doppelter Kirk-Stromdichte um etwa die Hälfte der Kollektordicke. Die Basislaufzeit steigt quadratisch mit der Basisweite, und die Transitfrequenz bricht ein. - Gegenmittel ist eine höhere Kollektordotierung $N_C$ – und die kostet Sperrspannung. Daraus folgt der Zielkonflikt zwischen Geschwindigkeit und Spannungsfestigkeit, den die Johnson-Grenze zusammenfasst.

Was in der Kollektor-Raumladungszone passiert

Ein npn-Transistor im Normalbetrieb hat einen sperrgepolten Basis-Kollektor-Übergang. Die Raumladungszone liegt zum größten Teil im schwächer dotierten Kollektor – bei schnellen Transistoren eine dünne, schwach dotierte n-Epitaxieschicht der Dicke $W_C$ über einem hoch dotierten n⁺-Subkollektor. Die Elektronen, die der Emitter in die Basis injiziert hat und die durch sie hindurchdiffundiert sind, erreichen die Raumladungszone und werden vom Feld zum Kollektor gezogen.

Im Lehrbuch ist die Raumladungszone leer. Das stimmt nur für kleine Ströme. Die durchfließenden Elektronen sind Ladung, und ihre Dichte ist umso größer, je größer der Strom ist.

Poisson mit Strom: wie die Elektronen das Feld umbauen

Ansatz. Die Stromdichte $J$ ist Ladungsdichte mal Geschwindigkeit. Im hohen Feld der Raumladungszone laufen die Elektronen mit der Sättigungsgeschwindigkeit $v_{sat} \approx 10^7$ cm/s (siehe Short Channel):

\[J = q\,n\,v_{sat} \qquad\Rightarrow\qquad n = \frac{J}{q\,v_{sat}}\]

mit der Elektronendichte $n$ und der Elementarladung $q$.

Schritt 1: die Raumladung. In der Kollektorzone sitzen die ortsfesten Donatoren mit der Dichte $N_C$ (positiv) und die durchfließenden Elektronen (negativ). Die Netto-Raumladungsdichte ist

\[\rho = q\,(N_C - n) = q\,N_C - \frac{J}{v_{sat}}\]

Schritt 2: das Feld. Die Poisson-Gleichung in einer Dimension sagt, wie sich das Feld $E$ entlang des Orts $x$ ändert (Gaußsches Gesetz):

\[\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}x} = \frac{\rho}{\varepsilon_{Si}} = \frac{q\,N_C - J/v_{sat}}{\varepsilon_{Si}}\]

mit der Permittivität $\varepsilon_{Si} = 1{,}04\cdot10^{-12}$ F/cm. Die rechte Seite ist für einen gegebenen Strom konstant, das Feld verläuft also linear – aber die Steigung hängt vom Strom ab.

Schritt 3: die drei Fälle. Wir betrachten den Betrag des Felds, mit $x = 0$ an der Basis und $x = W_C$ am Subkollektor.

Kleiner Strom, $J < q\,N_C\,v_{sat}$: Die Raumladung ist positiv, der Feldbetrag fällt von der Basis zum Subkollektor ab. Die Spitze sitzt am Basis-Kollektor-Übergang – das bekannte Bild.
$J = J_0 = q\,N_C\,v_{sat}$: Die Raumladung ist null, das Feld ist über die ganze Zone konstant.
Großer Strom, $J > J_0$: Die Raumladung ist negativ, der Feldbetrag steigt zum Subkollektor hin an. Die Spitze ist von der Basis zum n⁺-Subkollektor gewandert.

Zur Kontrolle. Die Spannung über der Zone ist die Fläche unter der Feldkurve, und die ist durch $V_{CB}$ (plus Diffusionsspannung $\phi$) vorgegeben. Wenn sich die Steigung ändert, muss die Kurve kippen, ihre Fläche bleibt gleich. Genau das zeigt die Grafik.

Feldstärke in einer 1 µm dicken Kollektorzone mit 10 hoch 16 Donatoren für verschiedene Stromdichten: bei J gleich null fällt das Feld von knapp 100 kV/cm an der Basisseite ab und erreicht den Subkollektor nicht; bei 0,6 J_0 flacher; bei J_0 konstant 30 kV/cm; bei J_K steigt es von null an der Basis auf 60 kV/cm am Subkollektor; bei 2 J_K ist ein Gebiet von gut 0,5 µm an der Basisseite feldfrei, das Feld steigt danach steil auf 128 kV/cm

Das Feld kippt. Mit steigendem Strom wandert die Spitze von der Basis an den Subkollektor. Ab $J_K$ ist das Feld an der Basisseite null, darüber entsteht dort ein feldfreies Gebiet – die stromgetriebene Basis.

Die Kirk-Stromdichte

Solange irgendwo in der Kollektorzone ein Feld herrscht, das die Elektronen absaugt, bleibt die Basis, wo sie ist. Kritisch wird es, wenn das Feld an der Basisseite auf null fällt: Dann gibt es dort nichts mehr, was die Löcher der Basis zurückhält, und die Basis beginnt, in den Kollektor hineinzuwachsen.

Woher kommt J_K = q v_sat (N_C + 2 ε (V_CB + φ) / (q W_C²))?

Ansatz. An der Grenze ist das Feld bei $x = 0$ null und steigt linear bis $x = W_C$ an. Seine Steigung ist nach Schritt 2 oben der Betrag

\[g = \frac{J/v_{sat} - q\,N_C}{\varepsilon_{Si}}\]

Schritt 1: die Spannung. Das Feld ist ein Dreieck mit Grundseite $W_C$ und Höhe $g\,W_C$. Seine Fläche ist die Spannung über der Zone:

\[V_{CB} + \phi = \tfrac12\,g\,W_C^2\]

Schritt 2: nach der Steigung auflösen.

\[g = \frac{2\,(V_{CB}+\phi)}{W_C^2}\]

Schritt 3: Steigung einsetzen und nach $J$ auflösen. Aus $g = (J/v_{sat} - q\,N_C)/\varepsilon_{Si}$:

\[\frac{J}{v_{sat}} = q\,N_C + \varepsilon_{Si}\,g = q\,N_C + \frac{2\,\varepsilon_{Si}\,(V_{CB}+\phi)}{W_C^2}\]

Mit $v_{sat}$ malnehmen und $q$ ausklammern:

\[J_K = q\,v_{sat}\left(N_C + \frac{2\,\varepsilon_{Si}\,(V_{CB}+\phi)}{q\,W_C^2}\right)\]

Zahlenprobe. $N_C = 10^{16}$ cm⁻³, $W_C = 1$ µm, $V_{CB} + \phi = 3$ V. Der zweite Summand:

\[\frac{2\cdot1{,}04\cdot10^{-12}\,\tfrac{\text{F}}{\text{cm}}\cdot3\,\text{V}}{1{,}6\cdot10^{-19}\,\text{C}\cdot(10^{-4}\,\text{cm})^2} = 3{,}9\cdot10^{15}\,\text{cm}^{-3}\]

Er ist also vergleichbar mit der Dotierung selbst. Dann:

\[J_K = 1{,}6\cdot10^{-19}\,\text{C}\cdot10^7\,\tfrac{\text{cm}}{\text{s}}\cdot1{,}39\cdot10^{16}\,\text{cm}^{-3} = 2{,}2\cdot10^4\,\tfrac{\text{A}}{\text{cm}^2}\]

Für einen Emitter von 1 µm × 10 µm $= 10^{-7}$ cm² ist das ein Kollektorstrom von 2,2 mA.

Zur Kontrolle. Die beiden Summanden haben eine anschauliche Bedeutung. Der erste ist die Ladung, die die Elektronen kompensieren müssen, damit das Feld flach wird ($J_0$). Der zweite ist die zusätzliche negative Ladung, die nötig ist, um bei flachem Start die Spannung $V_{CB}$ als Dreieck aufzunehmen. Höhere Sperrspannung $V_{CB}$ schiebt den Kirk-Effekt also zu höheren Strömen – ein Transistor, der mit wenig $V_{CE}$ betrieben wird, trifft ihn früher. Und eine dünnere Kollektorzone hebt $J_K$ quadratisch.

Zwei Abhängigkeiten sind für die Praxis wichtig:

Die Kollektordotierung $N_C$ geht linear ein. Höhere Dotierung, höherer Kirk-Strom.
Die Spannung $V_{CB}$ geht ebenfalls ein. Im Arbeitspunkt mit kleiner Kollektor-Emitter-Spannung – im Schaltbetrieb kurz vor der Sättigung, in Endstufen beim Spannungsminimum – setzt der Effekt früher ein als im Datenblatt-Arbeitspunkt.

Die stromgetriebene Basis

Oberhalb von $J_K$ entsteht an der Basisseite der Kollektorzone ein feldfreies Gebiet. Die Elektronen dort bewegen sich nicht mehr mit $v_{sat}$, ihre Dichte steigt, und um die Ladung zu neutralisieren, strömen Löcher aus der Basis hinein. Elektrisch ist dieses Gebiet jetzt Basis: neutral, mit Elektronen und Löchern geflutet, und die Elektronen müssen es per Diffusion durchqueren. Man nennt es die stromgetriebene Basis (current-induced base, CIB), ihre Weite $W_{CIB}$.

Wie breit wird die Basis? W_CIB = W_C (1 − √((J_K − J_0)/(J − J_0)))

Ansatz. Oberhalb von $J_K$ teilt sich die Kollektorzone in zwei Teile: an der Basisseite das feldfreie Gebiet der Weite $W_{CIB}$, dahinter eine Raumladungszone der Weite $W_C - W_{CIB}$, in der das Feld von null linear ansteigt. Diese Restzone muss die ganze Spannung $V_{CB}+\phi$ aufnehmen.

Schritt 1: die Restzone wie oben. Mit $J_0 = q\,N_C\,v_{sat}$ ist die Feldsteigung $g = (J - J_0)/(v_{sat}\,\varepsilon_{Si})$, und die Dreiecksfläche liefert

\[V_{CB}+\phi = \tfrac12\,\frac{J - J_0}{v_{sat}\,\varepsilon_{Si}}\,(W_C - W_{CIB})^2\]

Schritt 2: dieselbe Gleichung an der Grenze. Bei $J = J_K$ ist $W_{CIB} = 0$:

\[V_{CB}+\phi = \tfrac12\,\frac{J_K - J_0}{v_{sat}\,\varepsilon_{Si}}\,W_C^2\]

Schritt 3: beide durcheinander teilen. Die Spannung und alle Konstanten kürzen sich:

\[\left(\frac{W_C - W_{CIB}}{W_C}\right)^2 = \frac{J_K - J_0}{J - J_0}\]

Wurzel ziehen und umstellen:

\[W_{CIB} = W_C\left(1 - \sqrt{\frac{J_K - J_0}{J - J_0}}\right)\]

Zahlenprobe. Mit den Werten oben ist $J_0 = 1{,}6\cdot10^4$ A/cm², $J_K = 2{,}2\cdot10^4$ A/cm². Bei $J = 2\,J_K = 4{,}4\cdot10^4$ A/cm²:

\[W_{CIB} = 1\,\mu\text{m}\cdot\left(1 - \sqrt{\frac{0{,}6}{2{,}8}}\right) = 1\,\mu\text{m}\cdot(1 - 0{,}46) = 0{,}54\,\mu\text{m}\]

Die Basis von 0,1 µm ist damit auf 0,64 µm gewachsen – mehr als das Sechsfache.

Zur Kontrolle. Für $J \to \infty$ geht $W_{CIB} \to W_C$: Die Basis reicht bis an den Subkollektor, der ganze Kollektor ist geflutet. Das ist der Zustand, den man bei Leistungstransistoren Quasi-Sättigung nennt. Das Modell vernachlässigt, dass die Elektronen im geflutetem Gebiet nicht mehr mit $v_{sat}$ laufen; die Rechnung von Whittier und Tremere (1969) berücksichtigt das genauer, mit qualitativ gleichem Ergebnis.

W_CIB geteilt durch W_C über J geteilt durch J_K: null bis J gleich J_K, danach steiler Anstieg auf etwa 0,5 bei doppeltem und knapp 0,8 bei sechsfachem J_K

Die Basisaufweitung setzt bei $J_K$ mit senkrechter Tangente ein. Schon wenig über der Grenze ist ein großer Teil des Kollektors Basis geworden.

Was das kostet: Transitfrequenz und Stromverstärkung

Die Transitfrequenz $f_T$ ist die Frequenz, bei der die Kleinsignal-Stromverstärkung auf eins gefallen ist. Sie ist durch die Summe aller Laufzeiten bestimmt, die ein Signal vom Emitter zum Kollektor braucht:

\[f_T = \frac{1}{2\pi\,\tau_{EC}}, \qquad \tau_{EC} = \tau_{E} + \tau_{B} + \tau_{C}\]

$\tau_E$: das Umladen der Sperrschichtkapazitäten über den Emitterwiderstand $U_T/I_C$ (mit der Temperaturspannung $U_T \approx 26$ mV). Dieser Anteil sinkt mit dem Strom – deshalb wird der Transistor bei kleinem Strom mit steigendem Strom schneller.
$\tau_B = W_B^2/(2\,D_n)$: die Basislaufzeit, mit der Basisweite $W_B$ und der Diffusionskonstante $D_n$ der Elektronen. Die Herleitung: Die Elektronen diffundieren, und die Zeit für eine Diffusionsstrecke wächst mit ihrem Quadrat.
$\tau_C = W_C/(2\,v_{sat})$: die Laufzeit durch die Kollektor-Raumladungszone.

Der Kirk-Effekt greift am mittleren Term an. Aus $W_B$ wird $W_B + W_{CIB}$, und weil die Weite quadratisch eingeht, ist die Wirkung drastisch: Die Aufweitung von 0,1 auf 0,64 µm aus der Zahlenprobe vergrößert die Basislaufzeit um den Faktor $6{,}4^2 \approx 41$.

Transitfrequenz über dem Kollektorstrom von 10 µA bis 50 mA, halblogarithmisch: Anstieg von gut 1 GHz auf ein Maximum von etwa 17 GHz bei gut 1 mA, danach steiler Einbruch auf unter 2 GHz oberhalb von I_K gleich 2,2 mA; gestrichelt der Verlauf ohne Kirk-Effekt, der bei 18 GHz sättigt

Transitfrequenz über dem Kollektorstrom, Modell mit den Werten der Zahlenprobe. Bei kleinem Strom begrenzt das Umladen der Kapazitäten, bei großem die Basisaufweitung. Das Maximum liegt kurz unterhalb von $I_K$, weil der Strom sich über die Emitterfläche nicht gleichmäßig verteilt und die Ränder früher in den Kirk-Effekt kommen.

Diese Kurve ist das Bild, das Kirk 1962 erklären wollte, und sie ist bis heute das wichtigste Diagramm im Datenblatt eines HF-Transistors. Der optimale Arbeitspunkt liegt knapp unter dem Maximum: Mehr Strom bringt dort keine Geschwindigkeit, nur Verlustleistung, und ein Stück darüber bricht die Verstärkung zusammen.

Die Stromverstärkung fällt ebenfalls. In der aufgeweiteten Basis rekombinieren mehr Elektronen, und die gespeicherte Ladung in der Basis steigt – beides kostet Basisstrom. Im Gummel-Diagramm (Kollektor- und Basisstrom logarithmisch über $V_{BE}$) sieht man das als Abknicken des Kollektorstroms bei hohem Strom. Allerdings überlagern sich hier mehrere Effekte: die Hochinjektion in der Basis selbst (Webster-Effekt), der Spannungsabfall am Basis- und Emitterwiderstand und der Kirk-Effekt. Poon, Gummel und Scharfetter haben 1969 gezeigt, wie man sie bei Transistoren mit Epitaxie-Kollektor auseinanderhält.

Der Zielkonflikt: Geschwindigkeit gegen Spannung

Das naheliegende Gegenmittel ist eine höhere Kollektordotierung. Sie hebt $J_K$ linear. Aber sie senkt die Durchbruchspannung des Basis-Kollektor-Übergangs, und damit die Spannung, die der Transistor zwischen Kollektor und Emitter aushält ($BV_{CEO}$). Eine dünnere Kollektorzone hebt $J_K$ ebenfalls und verkürzt $\tau_C$ – und senkt die Durchbruchspannung genauso.

Johnson hat 1965 diesen Zusammenhang zu einer Grenze verdichtet, die bis heute zitiert wird: Das Produkt aus Transitfrequenz und Durchbruchspannung ist für ein Material ungefähr konstant.

Warum f_T · BV ungefähr konstant ist (Johnson-Grenze)

Ansatz. Die schnellste Laufzeit durch eine Zone der Länge $L$ ist $\tau = L/v_{sat}$. Die höchste Spannung, die diese Zone sperren kann, ist $BV = E_c\,L$ mit der kritischen Feldstärke $E_c$.

Schritt 1: beides multiplizieren.

\[f_T\cdot BV \approx \frac{1}{2\pi\,\tau}\cdot E_c\,L = \frac{v_{sat}}{2\pi\,L}\cdot E_c\,L = \frac{E_c\,v_{sat}}{2\pi}\]

Die Länge kürzt sich heraus. Was bleibt, sind zwei Materialkonstanten.

Zahlenprobe für Silizium. $E_c \approx 2\cdot10^5$ V/cm, $v_{sat} = 10^7$ cm/s:

\[f_T\cdot BV \approx \frac{2\cdot10^5\,\tfrac{\text{V}}{\text{cm}}\cdot10^7\,\tfrac{\text{cm}}{\text{s}}}{2\pi} \approx 3\cdot10^{11}\,\text{V/s} = 300\,\text{GHz}\cdot\text{V}\]

Ein Transistor mit 100 GHz hält also nur rund 3 V aus. Moderne SiGe-HBTs übertreffen die einfache Rechnung etwas, weil das Feld nicht über die ganze Länge gleich ist und $BV_{CEO}$ mit Stoßionisation und Stromverstärkung zusammenhängt. Die Größenordnung stimmt.

Zur Kontrolle. Materialien mit höherer kritischer Feldstärke verschieben die Grenze: GaN und SiC haben ein etwa zehnfach höheres $E_c$. Das ist derselbe Grund, aus dem sie die Leistungselektronik erobern.

Der Kirk-Effekt ist die Stelle, an der dieser Konflikt im Betrieb spürbar wird: Wer für hohe Spannung die Kollektordotierung senkt, verliert Kirk-Strom, und damit bei gegebener Fläche Geschwindigkeit oder Strom.

Wie man ihn trotzdem entschärft. Moderne SiGe-HBTs verwenden einen selektiv implantierten Kollektor (SIC): eine zusätzliche n-Implantation nur unter dem aktiven Emitter. Dort, wo der Strom fließt, ist die Kollektordotierung hoch (hoher Kirk-Strom, kurze Laufzeit), außerhalb niedrig (kleine Basis-Kollektor-Kapazität, höhere Durchbruchspannung an den Rändern). Auf derselben Technologie gibt es dann oft zwei Transistortypen: einen mit SIC für höchste Geschwindigkeit und einen ohne für höhere Spannung.

Derselbe Effekt in anderen Bauelementen

Die Herleitung oben braucht nur drei Zutaten: ein schwach dotiertes Gebiet, ein Feld, das es ausräumt, und einen Strom von Ladungsträgern, die mit Sättigungsgeschwindigkeit hindurchlaufen. Die gibt es nicht nur im Bipolartransistor.

Bauelement	schwach dotiertes Gebiet	Folge des Kirk-Effekts
HF-Bipolar, SiGe-HBT	Kollektor-Epitaxie	$f_T$-Einbruch, $\beta$-Abfall
Leistungs-Bipolar	dicker n⁻-Kollektor	Quasi-Sättigung, hohe $V_{CE,sat}$
LDMOS	Driftstrecke	Feldspitze wandert an den Drain, $BV_{on}$ sinkt, Snapback
ESD-Strukturen	Drain-Erweiterung	zweiter Snapback, Stromfäden, kleines $I_{t2}$

Beim LDMOS ist die Analogie besonders sauber. Dort ist die Dosis der Driftstrecke durch RESURF auf etwa $Q = N_D\,t \approx 10^{12}$ cm⁻² festgelegt, und die Kirk-Grenze pro Weite wird $I_K/W = q\,Q\,v_{sat} \approx 0{,}16$ mA/µm – der zweite Summand von $J_K$ fehlt dort, weil die Driftstrecke lateral sperrt. Der Zielkonflikt ist derselbe: Die Dosis soll für die Sperrspannung klein und für den Kirk-Strom groß sein.

Was sich messen lässt

Die klassische Messung ist $f_T$ über $I_C$: mit einem Netzwerkanalysator die S-Parameter aufnehmen, daraus die Kurzschluss-Stromverstärkung $h_{21}$ berechnen und bei einer Frequenz im Abfallbereich auf $|h_{21}| = 1$ extrapolieren. Das Maximum der Kurve liefert direkt den Kirk-Strom, und eine Schar über $V_{CE}$ zeigt, wie er mit der Spannung wandert – eine Bestätigung des zweiten Summanden von $J_K$.

Ohne HF-Messtechnik bleibt das Ausgangskennlinienfeld. Bei einem Kleinsignaltransistor wie dem BC547 sieht man bei hohen Strömen und kleiner Kollektor-Emitter-Spannung, dass die Kennlinien nicht mehr steil aus dem Sättigungsbereich herauslaufen, sondern flach ansteigen: Quasi-Sättigung. Wo das beginnt und wie es sich mit $V_{CE}$ verschiebt, lässt sich mit einer SMU gepulst aufnehmen. Gepulst, weil die Eigenerwärmung bei diesen Strömen sonst den Effekt überdeckt.

Rechner: Kirk-Stromdichte und Basisaufweitung

⚠️ Nicht blind verlassen — nachrechnen und gegenprüfen.

Der Rechner führt die Formeln oben aus, mehr nicht. Insbesondere:

Eindimensional: gleichmäßige Stromdichte unter dem Emitter. Real drängt sich der Strom an die Emitterränder, der Effekt setzt dort früher ein.
Sättigungsgeschwindigkeit überall: Bei kleinen Feldern stimmt das nicht. Das Modell überschätzt $J_K$ leicht.
$W_{CIB}$: einfaches Modell nach der Herleitung oben, ohne die Korrektur von Whittier und Tremere.

N_C in 10¹⁶ cm⁻³

W_C in µm

V_CB + φ in V

Emitterfläche in µm²

Kollektorstrom in mA

W_B in µm

D_n in cm²/s

Zusammengefasst

Die Elektronen, die durch die Kollektor-Raumladungszone fließen, sind Ladung. Bei hohem Strom bauen sie das Feld um: Die Spitze wandert von der Basis zum Subkollektor.
Ab $J_K = q\,v_{sat}\,(N_C + 2\varepsilon_{Si}(V_{CB}+\phi)/(q W_C^2))$ wird das Feld an der Basisseite null, und die Basis dehnt sich um $W_{CIB}$ in den Kollektor aus.
Die Basislaufzeit wächst mit dem Quadrat der Weite, die Transitfrequenz bricht ein, die Stromverstärkung sinkt. Das $f_T$-Maximum liegt knapp unter $I_K$.
Höhere Kollektordotierung hilft und kostet Sperrspannung – der Zielkonflikt, den die Johnson-Grenze $f_T\cdot BV \approx E_c\,v_{sat}/(2\pi)$ beschreibt. SiGe-HBTs entschärfen ihn mit einem selektiv implantierten Kollektor.
Dieselbe Physik begrenzt die SOA des LDMOS und die ESD-Festigkeit von Drain-Extended-Strukturen.

Literatur

C. T. Kirk: A theory of transistor cutoff frequency (fT) falloff at high current densities. IRE Trans. Electron Devices ED-9 (2), 1962, S. 164–174. doi:10.1109/T-ED.1962.14965 – die Originalarbeit. Nachgedruckt in S. M. Sze (Hrsg.): Semiconductor Devices: Pioneering Papers. World Scientific 1991, S. 260–270. doi:10.1142/9789814503464_0026
R. J. Whittier, D. A. Tremere: Current gain and cutoff frequency falloff at high currents. IEEE Trans. Electron Devices 16 (1), 1969, S. 39–57. doi:10.1109/T-ED.1969.16564 – das ausführliche Modell der Basisaufweitung.
H. C. Poon, H. K. Gummel, D. L. Scharfetter: High injection in epitaxial transistors. IEEE Trans. Electron Devices 16 (5), 1969, S. 455–457. doi:10.1109/T-ED.1969.16777
E. O. Johnson: Physical limitations on frequency and power parameters of transistors. IRE International Convention Record 13, 1965, S. 27–34. doi:10.1109/IRECON.1965.1147520 – die Johnson-Grenze.
J. D. Cressler: SiGe HBT technology: a new contender for Si-based RF and microwave circuit applications. IEEE Trans. Microwave Theory Tech. 46 (5), 1998, S. 572–589. doi:10.1109/22.668665
J.-S. Rieh, M. Khater, G. Freeman, D. Ahlgren: SiGe HBT without selectively implanted collector (SIC) exhibiting f_max = 310 GHz and BV_CEO = 2 V. IEEE Trans. Electron Devices 53 (9), 2006, S. 2407–2409. doi:10.1109/TED.2006.879679
Z. Sun, W. Sun, L. Shi: Modeling Kirk effect of RESURF LDMOS. Solid-State Electronics 49 (12), 2005, S. 1896–1899. doi:10.1016/j.sse.2005.09.006
S. M. Sze, K. K. Ng: Physics of Semiconductor Devices, 3. Aufl. Wiley 2007. doi:10.1002/0470068329

Weiterführendes

Bipolartransistor – Aufbau und Grundfunktion
LDMOS – der Kirk-Effekt im Driftgebiet und die e-SOA
ESD – Kirk-Effekt unter Entladung, Stromfäden
Short Channel – Geschwindigkeitssättigung
pn-Übergang – Raumladungszone und Poisson-Gleichung

Der Kirk-Effekt

Erstellt: 28.10.2026

Bauelement	schwach dotiertes Gebiet	Folge des Kirk-Effekts
HF-Bipolar, SiGe-HBT	Kollektor-Epitaxie	\(f_T\)-Einbruch, \(\beta\)-Abfall
Leistungs-Bipolar	dicker n⁻-Kollektor	Quasi-Sättigung, hohe \(V_{CE,sat}\)
LDMOS	Driftstrecke	Feldspitze wandert an den Drain, \(BV_{on}\) sinkt, Snapback
ESD-Strukturen	Drain-Erweiterung	zweiter Snapback, Stromfäden, kleines \(I_{t2}\)