Gummel-Plot und Gummel-Poon-Modell

Fortgeschritten

Vorwissen: Bipolartransistor (Aufbau, Stromfluss) und pn-Übergang. Die Diodengleichung, auf der alles aufbaut, steht in der Herleitung der Shockley-Gleichung.

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Wer einen neuen Bipolartransistor auf den Messplatz legt, misst als Erstes fast immer dasselbe: Kollektorstrom und Basisstrom, beide logarithmisch aufgetragen über der Basis-Emitter-Spannung. Diese Darstellung heißt nach Hermann K. Gummel Gummel-Plot (Gummel plot). Sie ist das Diagnosewerkzeug der Bipolartechnik: In einem einzigen Bild stecken der Sättigungsstrom, die Stromverstärkung, die Qualität der Kristalloberfläche, die Grenze der Hochinjektion und die Serienwiderstände. Und weil sich jeder dieser Bereiche einem Parameter des SPICE-Modells zuordnen lässt, ist der Gummel-Plot zugleich die Brücke vom Bauelement zur Schaltungssimulation.

Hermann K. Gummel (1923–2022) wurde in Hannover geboren, studierte Physik in Marburg (Diplom 1952) und promovierte 1957 an der Syracuse University in den USA. Danach arbeitete er mehr als drei Jahrzehnte an den Bell Labs. Von ihm stammen die nach ihm benannte Gummel-Zahl (1961), das erste selbstkonsistente Rechenverfahren für Halbleiterbauelemente (1964), auf dem die numerische Bauelementsimulation bis heute aufbaut, und mit H. C. Poon das Gummel-Poon-Modell (1970), das Standardmodell des Bipolartransistors in SPICE. Mehr zu Gummel →

Auf einen Blick (für Einsteiger)

Wer die Herleitungen überspringen will, findet hier das Wichtigste ohne Formeln:

Der Rest des Artikels leitet diese Aussagen her, Schritt für Schritt.

Bezeichnungen

Größe Deutsch Englisch Bedeutung
\(V_{BE}\), \(V_{BC}\), \(V_{CE}\) Basis-Emitter-, Basis-Kollektor-, Kollektor-Emitter-Spannung base-emitter voltage usw. Spannung zwischen den Anschlüssen; im Gummel-Plot ist \(V_{BC} = 0\)
\(I_C\), \(I_B\), \(I_E\) Kollektor-, Basis-, Emitterstrom collector, base, emitter current \(I_E = I_C + I_B\)
\(U_T = kT/q\) Temperaturspannung thermal voltage 25,85 mV bei 300 K
\(I_S\) Sättigungsstrom (Transferstrom) saturation current, transport saturation current Vorfaktor der Exponentialfunktion für \(I_C\); SPICE: IS
\(n\) Idealitätsfaktor ideality factor, emission coefficient Steigung im Gummel-Plot ist \(n \cdot 60\) mV pro Dekade; SPICE: NF, NE
\(\beta_F\) Stromverstärkung (vorwärts) forward current gain, \(h_{FE}\) \(I_C/I_B\); SPICE: BF
\(G_B\) Gummel-Zahl der Basis base Gummel number Zahl der Dotieratome pro Fläche in der neutralen Basis, \(\int N_A\,dx\), in cm⁻²
\(Q_B\) Basisladung base charge Ladung der Majoritätsträger in der Basis, \(q\,A_E\int p\,dx\)
\(N_A\), \(W_B\) Basisdotierung, Basisweite base doping, base width Akzeptoren pro cm³; Dicke der neutralen Basis
\(A_E\) Emitterfläche emitter area Fläche, durch die der Strom fließt
\(D_n\), \(D_p\) Diffusionskonstanten diffusion coefficients für Elektronen in der Basis, Löcher im Emitter
\(n_i\) intrinsische Ladungsträgerdichte intrinsic carrier concentration 10¹⁰ cm⁻³ in Silizium bei 300 K
\(I_{SE}\), \(n_E\) Rekombinations-Sättigungsstrom, -Idealitätsfaktor B-E leakage saturation current, emission coefficient nichtidealer Basisstrom; SPICE: ISE, NE
\(I_{KF}\) Kniestrom forward knee current Beginn der Hochinjektion; SPICE: IKF
\(\tau_F\) Basislaufzeit (Transitzeit vorwärts) forward transit time Zeit, die ein Elektron für die Basis braucht; SPICE: TF
\(R_E\), \(R_B\) Emitter-, Basis-Bahnwiderstand emitter, base series resistance Widerstand der Zuleitungen im Silizium; SPICE: RE, RB
\(V_A\) Early-Spannung Early voltage siehe Early-Effekt; SPICE: VAF

Durchgehendes Zahlenbeispiel in diesem Artikel und im Early-Artikel: ein npn mit \(N_A = 10^{17}\) cm⁻³, \(W_B = 0{,}2\) µm, \(A_E = 100\) µm², \(D_n = 20\) cm²/s. Das ist ein integrierter Transistor älterer Bauart, ähnlich einem diskreten Kleinsignaltransistor.

Das Ergebnis vorweg

Die Messung

Messschaltung für den Gummel-Plot: npn-Transistor mit Emitter an Masse; SMU 1 an der Basis gibt V_BE vor und misst den Basisstrom; SMU 2 am Kollektor gibt dieselbe Spannung vor und misst den Kollektorstrom, so dass V_CB null ist

Zwei Quellen mit Strommessung (SMU), beide auf derselben Spannung. Damit ist \(V_{CB} = 0\): kein Early-Effekt, kein Lawinendurchbruch, kaum Eigenerwärmung, weil \(V_{CE}\) nur so groß ist wie \(V_{BE}\).

Der Emitter liegt an Masse, die Basis-Emitter-Spannung wird in kleinen Schritten von etwa 0,3 V bis 1 V erhöht. Bei jedem Schritt werden beide Ströme gemessen. Der Kollektor bekommt dieselbe Spannung wie die Basis, sodass der Basis-Kollektor-Übergang spannungslos ist. Drei Gründe sprechen dafür:

Die Ströme überstreichen dabei zehn bis zwölf Dekaden, von Pikoampere bis zu einigen zehn Milliampere. Das schafft nur ein Messgerät mit automatischer Bereichsumschaltung, typischerweise eine SMU.

Gummel-Plot des Beispieltransistors: Kollektorstrom und Basisstrom halblogarithmisch über V_BE von 0,3 bis 1 V; beide Kurven verlaufen über viele Dekaden als parallele Geraden mit 60 mV pro Dekade im Abstand beta = 100; Bereich 1: der Basisstrom ist bei kleinen Spannungen durch Rekombination größer und flacher; Bereich 3: der Kollektorstrom knickt durch Hochinjektion ab; Bereich 4: bei den höchsten Strömen knicken beide Kurven durch Serienwiderstände ab

Der Gummel-Plot des Beispieltransistors, gerechnet mit dem Gummel-Poon-Modell. Gestrichelt die idealen Geraden. Die vier Bereiche werden in den folgenden Abschnitten hergeleitet.

Bereich 2: der ideale Kollektorstrom und die Gummel-Zahl

In der Mitte des Plots ist der Kollektorstrom eine perfekte Gerade. Woher sie kommt, folgt aus dem Weg der Elektronen: Der Emitter injiziert sie in die Basis, dort sind sie Minoritätsträger und diffundieren zum Kollektor, der sie absaugt.

Woher kommt I_C = q A_E D_n n_i² / (N_A W_B) · e^(V_BE/U_T)? (homogene Basis)

Ansatz. Die Elektronendichte am emitterseitigen Rand der Basis legt die Spannung \(V_{BE}\) fest, genau wie bei der Diode. Im Gleichgewicht gilt in der p-Basis \(n_0 = n_i^2/N_A\); die Flussspannung hebt die Dichte am Rand um den Boltzmann-Faktor an:

\[n(0) = \frac{n_i^2}{N_A}\,e^{V_{BE}/U_T}\]

Schritt 1: das Profil. Am Kollektorrand saugt das Feld der gesperrten Basis-Kollektor-Zone jedes Elektron sofort ab, dort ist \(n(W_B) \approx 0\). Ist die Basis viel dünner als die Diffusionslänge, rekombiniert unterwegs fast nichts. Dann ist das Profil eine Gerade von \(n(0)\) auf null.

Schritt 2: der Diffusionsstrom. Elektronen fließen mit der Stromdichte \(J_n = q\,D_n\,dn/dx\), dem Betrag nach also

\[J_n = q\,D_n\,\frac{n(0)}{W_B}\]

Schritt 3: einsetzen und mit der Fläche malnehmen.

\[I_C = A_E\,J_n = \underbrace{\frac{q\,A_E\,D_n\,n_i^2}{N_A\,W_B}}_{I_S}\;e^{V_{BE}/U_T}\]

Zur Kontrolle. Der Strom ist proportional zur Fläche, sinkt mit höherer Basisdotierung und mit dickerer Basis. Er steigt mit \(n_i^2\), also stark mit der Temperatur. Das passt zu allem, was man über Transistoren weiß.

Zahlenprobe. \(N_A\,W_B = 10^{17}\,\text{cm}^{-3}\cdot 2\cdot10^{-5}\,\text{cm} = 2\cdot10^{12}\,\text{cm}^{-2}\).

\[I_S = \frac{1{,}6\cdot10^{-19}\,\text{C}\cdot10^{-6}\,\text{cm}^2\cdot20\,\tfrac{\text{cm}^2}{\text{s}}\cdot10^{20}\,\text{cm}^{-6}}{2\cdot10^{12}\,\text{cm}^{-2}} = 1{,}6\cdot10^{-16}\,\text{A}\]

Für \(I_C = 1\) mA braucht dieser Transistor \(V_{BE} = U_T \ln(I_C/I_S) = 25{,}85\,\text{mV}\cdot\ln(6{,}25\cdot10^{12}) = 0{,}76\) V.

Die Steigung. Logarithmiert man \(I_C = I_S\,e^{V_{BE}/U_T}\), wird daraus eine Gerade. Eine Dekade mehr Strom braucht \(\Delta V_{BE} = U_T \ln 10 = 59{,}5\) mV bei 300 K. Die vertrauten „60 mV pro Dekade" sind also nichts anderes als die Temperaturspannung mal \(\ln 10\). Ein Plot, der steiler oder flacher ist, zeigt einen zusätzlichen Effekt an. Diese Abweichung fasst man im Idealitätsfaktor \(n\) zusammen: Die Steigung ist dann \(n\cdot59{,}5\) mV pro Dekade.

Die Gummel-Zahl: nur die Summe zählt

Reale Basen sind nicht homogen dotiert. Sie werden implantiert oder diffundiert, und die Dotierung fällt vom Emitter zum Kollektor hin ab. Gummel zeigte 1961, dass das für den Kollektorstrom keine Rolle spielt: Es kommt nur auf das Integral der Dotierung an.

Woher kommt I_S = q A_E D_n n_i² / ∫N_A dx? (beliebiges Basisprofil)

Ansatz. In einer ungleichmäßig dotierten Basis gibt es ein eingebautes elektrisches Feld, weil die Löcher von der hoch zur niedrig dotierten Seite diffundieren wollen. Der Elektronenstrom hat deshalb einen Drift- und einen Diffusionsanteil:

\[J_n = q\,\mu_n\,n\,E + q\,D_n\,\frac{dn}{dx}\]

Schritt 1: das Feld aus dem Löcherstrom. Durch die Basis fließt praktisch kein Löcherstrom (der Basisstrom ist klein gegen \(I_C\)). Für die Löcher heben sich Drift und Diffusion also auf:

\[0 = q\,\mu_p\,p\,E - q\,D_p\,\frac{dp}{dx} \quad\Rightarrow\quad E = \frac{D_p}{\mu_p}\,\frac{1}{p}\frac{dp}{dx} = U_T\,\frac{1}{p}\frac{dp}{dx}\]

Im letzten Schritt steckt die Einstein-Beziehung \(D/\mu = U_T\).

Schritt 2: Feld einsetzen. Mit \(\mu_n U_T = D_n\):

\[J_n = q\,D_n\left(\frac{n}{p}\frac{dp}{dx} + \frac{dn}{dx}\right) = \frac{q\,D_n}{p}\left(n\frac{dp}{dx} + p\frac{dn}{dx}\right) = \frac{q\,D_n}{p}\,\frac{d(np)}{dx}\]

Die Klammer ist die Produktregel rückwärts.

Schritt 3: mit \(p\) malnehmen und über die Basis integrieren. \(J_n\) ist überall gleich, weil nichts rekombiniert. Also lässt es sich vor das Integral ziehen:

\[J_n \int_0^{W_B} p\,dx = q\,D_n\,\big[\,n p\,\big]_0^{W_B}\]

Schritt 4: die Randwerte. Am Emitterrand ist \(np = n_i^2\,e^{V_{BE}/U_T}\), am Kollektorrand ist \(n \approx 0\). Dem Betrag nach:

\[J_n = \frac{q\,D_n\,n_i^2\,e^{V_{BE}/U_T}}{\int_0^{W_B} p\,dx}\]

Schritt 5: Niedriginjektion. Solange viel weniger Elektronen als Akzeptoren in der Basis sind, ist \(p = N_A\), und das Integral wird zur Gummel-Zahl:

\[I_S = \frac{q\,A_E\,D_n\,n_i^2}{G_B}, \qquad G_B = \int_0^{W_B} N_A(x)\,dx\]

Zur Kontrolle. Für eine homogene Basis ist \(G_B = N_A W_B\), und das Ergebnis der ersten Herleitung kommt wieder heraus. (\(D_n\) wurde als konstant angenommen. Ist es das nicht, steht es mit ins Integral: \(\int N_A/D_n\,dx\).)

Zwei Dotierprofile der Basis über dem Ort von 0 bis 0,2 µm: ein Kasten mit 10^17 cm^-3 und ein implantiertes Profil mit Maximum bei 0,06 µm und 1,8·10^17 cm^-3, das zum Kollektor hin abfällt; beide Flächen sind gleich, G_B = 2·10^12 cm^-2, also ist der Kollektorstrom gleich

Zwei sehr verschiedene Basen, eine Gummel-Zahl: Der Kollektorstrom ist bei gleichem \(V_{BE}\) derselbe. Das implantierte Profil hat zusätzlich ein eingebautes Feld, das die Elektronen beschleunigt. Das macht den Transistor schneller, ändert aber nicht \(I_S\).

Daraus folgt eine Messmethode, die Gummel 1961 vorgeschlagen hat: Wer \(I_S\) misst, kennt die Zahl der Dotieratome in der Basis, ohne den Transistor aufzuschneiden. In der Prozesskontrolle wird das bis heute genutzt: Die Basis-Gummel-Zahl wird aus \(I_S\) zurückgerechnet und zusammen mit dem Schichtwiderstand der abgeschnürten Basis (pinched base sheet resistance) über den Wafer verfolgt. Schwankt sie, schwanken Implantationsdosis oder Emitter-Eintreibtiefe.

Bereich 2, zweite Kurve: der ideale Basisstrom

Der Basisstrom hat in der Mitte des Plots dieselbe Steigung wie der Kollektorstrom. Er entsteht spiegelbildlich: Die Flussspannung injiziert nicht nur Elektronen in die Basis, sondern auch Löcher aus der Basis in den Emitter. Diese Löcher fließen über den Basisanschluss nach und gehen dem Kollektor verloren.

Woher kommt β_F = (D_n G_E)/(D_p G_B)?

Ansatz. Für die Löcher im Emitter gilt dieselbe Rechnung wie für die Elektronen in der Basis, mit vertauschten Rollen. Der Emitter ist n-dotiert mit \(N_D\), seine Gummel-Zahl ist \(G_E = \int N_D\,dx\) über den neutralen Emitter. Die Löcher rekombinieren am Emitterkontakt.

Schritt 1: der Löcherstrom.

\[I_{B,ideal} = \frac{q\,A_E\,D_p\,n_i^2}{G_E}\,e^{V_{BE}/U_T}\]

Schritt 2: das Verhältnis. Beide Ströme haben denselben Exponentialfaktor, er kürzt sich:

\[\beta_F = \frac{I_C}{I_{B,ideal}} = \frac{D_n\,G_E}{D_p\,G_B}\]

Zur Kontrolle. Die Stromverstärkung ist unabhängig von \(V_{BE}\), deshalb laufen die Geraden parallel. Sie wird groß, wenn der Emitter viel mehr Dotieratome hat als die Basis. Das ist die bekannte Regel „Emitter hoch, Basis niedrig dotiert".

Zahlenprobe. Emitter mit \(N_D = 10^{20}\) cm⁻³ über 0,1 µm: \(G_E = 10^{15}\) cm⁻². Bei dieser Dotierung ist \(D_p \approx 2\) cm²/s. Dann wäre

\[\beta_F = \frac{20\cdot10^{15}}{2\cdot2\cdot10^{12}} = 5000\]

Real misst man um 100. Der Unterschied ist die Bandlückenverengung (bandgap narrowing): Bei 10²⁰ cm⁻³ schrumpft die Bandlücke im Emitter um rund 0,1 eV, und dort steht statt \(n_i^2\) ein effektiv größeres \(n_{ie}^2 = n_i^2\,e^{\Delta E_g/kT}\). Der Faktor ist \(e^{0{,}1/0{,}02585} \approx 48\), und \(5000/48 \approx 100\). Slotboom und de Graaff haben diesen Effekt 1976 aus Strommessungen an Bipolartransistoren bestimmt.

Der Basisstrom ist also eine Eigenschaft des Emitters, der Kollektorstrom eine der Basis. Das erklärt, warum Polysilizium-Emitter und SiGe-Basen so viel gebracht haben: Der eine senkt den Löcherstrom in den Emitter, die andere hebt den Elektronenstrom durch die Basis. Beide erhöhen \(\beta\), auf ganz verschiedenen Wegen.

Bereich 1: der Basisstrom bei kleinen Spannungen

Unterhalb von etwa 0,45 V liegt der gemessene Basisstrom über der idealen Geraden, und er ist flacher: Er steigt nur mit etwa 120 mV pro Dekade, also \(n \approx 2\). Der Kollektorstrom bleibt dagegen ideal. Die zusätzlichen Löcher werden nicht in den Emitter injiziert. Sie rekombinieren schon in der Raumladungszone zwischen Emitter und Basis mit Elektronen, die dann ebenfalls nicht beim Kollektor ankommen.

Warum hat der Rekombinationsstrom den Idealitätsfaktor 2?

Ansatz. In der Raumladungszone rekombinieren Elektronen und Löcher über Störstellen in der Bandmitte (Shockley-Read-Hall, siehe Rekombination). Die Rate ist

\[R = \frac{np - n_i^2}{\tau\,(n + p + 2n_i)}\]

mit der Lebensdauer \(\tau\).

Schritt 1: das Produkt \(np\). In der ganzen Raumladungszone gilt bei Flussspannung \(np = n_i^2\,e^{V_{BE}/U_T}\). Das Produkt ist fest, \(n\) und \(p\) ändern sich gegenläufig.

Schritt 2: wo die Rate am größten ist. Bei festem Produkt ist die Summe \(n + p\) am kleinsten, wenn \(n = p\) ist. Dort ist der Nenner minimal und die Rate maximal, mit

\[n = p = n_i\,e^{V_{BE}/(2U_T)}\]

Schritt 3: die Rate dort. Einsetzen, \(n_i^2\) im Zähler gegen \(np\) vernachlässigt:

\[R_{max} = \frac{n_i^2\,e^{V_{BE}/U_T}}{\tau\cdot 2\,n_i\,e^{V_{BE}/(2U_T)}} = \frac{n_i}{2\tau}\,e^{V_{BE}/(2U_T)}\]

Schritt 4: der Strom. Jeder Rekombinationsvorgang kostet ein Loch, das über die Basis nachgeliefert wird. Mit einer wirksamen Breite \(w\) des Gebiets, in dem \(n \approx p\) ist:

\[I_{B,rek} \approx q\,A_E\,w\,\frac{n_i}{2\tau}\,e^{V_{BE}/(2U_T)} = I_{SE}\,e^{V_{BE}/(n_E U_T)}, \qquad n_E = 2\]

Zur Kontrolle. Der Vorfaktor ist proportional zu \(n_i\), nicht zu \(n_i^2\). Deshalb ist \(I_{SE}\) um viele Größenordnungen größer als \(I_S\), und bei kleinen Spannungen gewinnt der Rekombinationsstrom, obwohl er langsamer wächst. Herleitung nach Sah, Noyce und Shockley (1957).

Gemessene Werte für \(n_E\) liegen meist zwischen 1,5 und 2. Ein Teil des Stroms entsteht nicht im Volumen, sondern dort, wo die Raumladungszone die Siliziumoberfläche am Emitterrand erreicht. Dort sitzen besonders viele Störstellen. Im Beispiel ist \(I_{SE} = 10^{-14}\) A angenommen. Die beiden Basisströme sind gleich groß bei

\[\frac{I_S}{\beta_F}\,e^{V_{BE}/U_T} = I_{SE}\,e^{V_{BE}/(2U_T)} \;\Rightarrow\; V_{BE} = 2\,U_T \ln\frac{\beta_F\,I_{SE}}{I_S} = 0{,}45\,\text{V}\]

entsprechend \(I_C = 6{,}3\) nA. Dort hat sich die Stromverstärkung halbiert.

Device ↔ Zuverlässigkeit. Der Bereich 1 ist das empfindlichste Messinstrument für Schäden am Transistor. Wird der Emitter-Basis-Übergang in Sperrrichtung über seine Durchbruchspannung belastet (ESD, Abschaltspitzen, falsch gepolte Ansteuerung), erzeugen heiße Ladungsträger neue Störstellen an der Oberfläche über dem Übergang. Im Gummel-Plot steigt dann nur der Basisstrom bei kleinen Spannungen, \(I_C\) bleibt unverändert. Dasselbe Bild zeigt Strahlenschädigung. Der Vergleich zweier Gummel-Plots vor und nach einem Stresstest ist darum die Standardanalyse. Mehr zu heißen Ladungsträgern im Artikel HCI.

Bereich 3: Hochinjektion

Bei hohen Strömen knickt der Kollektorstrom ab und steigt nur noch mit etwa 120 mV pro Dekade. Die Ursache ist die Herleitung von oben, Schritt 5: Dort wurde angenommen, dass weniger Elektronen in der Basis sind als Akzeptoren. Bei hohen Strömen stimmt das nicht mehr.

Warum steigt I_C bei Hochinjektion nur mit e^(V_BE/2U_T)?

Ansatz. Die Basis muss elektrisch neutral bleiben. Jedes zusätzliche Elektron zieht ein zusätzliches Loch nach, das über den Basisanschluss hereinkommt:

\[p = N_A + n\]

Schritt 1: das Integral im Nenner wächst. In der Formel für \(J_n\) aus Schritt 4 oben steht \(\int p\,dx\). Bei Hochinjektion ist das nicht mehr \(G_B\), sondern \(G_B + \int n\,dx\), und dieser zweite Teil wächst mit dem Strom.

Schritt 2: der Grenzfall. Ist \(n \gg N_A\), gilt am Emitterrand \(n \approx p\), und aus \(np = n_i^2\,e^{V_{BE}/U_T}\) folgt

\[n(0) \approx n_i\,e^{V_{BE}/(2U_T)}\]

Der Strom ist proportional zu \(n(0)\), steigt also nur noch mit dem halben Exponenten: \(n_F = 2\) im Gummel-Plot.

Schritt 3: wo der Übergang liegt. Gummel und Poon schreiben den Nenner als Ladung: die Ruheladung \(Q_{B0} = q\,A_E\,G_B\) plus die Ladung \(Q_F\) der Elektronen in der Basis. Diese ist Strom mal Aufenthaltszeit, \(Q_F = \tau_F\,I_C\), mit der Basislaufzeit \(\tau_F = W_B^2/(2D_n)\). Beide Ladungen sind gleich groß beim Kniestrom

\[I_{KF} = \frac{Q_{B0}}{\tau_F} = \frac{q\,A_E\,N_A\,W_B\cdot 2D_n}{W_B^2} = \frac{2\,q\,A_E\,D_n\,N_A}{W_B}\]

Zahlenprobe.

\[I_{KF} = \frac{2\cdot1{,}6\cdot10^{-19}\,\text{C}\cdot10^{-6}\,\text{cm}^2\cdot20\,\tfrac{\text{cm}^2}{\text{s}}\cdot10^{17}\,\text{cm}^{-3}}{2\cdot10^{-5}\,\text{cm}} = 32\,\text{mA}\]

Zur Kontrolle. Höhere Basisdotierung schiebt den Knick nach oben, wie erwartet: Es braucht mehr Elektronen, um die Löcher der Dotierung zu übertreffen. Aber höhere Basisdotierung senkt \(\beta\). Das ist einer der Zielkonflikte im Transistorentwurf.

Den Basisstrom berührt die Hochinjektion kaum. Der Emitter ist so hoch dotiert, dass er selbst nie in Hochinjektion gerät: Die Löcherdichte an seinem Rand bleibt \(n_i^2\,e^{V_{BE}/U_T}/N_D\), und der Löcherstrom wächst weiter mit \(e^{V_{BE}/U_T}\). Die Stromverstärkung fällt deshalb oberhalb von \(I_{KF}\) wie \(1/I_C\). Webster hat diesen Abfall 1954 als Erster erklärt.

In der Praxis kommt meist zuerst der Kirk-Effekt. Bei \(V_{CB} = 0\) ist die Kirk-Stromdichte am kleinsten. Mit der Kollektorzone aus dem Kirk-Artikel (10¹⁶ cm⁻³, 1 µm dick) liegt sie für diesen Emitter bei etwa 18 mA, also unter \(I_{KF}\). Der Kirk-Effekt vergrößert die Basis und damit ebenfalls \(\int p\,dx\). Im Gummel-Plot sieht er ganz ähnlich aus wie Hochinjektion. Das Gummel-Poon-Modell unterscheidet die beiden nicht: Der Parameter \(I_{KF}\) fasst zusammen, was zuerst kommt.

Bereich 4: Serienwiderstände

Bei den höchsten Strömen knicken beide Kurven zusätzlich ab, und zwar um dieselbe Spannung. Ein Teil der angelegten Spannung fällt an den Bahnwiderständen ab und erreicht den Übergang nicht:

\[V_{BE,außen} = V_{BE,innen} + I_E\,R_E + I_B\,R_B\]

Im Beispiel mit \(R_E = 2\,\Omega\) und \(R_B = 100\,\Omega\) sind das bei \(I_C = 10\) mA \(10{,}1\,\text{mA}\cdot2\,\Omega + 0{,}13\,\text{mA}\cdot100\,\Omega \approx 33\) mV: eine halbe Dekade Strom. Der Emitterwiderstand wiegt schwer, weil durch ihn der volle Strom fließt. Er wirkt wie \((\beta+1)\,R_E\) im Basiskreis.

Wer den Abstand zwischen idealer Geraden und Messkurve bei mehreren Strömen abliest, kann \(R_E\) und \(R_B\) trennen: Beim Kollektorstrom geht vor allem \(R_E\) ein, beim Basisstrom zusätzlich \(R_B\). Genauer gelingt das mit eigenen Messungen. \(R_E\) bestimmt man bei offenem Kollektor (flyback), \(R_B\) aus HF-Messungen oder über die Stromabhängigkeit, weil der Basiswiderstand mit steigendem Strom abnimmt (current crowding).

Die Stromverstärkung über dem Kollektorstrom

Teilt man die beiden Kurven des Gummel-Plots durcheinander, erhält man \(\beta(I_C)\). Das ist die Kurve „DC current gain vs. collector current", die in jedem Datenblatt steht.

Stromverstärkung beta über dem Kollektorstrom von 10^-7 bis 100 mA logarithmisch: bei kleinen Strömen steigt beta, weil der Rekombinationsstrom den Basisstrom dominiert; ein breites Plateau knapp unter 100 zwischen etwa 1 µA und 1 mA; oberhalb des Kniestroms I_KF = 32 mA fällt beta wie 1/I_C

\(\beta(I_C)\) des Beispieltransistors. Links halbiert sich \(\beta\) bei 6,3 nA, wo Rekombinations- und Diffusionsbasisstrom gleich groß sind; rechts bei \(I_{KF}\).

Wie steil fällt β links und rechts ab?

Links (Rekombination). Dort ist \(I_B \approx I_{SE}\,e^{V_{BE}/(n_E U_T)}\). Mit \(e^{V_{BE}/U_T} = I_C/I_S\) wird daraus \(I_B = I_{SE}\,(I_C/I_S)^{1/n_E}\), also

\[\beta = \frac{I_C}{I_B} \propto I_C^{\,1 - 1/n_E}\]

Für \(n_E = 2\): \(\beta \propto \sqrt{I_C}\), eine Dekade Strom bringt den Faktor 3,2 in der Stromverstärkung.

Rechts (Hochinjektion). Dort ist \(I_C \propto e^{V_{BE}/(2U_T)}\), aber der Basisstrom noch \(I_B \propto e^{V_{BE}/U_T} \propto I_C^2\):

\[\beta \propto \frac{I_C}{I_C^2} = \frac{1}{I_C}\]

Zur Kontrolle. Im Gummel-Poon-Modell ist \(\beta = \beta_F/q_b\) (ohne Rekombination), und bei \(I_C = I_{KF}\) ist \(q_b = 2\) (siehe nächster Abschnitt). Die Stromverstärkung hat sich dort genau halbiert. Die Grafik zeigt das.

Vom Gummel-Plot zum SPICE-Modell

Ebers-Moll: der Anfang

Das erste Großsignalmodell stammt von Ebers und Moll (1954). In der heute üblichen Transportform beschreibt es den Transistor als zwei gekoppelte Dioden:

\[I_C = I_S\left(e^{V_{BE}/U_T} - e^{V_{BC}/U_T}\right) - \frac{I_S}{\beta_R}\left(e^{V_{BC}/U_T} - 1\right)\]
\[I_B = \frac{I_S}{\beta_F}\left(e^{V_{BE}/U_T} - 1\right) + \frac{I_S}{\beta_R}\left(e^{V_{BC}/U_T} - 1\right)\]

Der erste Term ist der Transferstrom durch die Basis, die anderen sind die Basisströme in Vorwärts- und Rückwärtsrichtung (\(\beta_R\) ist die meist kleine Rückwärtsverstärkung). Für den Gummel-Plot mit \(V_{BC} = 0\) bleiben nur die beiden idealen Geraden übrig. Rekombination, Hochinjektion und Early-Effekt kennt Ebers-Moll nicht.

Gummel-Poon: alles über die Basisladung

Gummel und Poon (1970) gingen von der Herleitung in Schritt 4 oben aus, aber ohne die Annahme \(p = N_A\). Der Transferstrom ist dann umgekehrt proportional zur gesamten Löcherladung in der Basis. Normiert man sie auf die Ruheladung, wird daraus ein einziger Faktor \(q_b = Q_B/Q_{B0}\):

\[I_C = \frac{I_S}{q_b}\left(e^{V_{BE}/(n_F U_T)} - e^{V_{BC}/(n_R U_T)}\right) - \ldots\]

Alles, was die Basisladung ändert, steckt in \(q_b\): die Raumladungszonen, die in die Basis wachsen (Early-Effekt), und die injizierten Ladungsträger (Hochinjektion).

Woher kommt q_b = q_1/2 · (1 + √(1 + 4 q_2))?

Ansatz. Die Basisladung setzt sich zusammen aus der Ruheladung, den Änderungen durch die beiden Raumladungszonen und der Ladung der injizierten Elektronen:

\[Q_B = Q_{B0} + Q_{je} + Q_{jc} + Q_F\]

Schritt 1: normieren. Durch \(Q_{B0}\) teilen. Die beiden Sperrschichtterme fasst man zu \(q_1 = 1 + Q_{je}/Q_{B0} + Q_{jc}/Q_{B0}\) zusammen. Für \(Q_{jc} = C_{jc}\,V_{BC}\) ist \(Q_{jc}/Q_{B0} = V_{BC}/V_{AF}\) mit der Early-Spannung \(V_{AF} = Q_{B0}/C_{jc}\), entsprechend für den Emitter. Also

\[q_b = q_1 + \frac{Q_F}{Q_{B0}}\]

Schritt 2: die Elektronenladung. \(Q_F = \tau_F\,I_C\), und \(I_C = I_S\,e^{V_{BE}/U_T}/q_b\). Eingesetzt, mit \(I_{KF} = Q_{B0}/\tau_F\):

\[\frac{Q_F}{Q_{B0}} = \frac{\tau_F}{Q_{B0}}\cdot\frac{I_S\,e^{V_{BE}/U_T}}{q_b} = \frac{q_2}{q_b}, \qquad q_2 = \frac{I_S}{I_{KF}}\,e^{V_{BE}/U_T}\]

Schritt 3: die quadratische Gleichung. \(q_b = q_1 + q_2/q_b\), mit \(q_b\) malnehmen:

\[q_b^2 - q_1\,q_b - q_2 = 0 \quad\Rightarrow\quad q_b = \frac{q_1}{2}\left(1 + \sqrt{1 + \frac{4\,q_2}{q_1^2}}\right)\]

(die positive Lösung). SPICE verwendet die vereinfachte Form mit \(4\,q_2\) statt \(4\,q_2/q_1^2\). Da \(q_1\) fast 1 ist, macht das kaum einen Unterschied.

Zur Kontrolle. Kleiner Strom: \(q_2 \to 0\), also \(q_b = q_1 \approx 1\), und das Ebers-Moll-Ergebnis kommt heraus. Großer Strom: \(q_b \approx \sqrt{q_2} \propto e^{V_{BE}/(2U_T)}\), also \(I_C \propto e^{V_{BE}/U_T}/e^{V_{BE}/(2U_T)} = e^{V_{BE}/(2U_T)}\), genau das Hochinjektionsergebnis. Bei \(q_1 = 1\) und \(I_C = I_{KF}\) ist \(q_2 = 2\) und \(q_b = 2\).

Im Simulator wird \(q_1\) in der Form \(q_1 = 1/(1 - V_{BC}/V_{AF} - V_{BE}/V_{AR})\) geschrieben, und der Basisstrom bekommt zu den idealen Termen die Rekombinationsterme \(I_{SE}\) (Emitterseite) und \(I_{SC}\) (Kollektorseite). Das ist das Modell, das hinter einem .MODEL … NPN(…) in SPICE steht.

Welcher Parameter wo im Plot steht

SPICE Bedeutung Wo im Gummel-Plot (Bild oben)
IS Sättigungsstrom Gerade von \(I_C\) in Bereich 2 auf \(V_{BE} = 0\) verlängert
NF Idealitätsfaktor von \(I_C\) Steigung von \(I_C\) in Bereich 2; sollte 1,00 bis 1,02 sein
BF ideale Stromverstärkung Abstand der Geraden in Bereich 2 (genauer: Maximum von \(\beta\) ohne Rekombination)
ISE, NE Rekombinationsbasisstrom Vorfaktor und Steigung von \(I_B\) in Bereich 1
IKF Kniestrom Strom, bei dem \(\beta\) auf die Hälfte gefallen ist (rechte Flanke)
RE, RB Bahnwiderstände Spannungsabstand in Bereich 4
VAF Early-Spannung nicht aus dem Gummel-Plot, sondern aus den Ausgangskennlinien
BR, ISC, NC, IKR Rückwärtsbetrieb derselbe Gummel-Plot mit vertauschtem Emitter und Kollektor

Die Reihenfolge der Extraktion ist üblich: zuerst IS und NF aus der Mitte, dann BF, dann ISE und NE aus dem unteren Ende, zuletzt IKF und die Widerstände aus dem oberen Ende. Bei jedem Schritt bleiben die vorher bestimmten Parameter fest.

Nach Gummel-Poon

Gummel-Poon ist seit 1975 das Standardmodell in SPICE und für diskrete Transistoren bis heute üblich. Für integrierte Hochfrequenztransistoren reicht es nicht mehr: Es kennt keine Quasi-Sättigung, keine Eigenerwärmung und keinen parasitären Substrattransistor, und Kirk-Effekt und Hochinjektion verschmelzen in einem Parameter. Darauf antworten drei Nachfolgemodelle:

Alle drei behalten den Grundgedanken von Gummel und Poon: Der Transferstrom ist umgekehrt proportional zur Basisladung.

Device ↔ Applikation

Im Datenblatt oder in der Schaltung Was dahintersteckt
\(h_{FE}\) über \(I_C\) (Diagramm) Verhältnis der beiden Gummel-Kurven; links Rekombination, rechts Hochinjektion und Kirk
„\(h_{FE}\) min. 110 bei \(I_C = 2\) mA" ein Punkt auf dem Plateau; bei 10 µA oder 100 mA kann es deutlich weniger sein
\(V_{BE(on)}\) bei gegebenem \(I_C\) \(U_T \ln(I_C/I_S)\); plus \(I_E R_E\) bei hohem Strom
\(V_{BE}\)-Temperaturkoeffizient ≈ −2 mV/K \(I_S \propto n_i^2\) steigt stark mit der Temperatur, bei festem \(I_C\) sinkt \(V_{BE}\)
Bandgap-Referenz, Temperatursensor (Übertemperaturabschaltung im Gatetreiber) \(\Delta V_{BE} = U_T \ln N\) zwischen zwei Transistoren mit Stromdichteverhältnis \(N\): verlangt \(n_F = 1\), also Bereich 2
Stromspiegel-Abgleich \(I_S \propto A_E/G_B\): Schwankungen der Basis-Gummel-Zahl über den Chip werden zu Spiegelfehlern
Logarithmierer, Exponentialschaltungen nutzen, dass \(I_C\) über acht und mehr Dekaden ideal bleibt; begrenzt durch Bereich 3 und 4
\(V_{EBO}\) (meist 5–6 V) überschritten Emitter-Basis-Durchbruch erzeugt Oberflächenstörstellen: \(\beta\) bei kleinen Strömen sinkt dauerhaft
SPICE-Modell vom Hersteller IS, BF, NE, ISE, IKF, VAF: genau die Größen dieses Artikels

Für Gatetreiber ist vor allem die Bandgap-Zeile wichtig. Referenzen und Temperaturfühler arbeiten oft bei wenigen Mikroampere. Dort kann der Rekombinationsbasisstrom bereits mitspielen, und eine Drift von \(I_{SE}\) nach Belastung verschiebt den Abschaltpunkt.

Messvorschlag: Gummel-Plot eines BC547

Geplant, noch nicht gemessen. Mit einer Ein-Kanal-SMU wie dem R&S NGU411 geht es in einer vereinfachten Form:

Erwartet werden \(I_S\) im Bereich 10⁻¹⁴ A und \(\beta\) zwischen 200 und 450 (BC547B). Die Messung kommt in eine spätere Ergänzung dieses Artikels.

Rechner: Gummel-Plot aus Struktur und Parametern

Zusammengefasst

Literatur

Weiterführendes

Erstellt: 29.10.2026