Zweiersystem und Multiplexer
Einsteiger
- Eine Wahrheitstabelle listet für jede Kombination der Eingänge auf, was herauskommen soll. Bei drei Eingängen sind das 8 Zeilen.
- Im Zweiersystem (Binärsystem) gibt es nur die Ziffern 0 und 1. Die Stellen zählen 1, 2, 4, 8 … So ergeben drei Schalter eine Zahl von 0 bis 7.
- Ein Multiplexer ist ein elektronischer Drehschalter: Drei Wahl-Eingänge suchen einen von acht Eingängen aus und schalten ihn zum Ausgang durch.
- Steckt man an die acht Eingänge die Ergebnisspalte einer Wahrheitstabelle, ist der Multiplexer diese Schaltung. Umstecken genügt für jede andere.
Drei Freunde stimmen ab, ob es heute Pizza gibt. Die Mehrheit entscheidet: Sagen mindestens zwei Ja, gibt es Pizza. So eine Regel kann eine Schaltung ausrechnen. Auf dieser Seite überlegst du dir zuerst, wie man das mit einzelnen Logikbausteinen machen würde, und dann, wie es mit einem einzigen Chip viel einfacher geht. Unterwegs lernst du das Zweiersystem kennen, die Sprache, in der jeder Computer rechnet.
- 0 und 1: In Digitalschaltungen bedeutet ein Draht an Masse (0 V) eine 0, ein Draht an +5 V eine 1. Was Masse ist und woher die 5 V kommen, steht in den Teilen 3 und 11.
- Logikgatter: ein kleiner Baustein, der aus 0 und 1 am Eingang eine 0 oder 1 am Ausgang macht. Ein UND-Gatter gibt 1 aus, wenn alle Eingänge 1 sind. Ein ODER-Gatter gibt 1 aus, wenn mindestens einer 1 ist.
- IC (integrierte Schaltung, Chip): ein schwarzes Kunststoffgehäuse mit Beinen in zwei Reihen. Eine Kerbe an einer Schmalseite zeigt, wo Pin 1 ist.
Erst die Tabelle
Die drei Stimmen heißen A, B und C. 1 heißt Ja, 0 heißt Nein. Drei Stimmen, jede mit zwei Möglichkeiten: Das ergibt \(2 \cdot 2 \cdot 2 = 8\) Fälle. Schreib sie alle untereinander, zähl die Ja-Stimmen, und du hast die Wahrheitstabelle des Mehrheitsentscheids:
| Fall | C | B | A | Ja-Stimmen | Pizza? |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 2 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 |
| 3 | 0 | 1 | 1 | 2 | 1 |
| 4 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 5 | 1 | 0 | 1 | 2 | 1 |
| 6 | 1 | 1 | 0 | 2 | 1 |
| 7 | 1 | 1 | 1 | 3 | 1 |
Warum C vorne steht und die Fälle genau so nummeriert sind, siehst du gleich beim Zweiersystem. Wichtig ist nur die letzte Spalte: Sie ist die ganze Aufgabe. Achtmal 0 oder 1.
Mit Gattern gedacht
Die Mehrheit ist dafür, wenn A und B Ja sagen, oder A und C, oder B und C. Als Formel, mit Punkt für UND und Plus für ODER:
mit dem Ergebnis \(Y\). Daraus wird direkt eine Schaltung: drei UND-Gatter für die drei Paare, ein ODER, das die drei Ergebnisse zusammenfasst.
Mehrheitsentscheid aus Gattern: drei UND, ein ODER mit drei Eingängen.
Das funktioniert, ist aber Arbeit. Ein ODER mit drei Eingängen gibt es als fertiges Gatter selten, also nimmt man zwei ODER hintereinander. Zusammen sind das drei UND-Gatter (74HCT08) und zwei ODER-Gatter (74HCT32): zwei ICs, rund 15 Drähte. Und für jede andere Regel brauchst du eine ganz neue Verdrahtung. Das geht einfacher.
Der Multiplexer: ein Drehschalter ohne Knopf
Stell dir einen Drehschalter mit acht Stellungen vor, wie am Backofen. An jeder Stellung hängt ein Kontakt, und der Schalter verbindet genau einen davon mit dem Ausgang. Ein Multiplexer ist so ein Drehschalter, nur ohne Knopf: Gedreht wird er elektrisch, mit drei Wahl-Eingängen. Das Wort heißt ungefähr „Vielfach-Wähler“, kurz MUX.
Acht Kontakte I0 bis I7, ein Ausgang Y. A, B und C bestimmen die Stellung. Hier steht er auf 5.
Wie drei Schalter eine Zahl von 0 bis 7 ergeben. Jeder der drei Wahl-Eingänge hat einen festen Wert: A zählt 1, B zählt 2, C zählt 4. Die Stellung des Drehschalters ist die Summe der Werte, die auf 1 stehen:
| C (zählt 4) | B (zählt 2) | A (zählt 1) | Rechnung | Stellung | durchgeschaltet |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 + 0 + 0 | 0 | I0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 + 0 + 1 | 1 | I1 |
| 0 | 1 | 0 | 0 + 2 + 0 | 2 | I2 |
| 0 | 1 | 1 | 0 + 2 + 1 | 3 | I3 |
| 1 | 0 | 0 | 4 + 0 + 0 | 4 | I4 |
| 1 | 0 | 1 | 4 + 0 + 1 | 5 | I5 |
| 1 | 1 | 0 | 4 + 2 + 0 | 6 | I6 |
| 1 | 1 | 1 | 4 + 2 + 1 | 7 | I7 |
Dahinter steckt das Zweiersystem.
Das Zweiersystem
Im Alltag rechnest du im Zehnersystem. Es hat zehn Ziffern, 0 bis 9, und jede Stelle zählt zehnmal so viel wie die rechts daneben: Einer, Zehner, Hunderter. 352 heißt \(3 \cdot 100 + 5 \cdot 10 + 2 \cdot 1\).
Das Zweiersystem oder Binärsystem funktioniert genauso, hat aber nur zwei Ziffern, 0 und 1. Jede Stelle zählt deshalb doppelt so viel wie die rechts daneben: Einer, Zweier, Vierer, Achter und so weiter. Die Binärzahl 101 heißt
Genau das passiert an den Wahl-Eingängen: C ist die Viererstelle, B die Zweierstelle, A die Einerstelle. Liest du die drei Spalten C, B, A in der Tabelle oben als eine Zahl, steht dort in jeder Zeile die Stellung im Binärsystem: 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111. So zählt man im Zweiersystem von 0 bis 7.
| Zehnersystem | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Zweiersystem | 0 | 1 | 10 | 11 | 100 | 101 | 110 | 111 | 1000 |
Warum Elektronik im Zweiersystem rechnet. Ein Draht kennt nur zwei sichere Zustände: Er liegt an Masse oder an +5 V. Zwei Zustände, zwei Ziffern, das passt genau. Eine solche Stelle heißt Bit (von englisch binary digit, Binärziffer). Mit einem Bit unterscheidest du 2 Fälle, mit zwei Bits 4, mit drei Bits 8, mit jedem weiteren Bit doppelt so viele. Acht Bits zusammen heißen Byte und reichen für 256 verschiedene Werte, 0 bis 255.
Probier selbst: Welche Stellung ergibt C = 1, B = 1, A = 0? Und wie schreibt man 6 im Zweiersystem?
Lösung
$1 \cdot 4 + 1 \cdot 2 + 0 \cdot 1 = 6$, also Stellung 6 und Eingang I6. Und 6 im Zweiersystem ist 110, genau die Stellung von C, B, A.
Der Trick: die Tabelle einstecken
Leg die Tabelle mit den Stellungen neben die Mehrheitstabelle ganz oben: Die Fälle 0 bis 7 sind dieselben Zeilen. Fall 5 (C = 1, B = 0, A = 1) schaltet Eingang I5 durch. Steckst du an I5 genau das Ergebnis von Fall 5, also eine 1, kommt beim Abstimmen mit C = 1, B = 0, A = 1 eine 1 heraus. Das machst du mit allen acht Eingängen, und der Multiplexer ist der Mehrheitsentscheid. Die acht Drähte an I0 bis I7 sind die Ergebnisspalte, nur aufs Steckbrett gelegt:
| Fall (Stellung) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Eingang | I0 | I1 | I2 | I3 | I4 | I5 | I6 | I7 |
| Mehrheit | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| gesteckt an | Masse | Masse | Masse | +5 V | Masse | +5 V | +5 V | +5 V |
Ein Gatter ist fest verdrahtet. Ein so eingestellter Multiplexer ist eine Nachschlagetabelle (englisch lookup table, kurz LUT): Er rechnet nichts aus, er schlägt nach. Genau so arbeiten FPGAs, frei programmierbare Logikchips. Sie bestehen aus Tausenden kleiner Nachschlagetabellen, deren Inhalt beim Einschalten geladen wird.
Der 74HCT151
Ein Multiplexer mit acht Eingängen ist der 74HCT151, ein IC mit 16 Beinen. Im Datenblatt heißen die Wahl-Eingänge S0, S1, S2 (S für select, auswählen). Wir nehmen S0 = A, S1 = B, S2 = C. Plus und Masse liegen an Pin 16 und Pin 8, nicht an 14 und 7 wie bei den 14-poligen Gatter-ICs.
Der Chip von oben, wie er auf dem Steckbrett steckt. Pin 1 liegt links unten neben der Kerbe, dann geht es gegen den Uhrzeigersinn.
| Pin | Name | Was er tut | Beim Mehrheitsentscheid an |
|---|---|---|---|
| 1 | I3 | Dateneingang für Fall 3 | +5 V |
| 2 | I2 | Dateneingang für Fall 2 | Masse |
| 3 | I1 | Dateneingang für Fall 1 | Masse |
| 4 | I0 | Dateneingang für Fall 0 | Masse |
| 5 | Y | Ausgang | 470 Ω, LED 1 |
| 6 | \(\overline{Y}\) | Ausgang, umgedreht | 470 Ω, LED 2 |
| 7 | \(\overline{E}\) | Freigabe, aktiv bei 0 | Masse |
| 8 | GND | Masse | Masse |
| 9 | S2 | Wahl, zählt 4 | Brücke C |
| 10 | S1 | Wahl, zählt 2 | Brücke B |
| 11 | S0 | Wahl, zählt 1 | Brücke A |
| 12 | I7 | Dateneingang für Fall 7 | +5 V |
| 13 | I6 | Dateneingang für Fall 6 | +5 V |
| 14 | I5 | Dateneingang für Fall 5 | +5 V |
| 15 | I4 | Dateneingang für Fall 4 | Masse |
| 16 | VCC | Versorgung | +5 V |
Der Strich über einem Namen heißt „umgedreht“ (invertiert). \(\overline{Y}\) ist immer das Gegenteil von Y, das liefert der Chip gratis mit. \(\overline{E}\) (enable, freigeben) schaltet den Chip ein, wenn er auf 0 liegt, nicht auf 1. Liegt er auf +5 V, ist Y immer 0, egal was du einstellst.
Achtung, die Dateneingänge liegen durcheinander: I0 bis I3 sitzen unten und laufen rückwärts (I3 an Pin 1, I0 an Pin 4), I4 bis I7 sitzen oben. Halt dich beim Stecken an die Pin-Nummer, nicht an die Reihenfolge der Namen.
Schaltplan: der 74HCT151 als Mehrheitsentscheid. Im Plan sind die Pins nach Aufgabe sortiert, beim Stecken zählt nur die Nummer.
Versuch: Mehrheitsentscheid auf dem Steckbrett
Du brauchst: einen 74HCT151, zwei LEDs, zwei Widerstände 470 Ω, etwa 14 Drahtbrücken und die 5-V-Versorgung mit dem Spannungsregler aus Teil 11 auf den Schienen des Steckbretts. Die drei Stimmen A, B, C stellst du mit Drahtbrücken ein: Steckt das freie Ende in der roten Schiene, ist es eine 1, in der blauen eine 0.
So kann es aussehen. Die Spalten musst du nicht genau so wählen.
- Steck den 74HCT151 über den Mittelgraben, Kerbe nach links. Unten liegen Pin 1 bis 8 von links nach rechts, oben Pin 9 bis 16 von rechts nach links.
- Versorgung: Pin 16 an +5 V, Pin 8 an Masse.
- Freigabe: Pin 7 (\(\overline{E}\)) an Masse.
- Dateneingänge an +5 V: I3 (Pin 1), I5 (Pin 14), I6 (Pin 13), I7 (Pin 12).
- Dateneingänge an Masse: I0 (Pin 4), I1 (Pin 3), I2 (Pin 2), I4 (Pin 15).
- Wahl-Eingänge: je eine Drahtbrücke an Pin 11 (A), Pin 10 (B) und Pin 9 (C). Das andere Ende steckst du in die rote Schiene (Ja = 1) oder in die blaue (Nein = 0). Diese drei Brücken müssen immer irgendwo stecken, nie lose hängen.
- Ausgänge: Y (Pin 5) über 470 Ω an das lange Bein von LED 1, \(\overline{Y}\) (Pin 6) über 470 Ω an LED 2. Beide kurzen Beine an Masse.
Damit ist jeder der 16 Pins belegt, kein Eingang hängt in der Luft. Stell A, B und C nacheinander auf alle acht Kombinationen und schreib auf, welche LED leuchtet.
Was du sehen solltest
| C | B | A | gewählt | LED 1 (Y) | LED 2 (Y quer) |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | I0 | aus | an |
| 0 | 0 | 1 | I1 | aus | an |
| 0 | 1 | 0 | I2 | aus | an |
| 0 | 1 | 1 | I3 | an | aus |
| 1 | 0 | 0 | I4 | aus | an |
| 1 | 0 | 1 | I5 | an | aus |
| 1 | 1 | 0 | I6 | an | aus |
| 1 | 1 | 1 | I7 | an | aus |
LED 1 leuchtet bei Mehrheit, LED 2 bei Minderheit. Es leuchtet immer genau eine von beiden.
Eine andere Regel, ohne neu zu verdrahten. Welche Dateneingänge gehören an +5 V, wenn LED 1 leuchten soll, wenn genau einer der drei Ja sagt?
Lösung
Genau einer ist 1 in den Fällen 1 (nur A), 2 (nur B) und 4 (nur C). Also I1 (Pin 3), I2 (Pin 2) und I4 (Pin 15) an +5 V, alle anderen an Masse. Mit Gattern wäre das eine ganz neue Schaltung, hier sind es ein paar umgesteckte Drähte.
Wenn es nicht klappt:
- Keine LED leuchtet, egal was du einstellst: Versorgung an Pin 16 und 8? Wer aus Gewohnheit Pin 14 und 7 nimmt, versorgt das IC über einen Dateneingang. Und: Liegt \(\overline{E}\) (Pin 7) an Masse?
- Das Ergebnis passt zu einer anderen Zeile: Die Wahl-Eingänge sind vertauscht. Pin 11 ist A, die Einerstelle. Pin 9 ist C, die Viererstelle.
- Die LEDs flackern oder reagieren auf die Hand: Eine Wahl-Brücke hängt lose, oder ein Dateneingang ist nicht gesteckt. Ein offener Eingang ist weder 0 noch 1.
- Fall 3 stimmt nicht: I3 sitzt an Pin 1, nicht an Pin 3.
Zusammenfassung
- Eine Wahrheitstabelle mit drei Eingängen hat 8 Zeilen. Ihre Ergebnisspalte ist die ganze Aufgabe.
- Im Zweiersystem zählen die Stellen 1, 2, 4, 8 … Drei Bits ergeben die Zahlen 0 bis 7. Elektronik nutzt es, weil ein Draht genau zwei sichere Zustände hat.
- Ein Multiplexer schaltet den Eingang durch, dessen Nummer an den Wahl-Eingängen steht.
- Steckt man die Ergebnisspalte an die Dateneingänge, wird der Multiplexer zur Nachschlagetabelle: Jede Regel mit drei Eingängen ist ein paar Drähte entfernt.
- Beim 74HCT151 liegt die Versorgung an Pin 16 und 8, \(\overline{E}\) muss an Masse.
Zurück zur Übersicht aller Teile.
Tiefer einsteigen: Digitale Logik: Grundlagen mit Zweiersystem und Wahrheitstabellen, Grundgatter: AND, OR und NOT, Die 74er-Familie und als Gegenstück zum Multiplexer der Decoder 74HCT138.