XOR und Anwendungen

XOR ("Exclusive OR") ist das vierte wichtige Gate. Es ist kein Grundgatter im mathematischen Sinn (man kann es aus AND, OR, NOT aufbauen -- das haben wir im Grundgatter-Kapitel gezeigt), aber es ist so nützlich, dass es einen eigenen Chip hat.

Wahrheitstabelle

\[Y = A \oplus B\]
A B Y
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0

In Worten: Der Ausgang ist HIGH, wenn die Eingänge unterschiedlich sind. XOR ist ein Ungleich-Detektor.

Chip: 74HCT86 — vier 2-Input XOR-Gates in DIP-14.

XNOR

Das Komplement: XNOR ("Exclusive NOR") ist XOR gefolgt von NOT:

\[Y = \overline{A \oplus B}\]
A B Y
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1

Ausgang HIGH wenn die Eingänge gleich sind. XNOR ist ein Gleich-Detektor (Komparator für 1 Bit).

Es gibt keinen eigenen 74HCT-Chip für XNOR -- einfach ein XOR-Ausgang durch einen Inverter (74HCT04) schicken.

Anwendung 1: Paritätsprüfung

XOR kann prüfen, ob eine Gruppe von Bits eine gerade oder ungerade Anzahl Einsen enthält. Dazu mehrere XOR-Gates kaskadieren:

\[P = A \oplus B \oplus C \oplus D\]

Wenn die Zahl der Einsen gerade ist → \(P = 0\) (gerade Parität). Wenn die Zahl der Einsen ungerade ist → \(P = 1\).

Das ist die Grundlage der Paritätsprüfung in der Datenübertragung: Ein Paritätsbit wird angehängt, damit die Gesamtzahl der Einsen immer gerade (oder immer ungerade) ist. Wenn ein Bit kippt, stimmt die Parität nicht mehr → Fehler erkannt.

Experiment: 3-Bit Paritätsprüfer

  1. Zwei XOR-Gates kaskadieren: Gate 1 berechnet \(A \oplus B\), Gate 2 berechnet \((A \oplus B) \oplus C\)
  2. Drei Taster für A, B, C
  3. LED am Ausgang: leuchtet bei ungerader Anzahl gedrückter Taster

Alle acht Kombinationen durchtesten — die LED leuchtet bei 1, 3 gedrückten Tastern, nicht bei 0 oder 2.

Anwendung 2: Halbaddierer

Der Halbaddierer addiert zwei einzelne Bits. Er hat zwei Ausgänge:

A B Carry (C) Summe (S)
0 0 0 0
0 1 0 1
1 0 0 1
1 1 1 0

Vergleich mit den Wahrheitstabellen: Summe = XOR, Carry = AND.

\[S = A \oplus B, \qquad C = A \cdot B\]

Ein Halbaddierer besteht aus einem XOR-Gate und einem AND-Gate -- zwei Chips, vier Drähte. Das ist der Baustein jedes Addierwerks in jedem Prozessor.

Experiment: 1-Bit Addierer

  1. 74HCT86 (XOR): Taster A + Taster B → Pin 1, 2 → Ausgang Pin 3 → LED "Summe"
  2. 74HCT08 (AND): Taster A + Taster B → Pin 1, 2 → Ausgang Pin 3 → LED "Carry"
Taster A Taster B LED Summe LED Carry Bedeutung
aus aus aus aus 0 + 0 = 00
ein aus an aus 0 + 1 = 01
aus ein an aus 1 + 0 = 01
ein ein aus an 1 + 1 = 10

Zwei Taster, zwei LEDs, zwei Chips -- und man hat einen Computer gebaut. Zugegeben, er kann nur 0+0 bis 1+1 rechnen. Aber das Prinzip skaliert: Vier Halbaddierer kaskadiert (mit Carry-Weiterleitung) ergeben einen 4-Bit-Addierer, und 64 davon einen 64-Bit-Addierer -- das ist die ALU in deinem Laptop.

Volladdierer (Konzept)

Der Halbaddierer ignoriert einen eingehenden Übertrag. Der Volladdierer hat drei Eingänge: A, B und Carry-In (\(C_{in}\)). Er besteht aus zwei Halbaddierern und einem OR-Gate:

\[S = A \oplus B \oplus C_{in}\]
\[C_{out} = (A \cdot B) + (C_{in} \cdot (A \oplus B))\]

Vier Volladdierer hintereinander (der \(C_{out}\) des einen geht in den \(C_{in}\) des nächsten) ergeben einen 4-Bit Ripple-Carry Addierer. Das kann man komplett auf dem Breadboard bauen -- aber es braucht einige Chips und Geduld.

Zusammenfassung aller Gatter

Gate Formel Chip Wann HIGH?
NOT \(\overline{A}\) 74HCT04 Eingang LOW
AND \(A \cdot B\) 74HCT08 Alle Eingänge HIGH
OR \(A + B\) 74HCT32 Mindestens ein Eingang HIGH
NAND \(\overline{A \cdot B}\) 74HCT00 Nicht alle Eingänge HIGH
NOR \(\overline{A + B}\) 74HCT02 Alle Eingänge LOW
XOR \(A \oplus B\) 74HCT86 Eingänge unterschiedlich

Damit ist das Kapitel kombinatorische Logik (Gatter ohne Speicher) abgeschlossen. Im nächsten Teil geht es um sequentielle Logik -- Schaltungen die sich Zustände merken können: Flip-Flops, Zähler, Schieberegister.

Weiterführendes

Erstellt: 13.04.2026