Widerstand und das ohmsche Gesetz
Einsteiger
- Ein Widerstand bremst den Strom. Formelzeichen \(R\), Einheit Ohm (Ω).
- Das ohmsche Gesetz verbindet Spannung, Widerstand und Strom: \(U = R \cdot I\).
- Kennt man zwei der drei Größen, kann man die dritte ausrechnen.
- Eine LED folgt dem ohmschen Gesetz nicht. Deshalb braucht sie einen Vorwiderstand.
In Teil 2 ging es um den Strom, in Teil 3 um die Spannung, die ihn antreibt. Jetzt kommt das dritte Stück: Was bestimmt, wie viel Strom bei einer bestimmten Spannung fließt? Das ist der Widerstand.
Was ein Widerstand macht
Im Wasserbild aus Teil 3 war der Widerstand die Engstelle im Rohr. Je enger sie ist, desto weniger Wasser kommt bei gleichem Pumpendruck durch.
Im Draht passiert Folgendes: Die Elektronen werden von der Spannung angeschoben, stoßen aber ständig mit den Atomen zusammen und werden dabei abgebremst. Bei jedem Stoß geben sie etwas Energie ab, und die wird zu Wärme. Deshalb wird jeder Widerstand warm, wenn Strom durchfließt.
Wie groß der Widerstand eines Drahtes ist, hängt von drei Dingen ab:
- Material: Kupfer und Silber leiten sehr gut. Andere Metalle wie Konstantan bremsen stärker und werden für Widerstände benutzt.
- Länge: Ein doppelt so langer Draht hat den doppelten Widerstand. Die Elektronen müssen an doppelt so vielen Atomen vorbei.
- Dicke: Ein doppelt so dicker Querschnitt hat den halben Widerstand. Es ist, als gäbe es zwei Fahrspuren statt einer.
Zum Nachrechnen: Wie groß ist der Widerstand eines Steckkabels?
Die drei Punkte von oben stecken in einer Formel:
Dabei ist \(l\) die Länge, \(A\) die Querschnittsfläche und \(\rho\) (sprich „rho") der spezifische Widerstand des Materials. Für Kupfer ist \(\rho = 0{,}0172\,\Omega \cdot \text{mm}^2/\text{m}\).
Kontrolle der Formel: Längerer Draht, also größeres \(l\), ergibt größeres \(R\). Dickerer Draht, also größeres \(A\), ergibt kleineres \(R\). Genau wie oben beschrieben.
Zahlenprobe: Ein Steckkabel ist 10 cm lang, also \(l = 0{,}1\,\text{m}\), und hat etwa \(A = 0{,}2\,\text{mm}^2\):
Knapp ein Hundertstel Ohm. Gegen einen Widerstand von 470 Ω ist das nichts. Deshalb darf man die Kabel in Schaltplänen als ideale Verbindungen ohne Widerstand zeichnen.
Kontrolle der Einheit: mm² kürzt sich mit mm², m mit m, übrig bleibt Ω.
Als Bauteil ist ein Widerstand ein kleines Röhrchen mit zwei Drähten. Sein Wert steht als Farbringe darauf, zum Beispiel gelb – violett – braun für 470 Ω. Wie man die Ringe liest, kommt im Teil über Widerstände.
Das ohmsche Gesetz
Was passiert, wenn man an einen Widerstand verschiedene Spannungen legt und jedes Mal den Strom misst? Trägt man die Messwerte in ein Diagramm ein, kommt bei jedem Widerstand eine Gerade heraus, die im Nullpunkt beginnt:
Widerstände ergeben Geraden: doppelte Spannung, doppelter Strom. Die LED macht etwas ganz anderes.
Ansatz: Eine Gerade durch den Nullpunkt bedeutet: Der Strom wächst im selben Verhältnis wie die Spannung. Doppelte Spannung, doppelter Strom. Bei einem großen Widerstand ist die Gerade flach, bei einem kleinen steil. Diesen Zusammenhang schreibt man als
In Worten: Der Strom ist die Spannung geteilt durch den Widerstand. Mehr Spannung bedeutet mehr Strom, mehr Widerstand weniger Strom. Das ist das ohmsche Gesetz, benannt nach Georg Simon Ohm, der es 1826 gefunden hat.
Umstellen: Meist schreibt man es andersherum. Beide Seiten mal \(R\) ergibt
und wenn man diese Form durch \(I\) teilt, bekommt man den Widerstand:
Die Einheit folgt daraus: Ein Ohm ist der Widerstand, durch den bei 1 V Spannung genau 1 A fließt.
Zum Merken hilft ein Dreieck mit \(U\) oben und \(R\) und \(I\) unten nebeneinander: Hält man die gesuchte Größe zu, sieht man, wie man rechnet. \(U\) zuhalten ergibt \(R \cdot I\), \(I\) zuhalten ergibt \(U\) über \(R\).
Rechnen mit dem ohmschen Gesetz
Beispiel 1: Strom ausrechnen. Ein Widerstand von 470 Ω liegt direkt an der 9-V-Batterie. Wie viel Strom fließt?
Beispiel 2: Spannung ausrechnen. Durch einen 10-kΩ-Widerstand fließen 0,5 mA. Welche Spannung liegt an ihm? Erst alles in Grundeinheiten: 10 kΩ = 10 000 Ω und 0,5 mA = 0,0005 A.
Beispiel 3: Widerstand ausrechnen. An einem Bauteil liegen 3 V, und es fließen 6 mA.
Kontrolle: Die Einheiten müssen aufgehen. V/Ω = A, Ω · A = V und V/A = Ω. Wer unsicher ist, rechnet immer in Volt, Ampere und Ohm und wandelt erst am Ende in mA oder kΩ um.
Warum die LED einen Vorwiderstand braucht
Schau noch einmal auf das Diagramm. Die LED ist keine Gerade. Bis etwa 1,6 V fließt fast nichts, dann steigt der Strom auf einmal steil an. Schon ein Zehntel Volt mehr bedeutet viele Milliampere mehr. Würde man die LED direkt an 5 V hängen, gäbe es nichts, was den Strom begrenzt, und sie wäre sofort kaputt.
Deshalb schaltet man einen Vorwiderstand davor. Die LED nimmt sich ihre etwa 1,9 V, der Rest der Spannung liegt am Widerstand, und der Widerstand legt den Strom fest.
Ansatz: An der LED liegen \(U_\text{LED} \approx 1{,}9\,\text{V}\) (rote LED). Am Widerstand liegt der Rest der Versorgungsspannung \(U\):
Durch Widerstand und LED fließt derselbe Strom \(I\), denn es gibt nur einen Weg. Für den Widerstand gilt das ohmsche Gesetz \(R = U_R / I\). Eingesetzt:
Zahlenprobe: Die LED soll an 5 V mit etwa 6 mA leuchten.
Widerstände gibt es nur in bestimmten Werten. Der nächste übliche ist 470 Ω. Damit wird der Strom
etwas mehr als geplant, aber weit unter den 20 mA, die eine kleine LED höchstens verträgt. Das ist genau der Wert aus dem Versuch in Teil 3. An 9 V kommen mit demselben Widerstand \((9 - 1{,}9)\,\text{V} / 470\,\Omega \approx 15\,\text{mA}\) heraus.
Wer das öfter braucht: Der Rechner für den LED-Vorwiderstand macht es auf Knopfdruck.
Versuch: die Helligkeitsreihe
Dieselbe LED mit verschiedenen Widerständen. Je größer der Widerstand, desto kleiner der Strom, desto dunkler die LED.
Du brauchst: die 5-V-Versorgung aus Teil 3 (Regler MC7805 mit den beiden 100-nF-Kondensatoren), eine rote LED und die Widerstände 220 Ω, 470 Ω, 1 kΩ, 3,3 kΩ und 10 kΩ.
- Die LED mit dem kurzen Bein in die blaue Schiene, das lange Bein in eine freie Reihe.
- Einen Widerstand vom Ausgang des Reglers (5 V) in die Reihe mit dem langen Bein stecken.
- Batterie anklemmen, Helligkeit anschauen, Batterie abziehen, nächsten Widerstand nehmen.
| Widerstand | Strom an 5 V | Eindruck |
|---|---|---|
| 220 Ω | 14 mA | sehr hell |
| 470 Ω | 6,6 mA | hell |
| 1 kΩ | 3,1 mA | deutlich schwächer |
| 3,3 kΩ | 0,94 mA | schwach, aber gut sichtbar |
| 10 kΩ | 0,31 mA | nur noch ein Glimmen |
Gerechnet ist jede Zeile mit \(I = (5\,\text{V} - 1{,}9\,\text{V}) / R\). Erstaunlich ist die letzte: Eine moderne LED leuchtet schon bei einem Drittel Milliampere sichtbar.
Ohne Regler, direkt an 9 V? Dann den 220-Ω-Widerstand weglassen: Mit ihm flössen \((9 - 1{,}9)\,\text{V} / 220\,\Omega \approx 32\,\text{mA}\), zu viel für die LED. Ab 470 Ω ist es an 9 V sicher.
Nach dem Versuch die Batterie abziehen.
Zusammenfassung
- Der Widerstand \(R\) bremst den Strom, gemessen in Ohm. Er wird dabei warm.
- Er wächst mit der Länge des Drahtes und sinkt mit seiner Dicke.
- Ohmsches Gesetz: \(U = R \cdot I\), umgestellt \(I = U/R\) und \(R = U/I\).
- Widerstände haben eine gerade Kennlinie, LEDs nicht.
- Eine LED braucht immer einen Vorwiderstand: \(R = (U - U_\text{LED}) / I\).
Weiter mit Teil 5: Reihe und parallel (erscheint demnächst). Zurück zu Teil 3: Spannung oder zur Übersicht.
Tiefer einsteigen: Im Bereich Wissen erklärt das ohmsche Gesetz nach Drude, woher der Widerstand im Metall physikalisch kommt.